選修2-3 離散型隨機變量的均值與方差同步練習,可編輯

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1、 5???????????? B.??8 15???? C.14 A.3 P???? 1??? 3 一、選擇題 1．已知?ξ?的分布列為 選修?2-3?2.3.1?離散型隨機變量的均值 ξ????－1????0????1????2 1?1 4?8????4????8  11．(2008·?浙江)有?10?件產品，其中?3?件是次品，從中任取兩件，若?X?表示取到次品的個數，則?E(X)等于(???) 15???????????D．1 12．(2010·?福建福州)已知某一隨機變量?X?的

2、概率分布列如下表，E(X)＝6.3，則?a?值為(???) X????4?????a????9 P???0.5???0.1???b A．0???? B．－1????? C.1 18????? B.??1 9?????? C.20 A.??1 4．(2013·?佛山調研)已知?ξ～Bèn，2?，η～Bèn，3??，且?E(ξ)＝15，則?E(η)等于(?? ) 14．已知?X～Bè100，2?，則?E(2X?＋3)＝________. 3???? B.2 3??? C．2???????? D.8 A.1 18．已知某離散型隨機變量?X?的數學期

3、望?E(X)＝??，X?的分布列如下： P??? a???? 1?? 1 則?ξ?的均值為( ) 1 8 D.4 2．若隨機變量?ξ?的分布列如下表所示，則?E(ξ)的值為( ) ξ 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 9 9 D.20 3．同時拋擲?5?枚質地均勻的硬幣?80?次，設?5?枚硬幣正好出現?2?枚正面向上，3?枚反面向上的次數為?X，則?X?的 均值是( ) A．20 B．25 C．30 D．40 ? 1? ? 1? A．5 B．10 C．15 D．2?0 5．口袋中有編號分別為?1、2、3?的三個大小和形狀相

4、同的小球，從中任取?2?個，則取出的球的最大編號?X?的期 望為( ) 3 6．若?X?是一個隨機變量，則?E(X－E(X))的值為( ) A．無法求 B．0 C．E(X) D．2E(X) 7．設?E(ξ)＝10，E(η)＝3，則?E(3ξ＋5η)＝( ) A．45 B．40 C．30 D．15 8．今有兩臺獨立工作在兩地的雷達，每臺雷達發(fā)現飛行目標的概率分別為?0.9?和?0.85，設發(fā)現目標的雷達臺數 為?X，則?E(X)＝( ) A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22 9．設隨機變量?X?的分布列如下表所示且

5、?E(X)＝1.6，則?a－b＝( ) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4 10．已知隨機變量?ξ?和?η，其中?η＝10ξ＋2，且?E(η)＝20，若?ξ?的分布列如下表，則?m?的值為( )  A.5????????????B．6?C．7????????????D．8 13．(2010·?新課標全國理，6)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為?0.9，現播種了?1?000?粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒 需再補種?2?粒，補種的種子數記為?X，則?X?的均值為(???) A．100?????

6、???B．200?C．300????????D．400 二、填空題 ??1? 15．?某射?手射擊所得環(huán)數?ξ?的分布列如下： ξ????7????8?????9????10 P???x???0.1???0.3????y 已知?ξ?的期?望?E(ξ)＝8.9，則?y?的值為________． 16．某次考試中，第一大題由?12?個選擇題組成，每題選對得?5?分，不選或錯選得?0?分．小王選對每題的概率為 0.8，則其第一大題得分的均值為________． 17．(2010·?上海理，6)隨機變量?ξ?的概率分布列由下圖給出： x???????7?

