（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題5 平面向量與解三角形 5.2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用課件.ppt

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1、高考數(shù)學(xué)（浙江專用）,5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用,考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積,考點(diǎn)清單,考向基礎(chǔ) 1.向量的數(shù)量積的定義 (1)向量a與b的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b,過O點(diǎn)作=a,=b,則AOB=(0180) 叫做向量a與b的夾角. 當(dāng)=90時(shí),a與b垂直,記作ab;當(dāng)=0時(shí),a與b同向;當(dāng)=180時(shí),a與b反向. (2)a與b的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為,則把|a||b|cos 叫做a和b的數(shù),量積(或內(nèi)積),記作ab=|a||b|cos . (3)規(guī)定:0a=0. (4)ab的幾何意義 a.一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影 設(shè)是非零向量a與b的夾角,則|a|cos 叫

2、做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù),而不是向量.當(dāng)0<90時(shí),它是正值;當(dāng)90<180時(shí),它是負(fù)值;當(dāng)=90時(shí),它是0. b.ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 2.向量的數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則,(3)當(dāng)a與b同(1)ea=ae=|a|cos . (2)abab=0. 向時(shí),ab=|a||b|, 當(dāng)a與b反向時(shí),ab=-|a||b|, 特別地,aa=|a|2. (4)亦為a、b的夾角,且cos =. (5)|ab||a||b|. 3.向量的數(shù)量

3、積的運(yùn)算律 (1)ab=ba. (2)(a)b=(ab)=a(b)(R). (3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. (2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=. (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間 的距離公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1x2+y1y2=0. 5.向量中的重要不等式 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則-|a||b|ab|a||b|-x1x2+y1y2 .,考點(diǎn)二向量的綜合

4、應(yīng)用,考向基礎(chǔ) 1.向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算可以大大簡(jiǎn)化向量數(shù)量積的運(yùn)算.由于有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題可以利用向量的數(shù)量積來(lái)解決,因此我們可以利用表示向量的直角坐標(biāo)求出向量的長(zhǎng)度、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩個(gè)向量的夾角,判斷兩向量是否垂直. 2.用向量法證明幾何問題的基本思想:將問題中有關(guān)幾何量表示為向量,然后根據(jù)圖形的性質(zhì)和特點(diǎn),應(yīng)用向量的運(yùn)算法則,推出所要求證的結(jié)論.要注意挖掘題目中,特別是幾何圖形中的隱含條件. 3.證明直線平行、垂直,線段相等等問題的基本方法 (1)要證AB=CD,可轉(zhuǎn)化為證明=或||=||. (2)要證ABCD,只要證存在一實(shí)數(shù)0,使等式=成立即可.,(3)要證ABCD,只

5、需證=0. 【知識(shí)拓展】 向量中常用的結(jié)論: 在ABC中,設(shè)A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c. (1)在=的條件下,存在,使得I為ABC的內(nèi)心; a+b+c=0P為ABC的內(nèi)心. (2)||=||=||P為ABC的外心. (3)++=0G為ABC的重心. (4)==P為ABC的垂心.,考向突破,考向一利用數(shù)量積求長(zhǎng)度問題,例1(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,7)已知A,B是半徑為的O 上的兩個(gè)點(diǎn),=1,O所在平面上有一點(diǎn)C滿足|+-|=1,則| |的取值范圍是() A.2-1,2+1 B. C.-1,+1D.-1,+1,解析以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,由=1,得AOB

6、=,于是A(,0),B,設(shè)C(x,y),則+=1. 問題轉(zhuǎn)化為求圓+=1上一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的取值范 圍.因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離為,且圓的半徑為1,所以||的 取值范圍為-1,+1.,答案C,考向二用數(shù)量積求角度問題,例2(2018浙江嵊州第一學(xué)期期末質(zhì)檢,15)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=|2b-a|,則|b|的最大值為,a與b的夾角的取值范圍為.,解析因?yàn)閨2|b|-|a|||2b-a|2|b|+|a|,即|2|b|-|a|||b|2|b|+|a|, 所以-|b|2|b|-|a||b|,從而|b||a|,即|b|1. 對(duì)|b|=|2b-a|兩邊平方,可得b2=4b2-4ab+a2,

7、從而cos ===(3|b|+),當(dāng)且僅當(dāng)|b|=時(shí)等號(hào) 成立. 所以a與b的夾角的取值范圍為.,答案1;,方法1利用數(shù)量積求長(zhǎng)度和夾角的方法 一、求夾角的方法 1.定義法:利用向量數(shù)量積的定義知,cos =,其中兩個(gè)向量的夾角 0,,求解時(shí)應(yīng)求出三個(gè)量:ab,|a|,|b|或找出這三個(gè)量之間的關(guān)系. 2.坐標(biāo)法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),為a,b的夾角,則cos =. 3.三角函數(shù)法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中,利用正、余弦定理和三角形的面積公式進(jìn)行求解.,方法技巧,二、求長(zhǎng)度的方法 1.|a|==; 2.|ab|=; 3.若a=(x,y),則|a|=.,例1(201

8、8浙江嘉興教學(xué)測(cè)試(4月),16)已知|c|=2,向量b滿足2|b-c|=bc,當(dāng)b,c的夾角最大時(shí),|b|=.,解題導(dǎo)引,解析設(shè)向量b,c的夾角為,因?yàn)閎c=2|b-c|0,所以, 由2|b-c|=bc知,2=|b||c|cos , 兩邊平方可知,4+|b|2-4|b|cos =|b|2cos 2,即sin2|b|2-4|b|cos +4=0, 所以關(guān)于|b|的方程有解,此時(shí)=16cos2-16sin20,要使夾角最大,僅需考慮sin 0, 所以tan 1,即, 所以的最大值為,此時(shí)|b|=2.,答案2,方法2利用向量解決幾何問題的方法 1.用向量法解決平面幾何問題的基本步驟:建立平面幾何與

9、向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題;通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;把運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何關(guān)系. 2.用向量法解平面幾何問題,主要是通過建立平面直角坐標(biāo)系將問題坐標(biāo)化,然后利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解有關(guān)問題,這樣可以避免繁雜的邏輯推理,同時(shí)加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.,例2(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)第一學(xué)期期中,15)已知ABC的外心為O,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且++=0,則a,b,c的關(guān)系 為,cos B的取值范圍為.,解題導(dǎo)引,解析設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為D,則ODAC,從而有=(+) =+=+0=b2,同理有=c2,= (-)=b2-c2.同理有=c2-a2,=a2-b2,由 ++=0,得a2+2c2=3b2. cos B====(當(dāng)且僅當(dāng) a=c時(shí)取等號(hào)),cos B<1,cos B<1.,答案a2+2c2=3b2;,