（全國120套）2013年中考數(shù)學試卷分類匯編 銳角三角函數(shù)

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1、銳角三角函數(shù) 1、（2013?天津）tan60°的值等于（　?。? 　 A． 1 B． C． D． 2 考點： 特殊角的三角函數(shù)值． 分析： 根據記憶的特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案． 解答： 解：tan60°=． 故選C． 點評： 本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，一些特殊角的三角函數(shù)值是需要我們熟練記憶的內容． 2、（2013?溫州）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則sinA的值是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 銳角三角函數(shù)的定義 分析： 利用正弦函數(shù)的定義即可直接求解．

2、 解答： 解：sinA==． 故選C． 點評： 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊． 3、（2013?雅安）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，∠CDB=30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于E，則sin∠E的值為（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 切線的性質；圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值． 分析： 首先連接OC，由CE是⊙O切線，可得OC⊥CE，由圓周角定理，可得∠BOC=60°，繼而求得∠E的度數(shù)，則可求得sin∠E的值． 解答：

3、解：連接OC， ∵CE是⊙O切線， ∴OC⊥CE， 即∠OCE=90°， ∵∠CDB=30°， ∴∠COB=2∠CDB=60°， ∴∠E=90°﹣∠COB=30°， ∴sin∠E=． 故選A． 點評： 此題考查了切線的性質、圓周角定理以及特殊角的三角函數(shù)值．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 4、（2013?包頭）3tan30°的值等于（　　） 　 A． B． 3 C． D． 考點： 特殊角的三角函數(shù)值． 分析： 直接把tan30°=代入進行計算即可． 解答： 解：原式=3×=． 故選A． 點評

4、： 本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵． 5、（2013?孝感）式子的值是（　?。? 　 A． B． 0 C． D． 2 考點： 特殊角的三角函數(shù)值． 分析： 將特殊角的三角函數(shù)值代入后，化簡即可得出答案． 解答： 解：原式=2×﹣1﹣（﹣1） =﹣1﹣+1 =0． 故選B． 點評： 本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，一些特殊角的三角函數(shù)值是需要我們熟練記憶的內容． 6、（2013?荊門）如圖，在半徑為1的⊙O中，∠AOB=45°，則sinC的值為（　?。? 　 A． B． C．

5、 D． 考點： 圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．3718684 分析： 首先過點A作AD⊥OB于點D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD與OD的長，繼而可得BD的長，然后由勾股定理求得AB的長，繼而可求得sinC的值． 解答： 解：過點A作AD⊥OB于點D， ∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°， ∴OD=AD=OA?cos45°=×1=， ∴BD=OB﹣OD=1﹣， ∴AB==， ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°，AC=2， ∴sinC=． 故選B． 點評： 此題考查了圓周角定理、三角函數(shù)以及勾股定理．此題難度適

6、中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 　 7、（2013?白銀）如圖，⊙O的圓心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分線上運動，且⊙O與∠α的兩邊相切，圖中陰影部分的面積S關于⊙O的半徑r（r＞0）變化的函數(shù)圖象大致是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 動點問題的函數(shù)圖象；多邊形內角與外角；切線的性質；切線長定理；扇形面積的計算；銳角三角函數(shù)的定義． 專題： 計算題． 分析： 連接OB、OC、OA，求出∠BOC的度數(shù)，求出AB、AC的長，求出四邊形OBAC和扇形OBC的面積，即可求出答案． 解答： 解：連接OB、O

7、C、OA， ∵圓O切AM于B，切AN于C， ∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC ∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°， ∵AO平分∠MAN， ∴∠BAO=∠CAO=α， AB=AC=， ∴陰影部分的面積是：S四邊形BACO﹣S扇形OBC=2×××r﹣=（﹣）r2， ∵r＞0， ∴S與r之間是二次函數(shù)關系． 故選C． 點評： 本題主要考查對切線的性質，切線長定理，三角形和扇形的面積，銳角三角函數(shù)的定義，四邊形的內角和定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵． 8、（2013?鄂州）如圖，Rt△AB

