（全國120套）2013年中考數(shù)學試卷分類匯編 材料閱讀題、定義新

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1、材料閱讀題、定義新 1、（2013年濰坊市）對于實數(shù)，我們規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例如，，，若，則的取值可以是（ ）. A.40 B.45 C.51 D.56 答案：C． 考點:新定義問題. 點評:本題需要學生先通過閱讀掌握新定義公式，再利用類似方法解決問題.考查了學生觀察問題，分析問題，解決問題的能力. 2、（5-&函數(shù)的綜合與創(chuàng)新·2013東營中考）若定義：， ，例如，，則=（ ） A． B． C． D． 6.B.解析：由題意得f(2,3)=(-2,-3),所以g(f(2,-3))=g(-2,-3)=(-2,3)

2、,故選B. 3、（2013四川宜賓）對于實數(shù)a、b，定義一種運算“?”為：a?b=a2+ab﹣2，有下列命題：①1?3=2； ②方程x?1=0的根為：x1=﹣2，x2=1； ③不等式組的解集為：﹣1＜x＜4； ④點（，）在函數(shù)y=x?（﹣1）的圖象上． 其中正確的是（　?。? 　A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④ 考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；有理數(shù)的混合運算；解一元二次方程－因式分解法；解一元一次不等式組；命題與定理． 專題：新定義． 分析：根據(jù)新定義得到1?3=12+1×3﹣2=2，則可對①進行判斷；根據(jù)新定義由x?1=0得到x2+

3、x﹣2=0，然后解方程可對②進行判斷；根據(jù)新定義得，解得﹣1＜x＜4，可對③進行判斷； 根據(jù)新定義得y=x?（﹣1）=x2﹣x﹣2，然后把x=代入計算得到對應的函數(shù)值，則可對④進行判斷． 解答：解：1?3=12+1×3﹣2=2，所以①正確； ∵x?1=0， ∴x2+x﹣2=0， ∴x1=﹣2，x2=1，所以②正確； ∵（﹣2）?x﹣4=4﹣2x﹣2﹣4=﹣2x﹣2，1?x﹣3=1+x﹣2﹣3=x﹣4， ∴，解得﹣1＜x＜4，所以③正確； ∵y=x?（﹣1）=x2﹣x﹣2， ∴當x=時，y=﹣﹣2=﹣，所以④錯誤． 故選C． 點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次

4、函數(shù)圖象上點的坐標滿足二次函數(shù)的解析式．也考查了閱讀理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式組．　 4、（2013?舟山）對于點A（x1，y1），B（x2，y2），定義一種運算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四點C，D，E，F(xiàn)，滿足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，則C，D，E，F(xiàn)四點（　　） 　 A． 在同一條直線上 B． 在同一條拋物線上 　 C． 在同一反比例函數(shù)圖象上 D． 是同一個正方形的四個頂點 考點： 一次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 專題： 新定義

5、． 分析： 如果設C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6），先根據(jù)新定義運算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），則x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，則C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）都在直線y=﹣x+k上． 解答： 解：∵對于點A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）， 如果設C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5

6、，y5），F(xiàn)（x6，y6）， 那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4）， D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5）， E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6）， F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6）， 又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D， ∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6）， ∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6， 令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k， 則C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）都在直線y=﹣x+k上， ∴

7、互不重合的四點C，D，E，F(xiàn)在同一條直線上． 故選A． 點評： 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，以及學生的閱讀理解能力，有一定難度． 5、（2013達州）已知，則 …… 已知，求n的值。 解析：由題知 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n) =+++…+ =1-+-+-+…+- =1-………………………(4分） =.………………………(4分） 又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=, ∴=. 解得n=14.………………………(6分） 經(jīng)檢驗，n=14是上述方程的解. 故n的值為14.………………………(7分） 6、 (20

8、13年臨沂) 對于實數(shù)a,b,定義運算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因為4>2,所以4﹡2.若是一元二次方程的兩個根，則﹡= 　　　　　 答案： 解析：（1）當，＝3時，﹡=＝－3； 　　?。?）當，＝2時，﹡=＝3； 7、（2013?白銀）現(xiàn)定義運算“★”，對于任意實數(shù)a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，則實數(shù)x的值是　﹣1或4?。? 考點： 解一元二次方程-因式分解法． 專題： 新定義． 分析： 根據(jù)題中的新定義將所求式子轉化為一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值． 解答： 解：根據(jù)題中的新定義將x★2=6變

