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1、12.5離散型隨機變量的均值與方差,知識梳理,考點自測,1.離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為P(X=xi)=pi,i=1,2,,n. (1)均值:稱E(X)=為隨機變量X的均值或數學期望.,x1p1+x2p2++xipi++xnpn,標準差,2.均值與方差的性質 (1)E(aX+b)=; (2)E(+)=E+E; (3)D(aX+b)=.,aE(X)+b,a2D(X),3.兩點分布與二項分布的均值與方差 (1)若X服從兩點分布,則E(X)=,D(X)=. (2)若XB(n,p),則E(X)= ,D(X)=.,知識梳理,考點自測,p,p(1-p),np,np(1-p),知
2、識梳理,考點自測,1.如果X1,X2相互獨立,那么E(X1X2)=EX1EX2. 2.均值與方差的關系:DX=EX2-E2X. 3.超幾何分布的均值:若X服從參數為N,M,n的超幾何分布,則EX=,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)期望是算術平均數概念的推廣,與概率無關.() (2)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況,因此它們是一回事.() (3)隨機變量的均值是常數,樣本的平均值是隨機變量,它不確定.() (4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越
3、小.() (5)正態(tài)分布中的參數和完全確定了正態(tài)分布,參數是正態(tài)分布的均值,是正態(tài)分布的標準差.(),答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,2.拋擲兩個骰子,至少有一個4點或5點出現時,就說這次試驗成功,則在10次試驗中,成功次數X的均值是 (),答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,3.(2017浙江,8)已知隨機變量滿足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2),知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,4.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現播種了1 000粒,對于沒有發(fā)芽
4、的種子,每粒需再補種2粒,補種的種子數記為X,則X的數學期望為() A.100B.200C.300D.400,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,5.(2017全國,理13)一批產品的二等品率為0.02,從這批產品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數,則D(X)=.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,例1某新建公司規(guī)定,招聘的職工須參加不小于80小時的某種技能培訓才能上班.公司人事部門在招聘的職工中隨機抽取200名參加這種技能培訓的數據,按時間段75,80),80,85),85,90),90,95), 95,100(單位:小時)進行統計,其頻率分布直
5、方圖如圖所示.,考點1,考點2,考點3,(1)求抽取的200名職工中,參加這種技能培訓時間不少于90小時的人數,并估計從招聘職工中任意選取一人,其參加這種技能培訓時間不少于90小時的概率; (2)從招聘職工(人數很多)中任意選取3人,記X為這3名職工中參加這種技能培訓時間不少于90小時的人數,試求X的分布列和數學期望E(X)和方差D(X).,解: (1)依題意,培訓時間在90,95)小時的人數為2000.065=60, 在95,100)小時的人數為2000.025=20,故滿足題意的概率估計為,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考如何簡便地求二項分布的隨機變量X的均值與方差?
6、解題心得求隨機變量X的均值與方差時,可首先分析X是否服從二項分布,如果XB(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大減少計算量.,考點1,考點2,考點3,對點訓練1某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎. (1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率; (2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X,求X的分布列和數學期望.,考點1,考點2,考點3,考
7、點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,例2(2017江西吉安檢測,理17)近年空氣質量逐步惡化,霧霾天氣現象出現增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關,在某醫(yī)院隨機地對入院的50人進行了問卷調查,得到了如下的列聯表:,考點1,考點2,考點3,已知在全部50人中隨機抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為 (1)請將上面的列聯表補充完整; (2)是否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關,說明你的理由;,(3)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病.現在從患心肺疾病的10位女性中,選出3名進行其他方面的排查,記選出患胃病的
8、女性人數為,求的分布列、數學期望以及方差. 下面的臨界值表供參考:,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,解題心得1.求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟: (1)理解X的意義,寫出X的全部可能取值. (2)求X取每個值的概率. (3)寫出X的分布列. (4)由均值的定義求E(X). (5)由方差的定義求D(X). 2.注意性質的應用:若隨機變量X的均值為E(X),則對應隨機變量aX+b的均值是aE(X)+b,方差為a2D(X).,考點1,考點2,考點3,對點訓練2某大學對參加了“世博會”的該校志愿者實施“社會教育實踐”學分考核,因該批
9、志愿者表現良好,該大學決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個等次,若某志愿者考核為合格,授予0.5個學分;考核為優(yōu)秀,授予1個學分.假設該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為 ,他們考核所得的等次相互獨立. (1)求在這次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率; (2)記這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學分之和為隨機變量,求隨機變量的分布列和數學期望E().,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,例3某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如
10、果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀圖:,考點1,考點2,考點3,以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數,n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數. (1)求X的分布列; (2)若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值; (3)以購買易損零件所需費用的均值為決策依據,在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個?,考點1,考點2,考點3,解: (1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內需更換的
11、易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2. 從而P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列為,考點1,考點2,考點3,(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費
12、用(單位:元). 當n=19時, E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040. 當n=20時, E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知當n=19時所需費用的均值小于n=20時所需費用的均值,故應選n=19.,考點1,考點2,考點3,思考如何利用均值與方差對生活中相關問題進行決策? 解題心得利用均值、方差進行決策的方法:均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”,因此,當均值不同時,兩個隨機變量取值的水平可見分曉,由此可對實際問題
13、作出決策判斷;若兩個隨機變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩個變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越小,進而進行決策.,考點1,考點2,考點3,對點訓練3 “十一黃金周”期間,某市再次迎來了客流高峰,小李從該市的A地到B地有L1,L2兩條路線(如圖),L1路線上有A1,A2,A3三個路口,各路口 (1)若走L1路線,求最多遇到1次堵塞的概率; (2)按照“平均遇到堵塞次數最少”的要求,請你幫助小李從上述兩條路線中選擇一條最好的出行路線,并說明理由.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,1.求某事件發(fā)生的概率,首先理解題意,分清概率
14、模型,恰當選擇概率計算公式. 2.求隨機變量的均值、方差的基本方法: (1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差,可直接按定義(公式)求解; (2)已知隨機變量X的均值、方差,求X的線性函數Y=aX+b的均值、方差和標準差,可直接用均值、方差的性質求解; (3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如二項分布),可直接利用它們的均值、方差公式求解.,考點1,考點2,考點3,3.利用均值與方差解決實際問題的步驟: (1)對實際問題進行具體分析,將實際問題轉化為數學問題,并將問題中的隨機變量設出來. (2)依據隨機變量取每一個值時所表示的具體事件,求出其相應的概率. (3)依據期望與方差的定義、公式求出相應的期望與方差值. (4)依據期望與方差的意義對實際問題作出決策或給出合理的解釋. 4.隨機變量的均值與樣本的平均值的關系:隨機變量的均值是一個常數,它不依賴于樣本的抽取,而樣本平均值是一個隨機變量,它隨樣本抽取的不同而變化.對于簡單隨機抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來越接近于總體的均值.,
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