8、C中，∠A=90°，AD⊥BC于點D，若BD：CD=3：2，則tanB=（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 相似三角形的判定與性質；銳角三角函數(shù)的定義．3718684 分析： 首先證明△ABD∽△ACD，然后根據BD：CD=3：2，設BD=3x，CD=2x，利用對應邊成比例表示出AD的值，繼而可得出tanB的值． 解答： 解：在Rt△ABC中， ∵AD⊥BC于點D， ∴∠ADB=∠CDA， ∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°， ∴∠B=∠DAC， ∴△ABD∽△ACD， ∴=， ∵BD：CD=3：2， 設B

9、D=3x，CD=2x， ∴AD==x， 則tanB===． 故選D． 點評： 本題考查了相似三角形的判定與性質及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般，解答本題的關鍵是根據垂直證明三角形的相似，根據對應變成比例求邊長． 9、(2013年深圳市)如圖3，已知，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個項點分別在這三條平行直線上，則的值是（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：分別過點A，B作 設平行線間距離為d＝1，CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝，AB＝， 則 10、（2013杭州）在Rt△

10、ABC中，∠C=90°，AB=2BC，現(xiàn)給出下列結論：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正確的結論是 （只需填上正確結論的序號） 考點：特殊角的三角函數(shù)值；含30度角的直角三角形． 專題：探究型． 分析：先根據題意畫出圖形，再由直角三角形的性質求出各角的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值即可得出結論． 解答：解：如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC， ∴sinA==，故①錯誤； ∴∠A=30°， ∴∠B=60°， ∴cosB=cos60°=，故②正確； ∵∠A=30°， ∴tanA=tan30°=，故③正確； ∵∠B

11、=60°， ∴tanB=tan60°=，故④正確． 故答案為：③③④． 點評：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．　 11、（2013?攀枝花）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，cosA=，BE=4，則tan∠DBE的值是　2　． 考點： 菱形的性質；解直角三角形． 分析： 求出AD=AB，設AD=AB=5x，AE=3x，則5x﹣3x=4，求出x，得出AD=10，AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE=8，在Rt△BDE中得出tan∠DBE=，代入求出即可， 解答： 解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴A

12、D=AB， ∵cosA=，BE=4，DE⊥AB， ∴設AD=AB=5x，AE=3x， 則5x﹣3x=4， x=2， 即AD=10，AE=6， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE==8， 在Rt△BDE中，tan∠DBE===2， 故答案為：2． 點評： 本題考查了菱形的性質，勾股定理，解直角三角形的應用，關鍵是求出DE的長． 12、（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，則BC的長 ． 考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理． 分析：首先利用余弦函數(shù)的定義求得AC的長，然后利用勾股定理即可求得BC的長． 解答：解：∵cosA=，

13、 ∴AC=AB?cosA=8×=6， ∴BC===2． 故答案是：2． 點評：本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．　 13、（2013陜西）比較大?。? （填“>”，“=”，“<”）． 考點：科學計算器的使用：數(shù)的開方及三角函數(shù)值。 解析：按鍵順序：易得填“>” 14、（2013?淮安）sin30°的值為　?。? 考點： 特殊角的三角函數(shù)值．3718684 分析： 根據特殊角的三角函數(shù)值計算即可． 解答： 解：sin30°=，故答案為． 點評： 本題考查了特殊角

14、的三角函數(shù)值，應用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記． 15、（2013?自貢）如圖，邊長為1的小正方形網格中，⊙O的圓心在格點上，則∠AED的余弦值是　　． 考點： 圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．3718684 專題： 網格型． 分析： 根據同弧所對的圓周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠ABC的值，即為cos∠AED的值． 解答： 解：∵∠AED與∠ABC都對， ∴∠AED=∠ABC， 在Rt△A