7、????8?????9?????10 P(ξ＝x)???0.3???0.35???0.2???0.15 則隨機變量?ξ?的均值是________． 7 6 X???0????1????2????3 3????6????b 則?a＝________. 19．從?1、2、3、4、5?這?5?個數字中任取不同的兩個，則這兩個數之積的數學期望是________． 20．設?p?為非負實數，隨機變量?X?的概率分布為： X?????0?????1????2 4???? m?? n??? 1 P???? 1

8、2?－p?? p?? 1 P???? 1 60???????????? B.37 60?????? C.27 60?????????? D.1 A.47 ξ 1 2 3 4 12 8  則?E(X)的最大值為________．  2 三、解答題 21．盒中裝有?5?節(jié)同品牌的五號電池，其中混有?2?節(jié)廢電池，現在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗，直到取到好 電池為止．求： (1)抽取次數?X?的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好電池．  ξ 24．(2010·?江西理，18)某迷宮有三個通道，進

9、入迷宮的每個人都要經過一扇智能門．首次到達此門，系統(tǒng)會隨 機(即等可能)為你打開一個通道．若是?1?號通道，則需要?1?小時走出迷宮；若是?2?號、3?號通道，則分別需要?2?小時、 3?小時返回智能門．再次到達智能門時，系統(tǒng)會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止．令?表示走出迷 宮所需的時間． (1)求?ξ?的分布列；(2)求?ξ?的數學期望(均值)． 22．甲、乙兩人進行圍棋比賽，每局比賽甲勝的概率為??，乙勝的概率為??，規(guī)定某人先勝三局則比賽結束

10、，求 公司在一年度內至少支付賠償金?10?000?元的概率為?1－0.99910. 比賽局數?X?的均值．  1?2 3?3 25．購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費?a?元，若投保人在購買保險的一年度內出險，則可 以獲得?10?000?元的賠償金．假定在一年度內有?10?000?人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險 4 (1)求一投保人在一年度內出險的概率?p； (2)設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為?50?000?元，為保證盈利的期望不小于?0，求每位投保人應 交納的最低保費(單位：元)．

11、 23．盒中裝有?5?節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池，現在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗，試回答下列 問題： (1)若直到取到好電池為止，求抽取次數?ξ?的分布列及均值； (2)若將題設中的無放回改為有放回，求檢驗?5?次取到好電池個數?X?的數學期望． 26．(2009·?全國Ⅰ·?理?19)甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3?局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束，假設 在一局中，甲獲勝的概率為?0.6，乙獲勝的概率為?0.4，各局比賽結果相互獨立，已知前?2?局中，甲、乙各勝?1?局．

12、 (1)求甲獲得這次比賽勝利的概率； (2)設?X?表示從第?3?局開始到比賽結束所進行的局數，求?X?的分布列及均值． 選修?2-3 2.3.1?離散型隨機變量的均值答案 ì?x＋0.1＋0.3＋y＝1， 15．?解析：由í ? ?7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，  解得?y＝0.4. 1．解析：選?D.E(ξ)＝－1×??＋0×??＋1×??＋2×??＝??，故選?D. 2．解析：選?C.根據概率和為?1，可得?x＝ ，E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝ . 3．解析：選?B.拋

13、擲一次正好出現?3?枚反面向上，2?枚正面向上的概率為???5?＝ .所以?X～Bè80，16?. 18．[答案]? 1 故?E(X)＝80× ＝25. a＋??＋??＋??＝1?a＝??. 4．解析：選?B.因為?ξ～Bèn，2?，所以?E(ξ)＝??.又?E(ξ)＝15，則?n＝30.所以?η～Bè30，3?.故?E(η)＝30×??＝10. C3 3??????? C3? 3 15、20，取每個值的概率都是 ，∴E(X)＝ ×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5. 20．[答案]? 3 ??0≤p≤1，??? 從而得??P∈[0，??]，期望值??E

