【優(yōu)化方案】2012高中數(shù)學 第3章3.3.2知能優(yōu)化訓練 新人教A版選修1-1

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1、 1．設x0為可導函數(shù)f(x)的極值點，則下列說法正確的是(　　) A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在 C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不為0 答案：A 2．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析：選D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3， ∵f(x)在x＝－3處取得極值， ∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0， ∴a＝5. 3．y＝x3－6x＋a的極大值為________． 解析：y′＝3x2－6＝

2、0，得x＝±.當x<－或x>時，y′>0；當－

3、1)＝2. 一、選擇題 1．“函數(shù)y＝f(x)在一點的導數(shù)值為0”是“函數(shù)y＝f(x)在這點取極值”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B.對于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0處取極值，反之成立．故選B. 2．下列函數(shù)存在極值的是(　　) A．y＝ B．y＝x－ex C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3 解析：選B.A中f′(x)＝－，令f′(x)＝0無解，且f(x)為雙曲函數(shù)．∴A中函數(shù)無極值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0

4、.當x<0時，f′(x)>0，當x>0時， f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0處取極大值，f(0)＝－1. C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y＝f(x)無極值．D也無極值．故選B. 3．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：選A.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如題圖所示，函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點

5、，其導數(shù)值為由負到正的點，只有1個． 4．函數(shù)f(x)＝－x3＋x2＋2x取極小值時，x的值是(　　) A．2 B．2，－1 C．－1 D．－3 解析：選C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)． ∵在x＝－1的附近左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，如圖所示： ∴x＝－1時取極小值． 5．函數(shù)y＝2－x2－x3的極值情況是(　　) A．有極大值，沒有極小值 B．有極小值，沒有極大值 C．既無極大值也無極小值 D．既有極大值又有極小值 解析：選D.y′＝－2x－3x2＝0?x＝0或x＝－.所以x∈時，y′<0，y為減函數(shù)；在x∈時，y′>

6、0，y為增函數(shù)；在x∈(0，＋∞)時，y′<0，y為減函數(shù)， ∴函數(shù)既有極大值又有極小值． 6．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1處有極值10，則a、b的值為(　　) A．a(chǎn)＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11 B．a(chǎn)＝－4，b＝11 C．a(chǎn)＝－1，b＝5 D．以上都不正確 解析：選B.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在x＝1處f(x)有極值，∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.① 又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.② 由①②得a2＋a－12＝0，∴a＝3或a＝－4. ∴(舍去)或 二、填空題 7．函數(shù)f(x)＝x3－6x2－

7、15x＋2的極大值是________，極小值是________． 解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)， 在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0， 在(－1,5)上f′(x)<0， ∴f(x)極大值＝f(－1)＝10， f(x)極小值＝f(5)＝－98. 答案：10?。?8 8．設a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的極值點，則a的取值范圍為________． 解析：y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)． 由題意知ln(－a)>0，∴a<－1. 答案：(－∞，－1) 9．若函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m的極大值等于13，則實

8、數(shù)m等于________． 解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出當x＝4時函數(shù)取得極大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19. 答案：－19 三、解答題 10．求f(x)＝－2的極值． 解：函數(shù)的定義域為R. f′(x)＝＝. 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 當x變化時，f′(x)、f(x)變化狀態(tài)如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  極小值－3 極大值 －1 所以當x＝－1時，函數(shù)有極小值，且f(－1)＝－

9、2＝－3； 當x＝1時，函數(shù)有極大值，且f(1)＝－2＝－1. 11．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m為常數(shù)，且m>0)有極大值－，求m的值． 解：∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)， 令f′(x)＝0，則x＝－m或x＝m. 當x變化時，f′(x)，f(x)變化如下表 x (－∞，－m) －m (－m，m) m (m，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  ∴f(x)極大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－， ∴m＝1. 12．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，當x＝－1時，取得極大值7；當x＝3時，取得極小值，求這個極小值及a、b、c的值． 解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依題意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的兩個根， 則有解得 ∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c. 由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2. ∴極小值為f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25. ∴所求函數(shù)的極小值為－25，a＝－3，b＝－9，c＝2. 3