15、BC中，AB=2，AC=1， 根據勾股定理得：BC=， 則cos∠AED=cos∠ABC==． 故答案為： 點評： 此題考查了圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，熟練掌握圓周角定理是解本題的關鍵． 16、(2013年武漢)計算＝ ． 答案：解析：直接由特殊角的余弦值，得到。 17、（2013? 德州）cos30°的值是　　． 考點： 特殊角的三角函數(shù)值． 分析： 將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可． 解答： 解：cos30°=×=． 故答案為：． 點評： 本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎題，掌握幾個特殊角的三角函

16、數(shù)值是解題的關鍵． 18、（2013?曲靖）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，則CD=　3　． 考點： 直角梯形． 分析： 過點D作DE⊥BC于E，則易證四邊形ABED是矩形，所以AD=BE=1，進而求出CE的值，再解直角三角形DEC即可求出CD的長． 解答： 解：過點D作DE⊥BC于E． ∵AD∥BC，∠B=90°， ∴四邊形ABED是矩形， ∴AD=BE=1， ∵BC=4， ∴CE=BC﹣BE=3， ∵∠C=45°， ∴cosC==， ∴CD=3． 故答案為3． 點評： 此題考查了直角

17、梯形的性質，矩形的判定和性質以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，此題難度不大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用． 19、（2013?湖州）如圖，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=13，AC=12，則cosB的值為　?。? 考點： 銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理． 分析： 首先利用勾股定理求得BC的長，然后利用余弦函數(shù)的定義即可求解． 解答： 解：BC===5， 則cosB==． 點評： 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊． 20、(2013年廣東省4分、14)在Rt△ABC中,∠ABC

18、=90°,AB=3,BC=4,則sinA=________. 答案： 解析：由勾股定理，得AB＝5，所以sinA＝ 21、（2013甘肅蘭州4分、9）△ABC中，a、b、c分別是∠A．∠B、∠C的對邊，如果a2+b2=c2，那么下列結論正確的是（　?。? 　 A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b 考點：勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義． 分析：由于a2+b2=c2，根據勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根據銳角三角函數(shù)的定義即可得到正確選項． 解答：解：∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C

19、=90°． A．sinA=，則csinA=a．故本選項正確； B．cosB=，則cosBc=a．故本選項錯誤； C．tanA=，則=b．故本選項錯誤； D．tanB=，則atanB=b．故本選項錯誤． 故選A． 點評：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．　 22、（2013哈爾濱） 先化簡，再求代數(shù)式的值，其中 考點：知識點考察：①分式的通分，②分式的約分，③除法變乘法的法則，④完全平方公式 ⑤特殊角的三角函數(shù)值 分析：利用除式的分子利用完全平方公式分解因

20、式，除法變乘法的法則，同分母分式的減法法則計算，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出a的值代入進行計算即可，考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵 解答：原式=== ∵== ∴原式=== 23、（13年北京5分20）如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O 相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E。 （1）求證：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長。[中國教育出&版*^#@網] 解析： 考點：圓中的證明與計算（三角形相似、三角函數(shù)、切線的性質） 24、（13年北京8

21、分25）對于平面直角坐標系O中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關聯(lián)點。 已知點D（，），E（0，-2），F(xiàn)（，0） （1）當⊙O的半徑為1時， ①在點D，E，F(xiàn)中，⊙O的關聯(lián)點是__________； ②過點F作直線交軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P（，）是⊙O的關聯(lián)點，求的取值范圍； （2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，求這個圓的半徑的取值范圍。 解析：【解析】(1) ①； ② 由題意可知，若點要剛好是圓的關聯(lián)點； 需要點到圓的兩條切線和之間所夾 的角度為； 由圖可知，則

22、， 連接，則； ∴若點為圓的關聯(lián)點；則需點到圓心的距離滿足； 由上述證明可知，考慮臨界位置的點，如圖2； 點到原點的距離； 過作軸的垂線，垂足為； ； ∴； ∴； ∴； ∴； 易得點與點重合，過作軸于點； 易得； ∴； 從而若點為圓的關聯(lián)點，則點必在線段上； ∴； (2) 若線段上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小， 則這個圓的圓心應在線段的中點； 考慮臨界情況，如圖3； 即恰好點為圓的關聯(lián)時，則； ∴此時； 故若線段上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點， 這個圓的半徑的取值范圍為. 【點評】“新定義”問題最關鍵的

