【第一方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第五節(jié) 合情推理與演繹推理練習(xí)

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1、 第五節(jié) 合情推理與演繹推理 一、選擇題(6×5分＝30分) 1．下列幾種推理過程是演繹推理的是(　　) A．兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯(cuò)角相等，如果∠A和∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯(cuò)角，則∠A＝∠B B．金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電 C．由圓的性質(zhì)推測球的性質(zhì) D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 解析：兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯(cuò)角相等，(大前提) ∠A與∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯(cuò)角，(小前提) ∠A＝∠B.(結(jié)論) B是歸納推理，C、D是類比推理． 答案：A 2．下面使用類比推理正確的是(　　) A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推

2、出“若a·0＝b·0，則a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“＝＋” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“＝＋(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn” 解析：由類比推理的特點(diǎn)可知C正確． 答案：C 3．由>，>，>，…若a>b>0且m>0，則與之間大小關(guān)系為(　　) A．相等　　　　　　　 B．前者大 C．后者大 D．不確定 解析：觀察題設(shè)規(guī)律，由歸納推理易得>. 答案：B 4．如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離為hi(i＝1,2,3,4)

3、，若＝＝＝＝k，則(ihi)＝.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，則(iHi)＝(　　) A. B. C. D. 解析：平面中的面積與空間中的體積類比，平面二維與空間三維類比． 答案：B 5．(2011·舟山模擬)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對應(yīng)圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么圖中(A)、(B)所對應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是(　　) A．B*D、A*D B．B*D、A*C C．B*C、A*D D．C*D、A*D 解析：

4、根據(jù)(1)、(2)、(3)、(4)可知A對應(yīng)|； B對應(yīng)□；C對應(yīng)——；D對應(yīng)○. 答案：B 6．(2011·清遠(yuǎn)模擬)設(shè)f(x)＝，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，則f2 009(x)等于(　　) A．－ B．x C. D. 解析：計(jì)算f2(x)＝f()＝＝－， f3(x)＝f(－)＝＝，f4(x)＝＝x， f5(x)＝f1(x)＝，歸納得f4k＋1(x)＝，k∈N*， 從而f2 009(x)＝. 答案：D 二、填空題(3×5分＝15分) 7．(2011·南陽模擬)觀察下列圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第6個(gè)圖中有_____

5、___個(gè)小正方形． 解析：第1～5個(gè)圖形中分別有3,6,10,15,21個(gè)小正方形，它們分別為1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6， 因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)． 故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝＝28， 即第6個(gè)圖中有28個(gè)小正方形． 答案：28 8．(2011·福州模擬)根據(jù)三角恒等變換，可得如下等式： cosθ＝cosθ； cos2θ＝2cos2θ－1； cos3θ＝4cos3θ－3cosθ； cos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1； cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ. 依此規(guī)律，猜測c

6、os6θ＝32cos6θ＋mcos4θ＋ncos2θ－1，其中m＋n＝________. 解析：由所給的三角恒等變換等式可知，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的和是1，∴32＋m＋n－1＝1，∴m＋n＝－30. 答案：－30 9．(2010·福建高考)觀察下列等式： ①cos2α＝2cos2α－1； ②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pco

7、s2α－1. 可以推測，m－n＋p＝________. 解析：各式第一項(xiàng)系數(shù)依次為2,23,25,27，m，依規(guī)律可得m＝29＝512；各式中cos2α的系數(shù)依次為2×12，－2×22,2×32，－2×42，p，由規(guī)律推出p＝2×52＝50；由各式系數(shù)和為1可推出n＝－400，則m－n＋p＝962. 答案：962 三、解答題(共37分) 10．(12分)(2011·青島調(diào)研)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．試對雙曲線－＝1寫出具有類似特

8、性的性質(zhì)，并加以證明． 解析：類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線－＝1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值． 證明如下： 設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)， 則N(－m，－n)． 因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)在已知雙曲線上， 所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2. 則kPM·kPN＝·＝ ＝·＝(定值)． 11．(12分)先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題： 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證a12＋a22≥. 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1

9、)2＋(x－a2)2， f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a12＋a22＝2x2－2x＋a12＋a22. 因?yàn)閷σ磺衳∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a12＋a22)≤0，從而得a12＋a22≥. (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，請寫出上述問題的推廣式； (2)參與上述證法，對你推廣的問題加以證明． (1)解析：若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1. 求證：a12＋a22＋…＋an2≥. (2)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2 ＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a12＋a22

10、＋…＋an2＝nx2－2x＋a12＋a22＋…＋an2.因?yàn)閷σ磺衳∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a12＋a22＋…＋an2)≤0， 從而證得：a12＋a22＋…＋an2≥. 12．(13分)(2011·廣東六校)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包括f(n)個(gè)小正方形． (1)寫出f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出

11、f(n)的表達(dá)式； (3)求＋＋＋…＋的值． 解析：(1)f(5)＝41. (2)因?yàn)閒(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …… 由上式規(guī)律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n. 因?yàn)閒(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n ?f(n)＝f(n－1)＋4(n－1) ＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2) ＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3) ＝… ＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4 ＝2n2－2n＋1. (3)當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝(－)， ∴＋＋＋…＋ ＝1＋·(1－＋－＋－＋…＋－) ＝1＋(1－)＝－. - 6 - 用心 愛心 專心