14、(X)＝0×(??－p)＋1×p＋2×??＝p ＋1，當且僅當?p＝??時，E(X)最大值?. 2 2 P(X＝1)＝??，P(X＝2)＝??×??＝ ，P(X＝3)＝??×??＝ .所以?X?的分布列為 一、選擇題 1 3 1 1 1 4 8 4 8 4 1 20 18 9 5 C2 5 ? 5?? 2 16 5 16 ? 1? n ? 1? 1 2 3 1 1 C1 2 1 2 8 5．解析：選?D.X＝2,3.P(X＝2)＝ 2＝?，P(X＝3)＝ 2＝?.∴E(X)＝2×3＋3×3＝3. 6．[答案] B[解析] 只要認識到?E(X)是

15、一個常數，則可直接運用均值的性質求解． ∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而?E(X)為常數，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0. 7．A 8．[答案] B[解析] 設?A、B?分別為每臺雷達發(fā)現飛行目標的事件，X?的可能取值為?0、1、2， P(X＝0)＝P(?A?·?B?)＝P(?A?)·?P(?B?)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015. P(X＝1)＝P(A·?B?＋?A?·?B)＝P(A)·?P(?B?)＋P(?A?)·?P(B)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22. P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)·?P(B)＝0

16、.9×0.85 ＝0.765. 16．解析：設小王選對的個數為?X，得分為?Y＝5X，則?X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝?12×?0.8＝9.6， E(?Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48?答案：48 17．8.2[解析]?本小題考查隨機變量的均值公式．E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 7?1?1?1 3[解析]?E(X)＝6＝0×a＋1×3＋2×6＋3b?b＝6，又?P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1? 1?1?1?1 3?6?6?3 19．[答案]?8.5[解析

17、]?從?1、2、3、4、5?中任取不同的兩個數，其乘積?X?的值為?2、3、4、5、6、8、10、12、 1?1 10?10 ? ì0≤1－p≤1，?1???????????????????1??????????????1 2?[解析]?由表可得í?2?2?2?2 1????????????3 ＝ 三、解答題 21．解：(1)由題意知，X?取值為?1,2,3. 3??????????2??3??3???????????2?1??1 5?5?4?10?5?4?10 X????1?????2?????3 P???? 3??? 3

18、 ∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.  5????10 1 10 (2)E(X)＝1×??＋2× ＋3× ＝1.5，即平均抽取?1.5?次可取到好電池． P(X＝3)＝C33×è3?3＋C33×è3?3＝??， 10．[答案?]?? A[解析?]?? η＝10ξ＋2?E(η)＝10E(ξ)＋2?20＝10·?E(ξ)＋2?E(ξ)＝?????＝1×??＋2×m＋3×n＋ P(X＝4)＝C23×è3?2×??×??＋C23×è3?2×??×??＝ 3 3 27?. 4× ，又??＋m＋n＋ ＝1，聯立求解可得?m＝ ，故選?

19、A. P(X＝5)＝C24×è3?2×è3?2×??＋C24×è3?2×è3?2×??＝ 3 27. 9．[答案] C[解析] 由?0.1＋a＋b＋0.1＝1，得?a＋b＝0.8，① 又由?E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得?a＋2b＝1.3，② 由①②解得?a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故應選?C. 1 1 1 47 12 4 12 60  9??9?????1 5?5?4 3?3?1 5?10?10 22．解：由題意，X?的所有可能值是?3,4,5. ?1???2

20、??1 3 ?1??2?1??2??1?2??10 3?3 ?1???2??1??2???1??2??8 3 ∴X?的分布列為： C17C1 C2 C17C13??? C23? 7×3＋2×3 3 C10?????????? C10 C10???? C10???? C210???? 5 27??. ∴E(X)＝3×??＋4× ＋5× ＝ P???? 1 10????? 8 11． A[解析] X＝1?時，P＝ 2?；X＝2?時，P＝ 2?.∴E(X)＝1× 2?＋2× 2?＝ ＝?，故選?A. 12．C,由分布列性質知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b