23、是要能夠把“新定義”轉化為自己熟悉的知識，通過第(2)問開 頭部分的解析，可以看出本題的“關聯(lián)點”本質就是到圓心的距離小于或等于倍半 徑的點. 了解了這一點，在結合平面直角坐標系和圓的知識去解答就事半功倍了. 考點：代幾綜合（“新定義”、特殊直角三角形的性質、圓、特殊角三角形函數(shù)、數(shù)形結合） 25、(2013年廣東湛江)閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再將要求答題： ，則 ； ① ，則 ； ② ，則 ． ③ …… 觀察上述等式，猜想：對任意銳角，都有 1 ．④ （１）如圖，在銳角三角形

24、中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理 對證明你的猜想； （２）已知：為銳角且，求． （１）證明：過點作于，在△中，， 由勾股定理得，， （２）解：為銳角，， 26、（2013?郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）證明：△PCE是等腰三角形； （2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數(shù)式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之間的數(shù)量關系； （3）當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關系式．x為何值時，S有最大值？并求出

25、S的最大值． 考點： 等腰三角形的判定與性質；二次函數(shù)的最值；解直角三角形．3718684 分析： （1）根據等邊對等角可得∠A=∠C，然后根據兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證； （2）根據等腰三角形三線合一的性質求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長，再根據結果整理可得EM+FN=BH； （3）分別求出EM、FN、BH，然后根據S△PCE，S△APF，S△ABC，再根據S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S與x的關系式，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答． 解答： （1）證明：∵AB=BC， ∴∠A=∠

26、C， ∵PE∥AB， ∴∠CPE=∠A， ∴∠CPE=∠C， ∴△PCE是等腰三角形； （2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP， ∴CM=CP=，tanC=tanA=k， ∴EM=CM?tanC=?k=， 同理：FN=AN?tanA=?k=4k﹣， 由于BH=AH?tanA=×8?k=4k， 而EM+FN=+4k﹣=4k， ∴EM+FN=BH； （3）解：當k=4時，EM=2x，F(xiàn)N=16﹣2x，BH=16， 所以，S△PCE=x?2x=x2，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64， S=S△ABC﹣S△PC

27、E﹣S△APF， =64﹣x2﹣（8﹣x）2， =﹣2x2+16x， 配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32， 所以，當x=4時，S有最大值32． 點評： 本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的最值問題，表示出各三角形的高線是解題的關鍵，也是本題的難點． 27、（2013?呼和浩特）如圖，AD是△ABC的角平分線，以點C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求證：點F是AD的中點； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半徑CD的長．

28、考點： 相似三角形的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形．3718684 分析： （1）由AD是△ABC的角平分線，∠B=∠CAE，易證得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得EF⊥AD，由三線合一的知識，即可判定點F是AD的中點； （2）首先連接DM，設EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的長，繼而求得DM與ME的長，由余弦的定義，即可求得答案； （3）易證得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得方程：（5k）2=k?（10+5k），解此方程即可求得答案． 解答： （1）證明：∵AD是△ABC

29、的角平分線， ∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， ∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA， ∵ED為⊙O直徑， ∴∠DFE=90°， ∴EF⊥AD， ∴點F是AD的中點； （2）解：連接DM， 設EF=4k，df=3k， 則ED==5k， ∵AD?EF=AE?DM， ∴DM===k， ∴ME==k， ∴cos∠AED==； （3）解：∵∠B=∠3，∠AEC為公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE， ∴AE2=CE?BE， ∴（5k）2=k?（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2，

