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（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時 立體幾何中的向量方法隨堂檢測（含解析）
1．(2012·福州質(zhì)檢)如圖，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖所示．
(1)求證：BC⊥平面ACD；
(2)求BC與平面ABD所成角θ的正弦值．
解：(1)證明：由已知有AC＝BC＝2，
從而AC2＋BC2＝AB2，
故AC⊥BC.
取AC中點(diǎn)O，連結(jié)DO，則DO⊥AC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO?平面ACD，從而DO
2、⊥平面ABC，
∴DO⊥BC.又AC⊥BC，AC∩DO＝O，
∴BC⊥平面ACD.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖所示，則A(，0,0)，
B(－，2，0)，C(－，0,0)，D(0,0，)，＝(－2，2，0)，＝(－，0，)，＝(0，－2，0)．
設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)．
則由得
令x＝1，則n＝(1,1,1)，
∴sinθ＝＝＝.
2．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，D為AC的中點(diǎn)．
(1)求證：AB1∥面BDC1；
(2)若AA1＝3，求二面角C1－BD－C的余弦值；
(3)若在線段
3、AB1上存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC1，試求AA1的長及點(diǎn)P的位置．
解：(1)證明：連結(jié)B1C，交BC1于點(diǎn)O，連結(jié)OD，
則O為B1C的中點(diǎn)，
∵D為AC的中點(diǎn)，∴OD∥AB1，
又AB1?平面BDC1，OD?平面BDC1，
∴AB1∥平面BDC1.
(2)∵AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1，
∴CC1⊥平面ABC，則BC⊥平面AA1C1C，CC1⊥AC.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則C1(3,0,0)，B(0,0,2)，D(0,1,0)，C(0,0,0)．
∴＝(－3,1,0)，＝(－3,0,2)．
設(shè)平面C1DB的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令x＝2，則n＝(2,6,3)．
又平面BDC的法向量為＝(3,0,0)，
∴二面角C1－BD－C的余弦值為
cos〈，n〉＝＝＝.
(3)設(shè)AA1＝a，＝λ，
則＝(λa，－2λ，2λ)，∴＝＋＝(λa,2－2λ，2λ)．
又＝(－a,1,0)，＝(0,1，－2)，CP⊥平面BDC1，
∴
解得a＝2(－2舍去)，λ＝.
所以AA1＝2，點(diǎn)P在線段AB1上且AP＝AB1.
（福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時 立體幾何中的向量方法隨堂檢測（含解析）