9、形得： x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0， 因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0， 解得：x1=4，x2=﹣1， 則實數(shù)x的值是﹣1或4． 故答案為：﹣1或4 點評： 此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊變?yōu)榉e的形式，然后根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解． 8、（2013?牡丹江）定義一種新的運算a﹠b=ab，如2﹠3=23=8，那么請試求（3﹠2）﹠2=　81?。? 考點： 有理數(shù)的乘方．3718684 專題： 新定義． 分析： 首先根據(jù)運算a﹠b=ab，把所求的式

10、子轉化為一般形式的運算，然后計算即可求解． 解答： 解：（3﹠2）﹠2 =（32）2=92=81． 故答案是：81． 點評： 本題考查了有理數(shù)的乘方運算，理解題意是關鍵． 9、（2013菏澤）我們規(guī)定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）．已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是　，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）　（寫出1個即可）． 考點：等邊三角形的性質(zhì)． 專題：新定義；開放型． 分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)， （1）最長的面徑是等邊三角形的高線；

11、（2）最短的面徑平行于三角形一邊，最長的面徑為等邊三角形的高，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑． 解答：解：如圖， （1）等邊三角形的高AD是最長的面徑， AD=×2=； （2）當EF∥BC時，EF為最短面徑， 此時，（）2=， 即=， 解得EF=． 所以，它的面徑長可以是，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）． 故答案為：，（或介于和之間的任意兩個實數(shù)）． 點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，弄明白面徑的定義，并準確判斷出等邊三角形的最短與最長的面徑是解題的關鍵．　 10、（2013成都市）若正整數(shù)n使得在計算n+（n+1）+（n+2）的過程

12、中，個數(shù)位上均不產(chǎn)生進為現(xiàn)象，則稱n為“本位數(shù)”，例如2和30是 “本位數(shù)”，而5和91不是“本位數(shù)”.現(xiàn)從所有大于0且小于100的“本位數(shù)”中，隨機抽取一個數(shù)，抽到偶數(shù)的概率為____. 答案： 解析：各位數(shù)上均不進位，那么n的個位數(shù)上只能是0,1,2，否則就要在個位上發(fā)生進位，在大于0小于100的數(shù)中，一位數(shù)的本位數(shù)有1,2.兩位數(shù)中十位數(shù)字不能不超過3，否則向百位進位，所以有3×3=9個，分別為10,11,12,20,21,22,30,31,32,其中偶數(shù)有7個，共有11個本位數(shù)，所以其概率為 12、（2013達州）選取二次三項式中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方。例如

13、①選取二次項和一次項配方：； ②選取二次項和常數(shù)項配方：， 或 ③選取一次項和常數(shù)項配方： 根據(jù)上述材料，解決下面問題： （1）寫出的兩種不同形式的配方； （2）已知，求的值。 解析：：（1）＝x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12 或＝（x-2）2-4x (2) X=-1,y=2.因此xy=(-1)2=1 13、（2013濟寧）人教版教科書對分式方程驗根的歸納如下：“解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母為0，因此應如下檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則

14、整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．” 請你根據(jù)對這段話的理解，解決下面問題：已知關于x的方程﹣=0無解，方程x2+kx+6=0的一個根是m． （1）求m和k的值； （2）求方程x2+kx+6=0的另一個根． 考點：解分式方程；根與系數(shù)的關系． 專題：閱讀型． 分析：（1）分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程無解，故將x=1代入整式方程，即可求出m的值，將m的值代入已知方程即可求出k的值； （2）利用根與系數(shù)的關系即可求出方程的另一根． 解答：解：（1）分式方程去分母得：m﹣1﹣x=0， 由題意將x=1代入得：m﹣1﹣1=0，即m=2， 將m=

15、2代入方程得：4+2k+6=0，即k=﹣5； （2）設方程另一根為a，則有2a=6，即a=3． 點評：此題考查了解分式方程，以及根與系數(shù)的關系，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．　 14、（2013?張家界）閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：設S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，將等式兩邊同時乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 將下式減去上式得2S﹣S=22014﹣1 即S=22014﹣1 即1+2+22+2

16、3+24+…+22013=22014﹣1 請你仿照此法計算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n為正整數(shù)）． 考點： 同底數(shù)冪的乘法．3718684 專題： 計算題． 分析： （1）設S=1+2+22+23+24+…+210，兩邊乘以2后得到關系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值； （2）同理即可得到所求式子的值． 解答： 解：（1）設S=1+2+22+23+24+…+210， 將等式兩邊同時乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211， 將下式減去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=