30、∴CD=k=5． 點評： 此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用． 28、（2013?濱州壓軸題）根據要求，解答下列問題： （1）已知直線l1的函數(shù)表達式為y=x，請直接寫出過原點且與l1垂直的直線l2的函數(shù)表達式； （2）如圖，過原點的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為30°． ①求直線l3的函數(shù)表達式； ②把直線l3繞原點O按逆時針方向旋轉90°得到的直線l4，求直線l4的函數(shù)表達式． （3）分別觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達式，

31、請猜想：當兩直線垂直時，它們的函數(shù)表達式中自變量的系數(shù)之間有何關系？請根據猜想結論直接寫出過原點且與直線y=﹣垂直的直線l5的函數(shù)表達式． 考點： 一次函數(shù)綜合題． 分析： （1）根據題意可直接得出l2的函數(shù)表達式； （2）①先設直線l3的函數(shù)表達式為y=k1x（k1≠0），根據過原點的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為30°，直線過一、三象限，求出k1=tan30°，從而求出直線l3的函數(shù)表達式； ②根據l3與l4的夾角是為90°，求出l4與x軸的夾角是為60°，再設l4的解析式為y=k2x（k2≠0），根據直線l4過二、四象限，求出k2=﹣tan60°，從而求出

32、直線l4的函數(shù)表達式； （3）通過觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達式可得出它們的函數(shù)表達式中自變量的系數(shù)互為負倒數(shù)關系，再根據這一關系即可求出與直線y=﹣垂直的直線l5的函數(shù)表達式． 解答： 解：（1）根據題意得：y=﹣x； （2）①設直線l3的函數(shù)表達式為y=k1x（k1≠0）， ∵過原點的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為30°，直線過一、三象限， ∴k1=tan30°=， ∴直線l3的函數(shù)表達式為y=x； ②∵l3與l4的夾角是為90°， ∴l(xiāng)4與x軸的夾角是為60°， 設l4的解析式為y=k2x（k2≠0）， ∵直線l4過二、四象限， ∴k2=﹣ta

33、n60°=﹣， ∴直線l4的函數(shù)表達式為y=﹣x； （3）通過觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達式可知，當兩直線互相垂直時，它們的函數(shù)表達式中自變量的系數(shù)互為負倒數(shù)關系， ∴過原點且與直線y=﹣垂直的直線l5的函數(shù)表達式為y=5x． 點評： 此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)的解析式的求法，關鍵是根據銳角三角函數(shù)求出k的值，做綜合性的題要與幾何圖形相結合，更直觀一些． 29、（2013菏澤）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點D，取CD的中點E，AE的延長線與BC的延長線交于點P． （1）求證：AP是

34、⊙O的切線； （2）OC=CP，AB=6，求CD的長． 考點：切線的判定與性質；解直角三角形． 分析：（1）連接AO，AC（如圖）．欲證AP是⊙O的切線，只需證明OA⊥AP即可； （2）利用（1）中切線的性質在Rt△OAP中利用邊角關系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函數(shù)的定義知AC=2，CD=4． 解答：（1）證明：連接AO，AC（如圖）． ∵BC是⊙O的直徑， ∴∠BAC=∠CAD=90°． ∵E是CD的中點， ∴CE=DE=AE． ∴∠ECA=∠EAC． ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA． ∵CD是⊙O的切線， ∴C

35、D⊥OC． ∴∠ECA+∠OCA=90°． ∴∠EAC+∠OAC=90°． ∴OA⊥AP． ∵A是⊙O上一點， ∴AP是⊙O的切線； （2）解：由（1）知OA⊥AP． 在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA， ∴sinP==， ∴∠P=30°． ∴∠AOP=60°． ∵OC=OA， ∴∠ACO=60°． 在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°， ∴AC==2， 又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°， ∴CD===4． 點評：本題考查了切線的判定與性質、解直角

36、三角形．注意，切線的定義的運用，解題的關鍵是熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值．　 30、（2013?內江）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，則sinA﹣sinB=　±?。? 考點： 互余兩角三角函數(shù)的關系． 分析： 根據互余兩角的三角函數(shù)關系，將sinA+sinB平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值，代入即可求解． 解答： 解：（sinA+sinB）2=（）2， ∵sinB=cosA， ∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=， ∴2sinAcosA=﹣1=， 則（sinA﹣sinB）2=sin2A