21、＝0.4，∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7，故選?C. 13．[答案] B[解析] 本題以實際問題為背景，考查的事件的均值問題． 記“不發(fā)芽的種子數為?ξ”，則?ξ～B(1?000,0.1)，所以?E(ξ)＝1?000×0.1＝100，而?X＝2ξ，故?EX＝E(2ξ)＝2E(ξ) ＝200，故選?B.  1????10?????8??107 3?27?27 X?3?????4?????5 [來 源:.Com]  3?27????27 14．解析：E(X)＝100×??＝50，E(2X＋3

22、)＝2E(X)＋3＝103.答案：103 則?P(ξ＝1)＝??，P(ξ＝2)＝??×??＝ ，P(ξ＝3)＝??×??×1＝ ，抽取次數?ξ?的分布列為： 二、填空題  1 2 23．[解析]?(1)ξ?可取的值為?1、2、3， 3?2?3??3??????????2?1?????1 5?5?4?10?5?4?10 E(ξ)＝1×??＋2× ＋3× ＝1.5. 3 3 1 5 10 10 ξ P 1 3 5 2 3 10 3 1 10 因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比

23、賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝?2?局，從而?B＝A3·?A4 ＋B3·?A4·?A5＋A3·?B4·?A5. 由于各局比賽結果相互獨立，故 P(B)＝P(A3·?A4)＋P(B3·?A4·?A5)＋P(A3·?B4·?A5) (2)每次檢驗取到好電池的概率均為?，故?X～B(n，p)，即?X～B(5，??)，則?E(X)＝5×??＝3. P(ξ＝1)＝??，P(ξ＝3)＝??，P(ξ＝4)＝??，P(ξ＝6)＝??，所以?ξ?的分布列為： P???? 1?? 1?? 1 (2)E(ξ)＝1×??＋3×??＋4×??＋6×??＝??(小時) －P(ξ＝0

24、)＝1－(1－p)10， 3 3 3 5 5 5 24．[解析] 本題考查學生的全面分析能力，考查學生對事件概率的求解能力以及對文字描述的理解能力．解本 題的兩個關鍵點是：一是?ξ?的所有取值，二是概率． 解：(1)ξ?的所有可能取值為：1,3,4,6 1 1 1 1 3 6 6 3 ξ 1 3 4 6 1 3 6 6 3 1 1 1 1 7 3 6 6 3 2 25．[解析] 解答第(1)題運用對立事件的概率公式，建立方程求解． 解答第(2)題運用二項分布的期望公式，建立不等式求解． 各投保人是否出險相互獨立，且出險的概率

25、都是?p，記投保的?10?000?人中出險的人數為?ξ，則?ξ～B(104，p)． (1)記?A?表示事件：保險公司為該險種至少支付?10?000?元賠償金，則?A?發(fā)生當且僅當?ξ＝0，P(A)＝1－P(?A?)＝1 4 4 又?P(A)＝1－0.99910， 故?p＝0.001. (2)該險種總收入為?10?000a?元，支出是賠償金總額與成本的和． 支出：10?000ξ＋50?000， 盈利：η＝10?000a－(10?000ξ＋50?000)， 盈利的期望為： E(η)＝10?000a－10?000E(ξ)－50?000，

26、由?ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10?000×10－3， E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104 ＝104a－104×104×10－3－5×104. E(η)≥0?104a－104×10－5×104≥0?a－10－5≥0?a≥15(元)． 故每位投保人應交納的最低保費為?15?元． 26．[解析] 設?Ai?表示事件：第?i?局甲獲勝，i＝3,4,5， Bj?表示事件：第?j?局乙獲勝，j＝3,4. (1)記?B?表示事件：甲獲得這次比賽的勝利 ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. (2)X?的可能取值為?2,3. 由于各局比賽結果相互獨立，所以 P(X＝2)＝P(A3·?A4＋B3·?B4)＝P(A3·?A4)＋P(B3·?B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52， P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48. 故?X?的分布列為 X????2??????3 P???0.52???0.48 E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.