17、211﹣1， 則1+2+22+23+24+…+210=211﹣1； （2）設S=1+3+32+33+34+…+3n， 兩邊乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1， 下式減去上式得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1）， 則1+3+32+33+34+…+3n=（3n+1﹣1）． 點評： 此題考查了同底數(shù)冪的乘法，弄清題中的技巧是解本題的關鍵． 15、（2013?十堰）定義：對于實數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4． （1）如果[a]=﹣2，那么a的取值范圍是　﹣2≤a＜﹣1?。? （2）如

18、果[]=3，求滿足條件的所有正整數(shù)x． 考點： 一元一次不等式組的應用．3718684 專題： 新定義． 分析： （1）根據(jù)[a]=﹣2，得出﹣2≤a＜﹣1，求出a的解即可； （2）根據(jù)題意得出3≤[]＜4，求出x的取值范圍，從而得出滿足條件的所有正整數(shù)的解． 解答： 解：（1）∵[a]=﹣2， ∴a的取值范圍是﹣2≤a＜﹣1， （2）根據(jù)題意得： 3≤[]＜4， 解得：5≤x＜7， 則滿足條件的所有正整數(shù)為5，6． 點評： 此題考查了一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出不等式組，求出不等式的解． 16、（2013年河北）定義新運算：對

19、于任意實數(shù)a，b，都有a⊕b＝a(a－b)+1，等式右邊是通常的加法、 減法及乘法運算，比如： 2⊕5＝2′(2－5)+1 ＝2′(－3)+1 ＝－6+1 ＝－5=′-+ （1）求（－2）⊕3的值 （2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范圍，并在圖13所示的數(shù)軸上表示出來. 解析： （1）=10+1 =11 （2）∵<13　　∴ 數(shù)軸表示如圖1所示 17、（2013濟寧）閱讀材料：若a，b都是非負實數(shù)，則a+b≥．當且僅當a

20、=b時，“=”成立． 證明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0． ∴a+b≥．當且僅當a=b時，“=”成立． 舉例應用：已知x＞0，求函數(shù)y=2x+的最小值． 解：y=2x+≥=4．當且僅當2x=，即x=1時，“=”成立． 當x=1時，函數(shù)取得最小值，y最小=4． 問題解決：汽車的經(jīng)濟時速是指汽車最省油的行駛速度．某種汽車在每小時70～110公里之間行駛時（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若該汽車以每小時x公里的速度勻速行駛，1小時的耗油量為y升． （1）求y關于x的函數(shù)關系式（寫出自變量x的取值范圍）； （2）求該汽車的經(jīng)濟時速及經(jīng)濟時速的百公里耗油量（結果保留小數(shù)點

21、后一位）． 考點：反比例函數(shù)的應用；一元一次不等式的應用． 分析：（1）根據(jù)耗油總量=每公里的耗油量×行駛的速度列出函數(shù)關系式即可； （2）經(jīng)濟時速就是耗油量最小的形式速度． 解答：解：（1）∵汽車在每小時70～110公里之間行駛時（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升． ∴y=x×（+）=（70≤x≤110）； （2）根據(jù)材料得：當時有最小值， 解得：x=90 ∴該汽車的經(jīng)濟時速為90千米/小時； 當x=90時百公里耗油量為100×（+）≈11.1升， 點評：本題考查了反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題目提供的材料．　 18、（2013?黔西南州）閱讀材料

22、： 小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明進行了以下探索： 設a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b=m2+2n2+2mn． ∴a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法． 請你仿照小明的方法探索并解決下列問題： （1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b=，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=　m2+3n2　，b=　2mn?。? （2）利用所探索的結論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：　4　+　2　=（　1　+　1?。?； （3）若a+4=，且a

23、、m、n均為正整數(shù)，求a的值？ 考點： 二次根式的混合運算． 分析： （1）根據(jù)完全平方公式運算法則，即可得出a、b的表達式； （2）首先確定好m、n的正整數(shù)值，然后根據(jù)（1）的結論即可求出a、b的值； （3）根據(jù)題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值． 解答： 解：（1）∵a+b=， ∴a+b=m2+3n2+2mn， ∴a=m2+3n2，b=2mn． 故答案為m2+3n2，2mn． （2）設m=1，n=1， ∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2． 故答案為4、2、1、1． （3）由題意，

24、得： a=m2+3n2，b=2mn ∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)， ∴m=2，n=1或者m=1，n=2， ∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13． 點評： 本題主要考查二次根式的混合運算，完全平方公式，解題的關鍵在于熟練運算完全平方公式和二次根式的運算法則． 19、（2013?咸寧）閱讀理解： 如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似

25、點．解決問題： （1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由； （2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E； 拓展探究： （3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處．若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數(shù)量關系． 考點： 相似形綜合題． 分析： （1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點