37、+cos2A﹣2sinAcosA=1﹣=， ∴sinA﹣sinB=±． 故答案為：±． 點評： 本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關系，屬于基礎題，掌握互余兩角三角函數(shù)的關系是解答本題的關鍵． 31、（2013?攀枝花）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，直線PO交⊙O與點E，F(xiàn)過點A作PO的垂線AB垂足為D，交⊙O與點B，延長BO與⊙O交與點C，連接AC，BF． （1）求證：PB與⊙O相切； （2）試探究線段EF，OD，OP之間的數(shù)量關系，并加以證明； （3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值． 考點： 圓的綜合題． 分析： （1）連接OA，由OP垂

38、直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PA為圓的切線，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對應角相等及垂直的定義得到OB垂直于BP，即PB為圓O的切線； （2）由一對直角相等，一對公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證． （3）連接BE，構建直角△BEF．在該直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理可設BE=x，BF=2x，進而可得EF=x；然后由面積法求得BD=x，所以根據垂徑定理求得AB的長度，在R

39、t△ABC中，根據勾股定理易求BC的長；最后由余弦三角函數(shù)的定義求解． 解答： （1）證明：連接OA， ∵PA與圓O相切， ∴PA⊥OA，即∠OAP=90°， ∵OP⊥AB， ∴D為AB中點，即OP垂直平分AB， ∴PA=PB， ∵在△OAP和△OBP中， ， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴BP⊥OB， 則直線PB為圓O的切線； （2）答：EF2=4DO?PO． 證明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA， ∴△OAD∽△OPA， ∴=，即OA2=OD?OP， ∵EF為圓的直徑，即EF=2OA， ∴EF

40、2=OD?OP，即EF2=4OD?OP； （3）解：連接BE，則∠FBE=90°． ∵tan∠F=， ∴=， ∴可設BE=x，BF=2x， 則由勾股定理，得 EF==x， ∵BE?BF=EF?BD， ∴BD=x． 又∵AB⊥EF， ∴AB=2BD=x， ∴Rt△ABC中，BC=x， AC2+AB2=BC2， ∴122+（x）2=（x）2， 解得：x=4， ∴BC=4×=20， ∴cos∠ACB===． 點評： 此題考查了切線的判定與性質，相似及全等三角形的判定與性質以及銳角三角函數(shù)關系等知識，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵． 32、（2

41、013?曲靖）如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，連接DE，過點C作CF⊥DE于F，過點A作AG∥CF交DE于點G． （1）求證：△DCF≌△ADG． （2）若點E是AB的中點，設∠DCF=α，求sinα的值． 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；解直角三角形． 分析： （1）根據正方形的性質求出AD=DC，∠ADC=90°，根據垂直的定義求出∠CFD=∠CFG=90°，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，從而得到∠AGD=∠CFD，再根據同角的余角相等求出∠ADG=∠DCF，然后利用“角角邊”證明△DCF和△ADG全等即可； （2）設

42、正方形ABCD的邊長為2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊求出∠ADG的正弦，即為α的正弦． 解答： （1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD=∠CFG=90°， ∵AG∥CF， ∴∠AGD=∠CFG=90°， ∴∠AGD=∠CFD， 又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°， ∠DCF+∠CDE=90°， ∴∠ADG=∠DCF， ∵在△DCF和△ADG中， ， ∴△DCF≌△ADG（AAS）； （2）設正方形ABCD的邊長為2a， ∵點E是AB的中點， ∴AE=×2a=a， 在Rt△ADE中，DE===a， ∴sin∠ADG===， ∵∠ADG=∠DCF=α， ∴sinα=． 點評： 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)，同角的余角相等的性質，以及勾股定理的應用，熟練掌握各圖形的性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵．