【優(yōu)化方案】2012高中數學 第2章2.4（二）知能優(yōu)化訓練 蘇教版必修4

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1、 1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝__________. 解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4. 答案：4 2．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，則a與b的夾角為________． 解析：∵cosθ＝＝＝－.∴θ＝. 答案： 3．已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量b⊥(a＋λb)，則實數λ的值是__________． 解析：b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝

2、2×1＋4×1＋2λ＝0?λ＝－3. 答案：－3 4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于__________． 解析：2a－b＝(3，n)，由2a－b與b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，∴n2＝3，|a|＝2. 答案：2 一、填空題 1．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝______. 解析：設b＝(m，n)，則由a·b＝5得4m－3n＝5，?、? 又因為|b|＝1，所以m2＋n2＝1，?、? 由①②可得(5n＋3)2＝0，∴n＝－， ∴　∴b＝. 答案： 2．已知i＝(1,0)，j＝

3、(0,1)，a＝i－2j，b＝i＋mj，給出下列命題：①若a與b的夾角為銳角，則m＜；②當且僅當m＝時，a與b互相垂直；③a與b不可能是方向相反的向量；④若|a|＝|b|，則m＝－2. 其中正確命題的序號為__________．(把所有正確命題的序號全填上) 答案：②③ 3．設向量a＝(1,2)，b＝(x, 1)，當向量a＋2b與2a－b平行時，a·b等于__________． 解析：a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，∵a＋2b與2a－b平行，∴(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，∴x＝，a·b＝(1,2)·＝1×＋2×1＝. 答案： 4．已知向量a＝(1,2

4、)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，則a與c的夾角是__________． 解析：設c＝(x，y)，則(a＋b)·c＝(－1，－2)·(x，y)＝－x－2y＝，又|c|＝，且a·c＝x＋2y＝|a||c|·cosα，故cosα＝－，α＝120°. 答案：120° 5．若平面向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3，則b＝__________. 解析：a與b共線且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)，設b＝(x，y)，則(x，y)＝λ(1，－2)，得由|b|＝3，得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b＝(－3,6)． 答案：(－3,6

5、) 6．以原點O及點A(5,2)為頂點作等腰直角三角形OAB，使∠A＝90°，則的坐標為__________． 解析：設＝(x，y)， 則有||＝||＝＝，① 又由⊥，得5x＋2y＝0，② 由①②聯立方程組，解得x＝2，y＝－5或x＝－2，y＝5. 答案：(－2,5)或(2，－5) 7．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x軸上有一點P使·有最小值，則點P的坐標是__________． 解析：設點P的坐標為(x,0)，則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1).·＝(x－2)(x－4)＋(－2)(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.當x＝3時，·有最小值1，∴點P的坐標

6、為(3,0)． 答案：(3,0) 8．直角坐標平面內有三點A(1,2)、B(3，－2)、C(9,7)，若E、F為線段BC的三等分點，則·＝__________. 解析：∵＝(6,9)， ∴＝＝(2,3)，＝＝(4,6)． 又＝(2，－4)， ∴＝＋＝(4，－1)，＝＋＝(6,2)， ∴·＝4×6＋(－1)×2＝22. 答案：22 二、解答題 9．平面內三個點A，B，C在一條直線上，且＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求實數m，n的值． 解：∵A，B，C三點在同一直線上， ∴∥. ∵＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)， ∴＝－＝(7，－1－

7、m)， ＝－＝(n＋2,1－m)， ∴7(1－m)－(n＋2)·(－1－m)＝0， 即mn－5m＋n＋9＝0.① ∵⊥，∴(－2)×n＋m×1＝0，即m－2n＝0.② 聯立①②解得或 10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時： (1)ka＋b與a－3b垂直？ (2)ka＋b與a－3b平行？平行時它們同向還是反向？ 解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．當(ka＋b)·(a－3b)＝0時，這兩個向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即當k＝19

8、時，ka＋b與a－3b垂直． (2)當ka＋b與a－3b平行時，存在惟一的實數λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得： 解得 所以當k＝－時，ka＋b與a－3b平行， 因為λ＜0，所以－a＋b與a－3b反向． 11．已知c＝ma＋nb＝(－2，2)，a與c垂直，b與c的夾角為120°，且b·c＝－4，|a|＝2，求實數m，n的值及a與b的夾角θ. 解：∵a與c垂直，∴a·c＝0. 又∵c＝ma＋nb，∴c·c＝ma·c＋nb·c， ∴12＋4＝－4n，∴n＝－4. ∵b·c＝|b||c|cos120°， ∴－4＝|b|×4×，∴|b|＝2. ∴a·c＝ma2－4a·b，|a|＝2，∴a·b＝2m. 又b·c＝m(a·b)－4b2， ∴－4＝2m2－16，∴m2＝6，∴m＝±. 當m＝時，a·b＝2. ∴cosθ＝＝＝，∴θ＝. 當m＝－時，a·b＝－2. ∴cosθ＝－，∴θ＝. 因此m＝，n＝－4時，θ＝； m＝－，n＝－4時，θ＝. 3