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1、27.2.2 相似三角形的性質(zhì)
1．理解相似三角形的性質(zhì)；(重點)
2．會利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的問題．(難點)
一、情境導入
兩個三角形相似，除了對應邊成比例、對應角相等之外，還可以得到許多有用的結(jié)論．例如，在圖中，△ABC和△A′B′C′是兩個相似三角形，相似比為k，其中AD、A′D′分別為BC、B′C′邊上的高，那么AD、A′D′之間有什么關(guān)系？
二、合作探究
探究點一： 相似三角形的性質(zhì)
【類型一】 利用相似比求三角形的周長和面積
如圖所示，平行四邊形ABCD中，E是BC邊上一點，且BE＝EC，BD、AE相交于F點．
(1)求△BE
2、F與△AFD的周長之比；
(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.
解析：利用相似三角形的對應邊的比可以得到周長和面積之比，然后再進一步求解．
解：(1)∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝BC，∴＝＝＝，∴△BEF與△AFD的周長之比為＝；
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比為，∴＝()2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2.
方法總結(jié)：理解相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方是解決問題的關(guān)鍵．
變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第4、6題
【類型二】 利用相似三角形的
3、周長或面積比求相似比
若△ABC∽△A′B′C′，其面積比為1∶2，則△ABC與△A′B′C′的相似比為( )
A．1∶2 B.∶2
C．1∶4 D.∶1
解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面積比為1∶2，∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1∶＝∶2.故選B.
方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．
【類型三】 利用相似三角形的性質(zhì)和判定進行計算
如圖所示，在銳角三角形ABC中，AD，CE分別為BC，AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別為18和8，DE＝3，求AC邊上的高．
解析：求AC邊上的高，先將高線作出，由△ABC的面積
4、為18，求出AC的長，即可求出AC邊上的高． 解：過點B作BF⊥AC，垂足為點F.∵AD⊥BC, CE⊥AB，∴Rt△ADB∽Rt△CEB，∴＝，即＝，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD∽△CBA, ∴＝()2＝.又∵DE＝3，∴AC＝4.5.∵S△ABC＝AC·BF＝18, ∴BF＝8.
方法總結(jié)：解決此類問題，可利用相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方來解答．
變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題
【類型四】 利用相似三角形線段的比等于相似比解決問題
如圖所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.
(1)若AP∶PB＝1∶2，S△AB
5、C＝18，求S△APN；
(2)若S△APN∶S四邊形PBCN＝1∶2，求的值．
解析：(1)由相似三角形面積比等于對應邊的平方比即可求解；(2)由△APN與四邊形PBCN的面積比可得△APN與△ABC的面積比，進而可得其對應邊的比．
解：(1)因為PN∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，△APN∽△ABC，所以＝()2.因為AP∶PB＝1∶2，所以AP∶AB＝1∶3.又因為S△ABC＝18，所以＝()2＝，所以S△APN＝2；
(2)因為PN∥BC，所以∠APE＝∠B，∠AEP＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以＝，＝()2＝()2.因為S△APN∶S四邊形PBCN＝
6、1∶2，所以＝＝()2，所以＝＝.
方法總結(jié)：利用相似三角形對應線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．
變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題
【類型五】 利用相似三角形的性質(zhì)解決動點問題
如圖，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P點在AC上(與A、C不重合)，Q點在BC上．
(1)當△PQC的面積是四邊形PABQ面積的時，求CP的長；
(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長．
解析：(1)由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，當△PQC的面積是四邊形PABQ面積的時，△CPQ與△CAB
7、的面積比為1∶4，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出CP的長；(2)由于△PQC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可用CP表示出PQ和CQ的長，進而可表示出AP、BQ的長．根據(jù)△CPQ和四邊形PABQ的周長相等，可將相關(guān)的各邊相加，即可求出CP的長．
解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∵S△PQC＝S四邊形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4，∵＝，∴CP＝CA＝2；
(2)∵△PQC∽△ABC，∴＝＝，∴＝，∴CQ＝CP.同理可知PQ＝CP，∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋CP＋CP＝3CP，C四邊形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝(4－CP)＋AB
8、＋(3－CQ)＋PQ＝4－CP＋5＋3－CP＋CP＝12－CP，∴12－CP＝3CP，∴CP＝12，∴CP＝.
方法總結(jié)：由相似三角形得出線段的比例關(guān)系，再根據(jù)線段的比例關(guān)系解決面積、線段的問題是解題的關(guān)鍵．
變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第8題
三、板書設計
1．相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；
2．相似三角形(多邊形)的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段(對應中線、對應角平分線、對應邊上的高)的比也等于相似比；
3．相似三角形的面積的比等于相似比的平方．
本節(jié)教學過程中，學生們都主動地參與了課堂活動，積極地交流探討，發(fā)現(xiàn)的問題較多：相似三角形的周長比，面積比，相似比在書寫時要注意對應關(guān)系，不對應時，計算結(jié)果正好相反；這兩個性質(zhì)使用的前提條件是相似三角形等等．同學們討論非常激烈，本節(jié)課堂教學取得了明顯的效果.
人教版九年級下冊數(shù)學 27.2.2 相似三角形的性質(zhì) 教案