26、，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解． （2）根據(jù)兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可． （3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對應線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關系，從而可求出解． 解答： 解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點． 理由：∵∠A=55°， ∴∠ADE+∠DEA=125°． ∵∠DEC=55°， ∴∠BEC+∠DEA=125°． ∴∠ADE=∠BEC．（2分） ∵∠A=∠B， ∴△ADE∽△BEC． ∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相

27、似點． （2）作圖如下： （3）∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM， ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM． 由折疊可知：△ECM≌△DCM， ∴∠ECM=∠DCM，CE=CD， ∴∠BCE=∠BCD=30°， ∴BE=CE=AB． 在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°， ∴， ∴． 點評： 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)以及理解相似點和強相似點的概念等，從而可得到結論． 20、（2013?益陽壓軸題）閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（x1，y1）

28、，B（x2，y2），AB中點P的坐標為（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp=，同理，所以AB的中點坐標為．由勾股定理得AB2=，所以A、B兩點間的距離公式為． 注：上述公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立． 解答下列問題： 如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C． （1）求A、B兩點的坐標及C點的坐標； （2）連結AB、AC，求證△ABC為直角三角形； （3）將直線l平移到C點時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離． 考點： 二次函數(shù)綜合題． 分析： （1）根據(jù)y=2x+2與拋

29、物線y=2x2交于A、B兩點，直接聯(lián)立求出交點坐標，進而得出C點坐標即可； （2）利用兩點間距離公式得出AB的長，進而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案； （3）點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，利用A，C點坐標得出H點坐標，進而得出CG=AH，求出即可． 解答： （1）解：由， 解得：，． 則A，B兩點的坐標分別為：A（，3﹣），B（，3+）， ∵P是A，B的中點，由中點坐標公式得P點坐標為（，3）， 又∵PC⊥x軸交拋物線于C點，將x=代入y=2x2中得y=， ∴C點坐標為（，）． （2）證明：由兩點間距

30、離公式得： AB==5，PC=|3﹣|=， ∴PC=PA=PB， ∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB， ∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°， ∴△ABC為直角三角形． （3）解：過點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H， 則H點的坐標為（，3﹣）， ∴S△PAC=AP?CG=PC?AH， ∴CG=AH=|﹣|=． 又直線l與l′之間的距離等于點C到l的距離CG， ∴直線l與l′之間的距離為． 點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及兩點之間距離公式和兩函數(shù)交點坐標求法等知識，根據(jù)數(shù)形結合得出H點坐標是解題關鍵． 21、(2013

31、年黃石)如圖1，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點。某數(shù)學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為、，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線. （1）如圖2，在△中，°，，的平分線交于點，請問點是否是邊上的黃金分割點，并證明你的結論； （2）若△在（1）的條件下，如圖（3），請問直線是不是△的黃金分割線，并證明你的結論； （3）如圖4，在直角梯形中，，對角線、交于點，延長、交于點，連接交梯形上、下底于、兩點，請問直線是不是直角梯形的黃金分割線，并證明你的結論. E

32、 A C B A D B C A C D H A B B F C D 圖1 圖2 圖3 圖4 · · · 解析： 解：（1）點是邊上的黃金分割點，理由如下： ∵°， ∴° ∵平分 ∴° ∴° ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴是邊上的黃金分割點 （3分） （2）直線是△的黃金分割線，理由如下： 設的邊上的高為，則 ，， ∴， ∵是的黃金分割點 ∴ ∴ ∴是△的黃金分割線 （3分） （3）不是直角梯形的黃金分割線 ∵∥ ∴ ， ∴ ① ② 由①、

33、②得 即 ③ 同理，由 ， 得 即 ④ 由③、④得 ∴ ∴ ∴ 梯形與梯形上下底分別相等，高也相等 ∴梯形梯形梯形 ∴不是直角梯形的黃金分割線 （3分） 22、（2013?寧波）若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形． （1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線； （2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A．B．C均在格點上，請在

34、答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應的和諧四邊形； （3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)． 考點： 四邊形綜合題． 分析： （1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以； （2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點到頂點的距離相等，只要D在上任意一點構成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構成的四邊形ABCD就是和諧四邊形， （3）由AC是四邊形ABCD的

35、和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)． 解答： 解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC． ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB， ∴△ADB是等腰三角形． 在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°， ∴∠BDC=∠C=75°， ∴△BCD為等腰三角形， ∴BD是梯形ABCD的和諧線； （2）由題意作圖為：圖2，圖3 （3

36、）∵AC是四邊形ABCD的和諧線， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB=AD=BC， 如圖4，當AD=AC時， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠BAD=90°， ∴∠CAD=30°， ∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠BCD=60°+75°=135°． 如圖5，當AD=CD時， ∴AB=AD=BC=CD． ∵∠BAD=90°， ∴四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90° 如圖6，當AC=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE=AD，∠

37、ACE=∠DCE． ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四邊形ABFE是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF=BC， ∴∠BCF=30°． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC． ∵AB∥CE， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°， ∴∠BCD=15°×3=45°． 點評： 本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時合理運用分類討論思想是關鍵． 23、(201

38、3年南京壓軸題)對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似。例如，如圖?，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相同，因此△ABC 與△A’B’C’互為順相似；如圖?，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA與 A’B’C’A’環(huán)繞的方向相反，因此△ABC 與△A’B’C’互為逆相似。 k A B C j A B C A’ B’ C’ A’ B’ C’ (1) 根據(jù)圖I、圖II和圖III滿足的條件

39、，可得下列三對相似三角形：? △ADE與△ABC； ? △GHO與△KFO； ?△NQP與△NMQ。其中，互為順相似的是 ；互為逆相似的是 。(填寫所有符合要求的序號) (2) 如圖?，在銳角△ABC中，DA

40、 (2) 解：根據(jù)點P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況。 第一種情況：如圖j，點P在BC(不含點B、C)上，過點P只能畫出2條截線PQ1、 PQ2，分別使DCPQ1=DA，DBPQ2=DA，此時△PQ1C、△PBQ2都與△ABC互為逆相似。 第二種情況：如圖k，點P在AC(不含點A、C)上，過點B作DCBM=DA，BM交AC 于點M。 當點P在AM(不含點M)上時，過點P1只能畫出1條截線P1Q，使DAP1Q=DABC，此 時△AP1Q與△ABC互為逆相似； 當點P在CM上時，過點P2只能畫出

41、2條截線P2Q1、P2Q2，分別使DAP2Q1=DABC， DCP2Q2=DABC，此時△AP2Q1、△Q2P2C都與△ABC互為逆相似。 第三種情況：如圖l，點P在AB(不含點A、B)上，過點C作DBCD=DA，DACE=DB， CD、CE分別交AC于點D、E。 當點P在AD(不含點D)上時，過點P只能畫出1條截線P1Q，使DAP1Q=DABC，此時 △AQP1與△ABC互為逆相似； 當點P在DE上時，過點P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使DAP2Q1=DACB， DBP2Q2=

42、DBCA，此時△AQ1P2、△Q2BP2都與△ABC互為逆相似； 當點P在BE(不含點E)上時，過點P3只能畫出1條截線P3Q’，使DBP3Q’=DBCA， 此時△Q’BP3與△ABC互為逆相似。 (10分) A B C Q1 P j Q2 A B C Q1 M Q2 Q P1 P2 A B C Q1 Q’ Q P1 P2 D’ E Q2 P3 k l 24、（綿陽市2013年壓軸題）我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質(zhì)，如在

43、關線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題。請你利用重心的概念完成如下問題： （1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：； （2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由； （3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG．S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值。 解：（1）證明：如圖1，連結CO并延長

44、交AB于點P，連結PD。 ∵點O是△ABC的重心， ∴P是AB的中點，D是BC的中點，PD是△ABC的中位線，AC=2PD， AC // PD， ∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO， △OPD∽△CA，= = , = ,∴； （2）點O是是△ABC的重心。 證明：如圖2，作△ABC的中線CP，與 AB邊交于點P，與△ABC的另一條中線AD交于點Q，則點Q是△ABC的重心，根據(jù)（1）中的證明可知 ， 而 ，點Q與點O重合（是同一個點），所以點O是△ABC的重心； （3）如圖3，連結CO交AB于F，連結BO交AC于E，過點O分別作AB、AC的平行線OM、ON，分別 與AC

45、、AB交于點M、N， ∵點O是△ABC的重心， ∴ = ， = , ∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB， 在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC， 在△AGH中，OM//AH，= ， 在△ACH中，ON//AH，= ， ∴ + = +=1， + =1, + = 3 , 令= m , = n , m=3-n, ∵ = , = = = -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + , ∴ 當 = n = ，GH//BC時， 有最大值 。 附：或 的另外兩種證明方法的作圖。 方法一：分別過點B、C作AD的平行線BE、CF，分別交直線GH于點E、F。 方法二：分別過點B、C、A、D作直線GH的垂線，垂足分別為E、F、N、M。 下面的圖解也能說明問題：