高中數(shù)學(xué)【配套文檔】專題一集合與常用邏輯用語的綜合應(yīng)用

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1、專題一　集合與常用邏輯用語的綜合應(yīng)用 1． 在解題過程中，加深對集合之間的關(guān)系與集合運算等概念的理解． 2． 正確理解命題及其關(guān)系、邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞等概念，進一步認識集合語言與邏輯語言之間的關(guān)系． 3． 在集合運算過程中，要借助數(shù)軸、直角坐標系、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來，注意集合與方程、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、幾何等知識的密切聯(lián)系與綜合運用． [難點正本　疑點清源] 1． 集合中的“交”、“并”、“補”與邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”有共同之處，在解題時，可以進行相互轉(zhuǎn)化． 2． 集合運算可以考慮數(shù)形結(jié)合、借助數(shù)軸、Venn圖． 1． 已知集合A＝{1,2,

2、3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，則m＝________. 答案　3 解析　∵A∩B＝{2,3}，∴m＝3. 2． 設(shè)集合A＝{3,2a＋1}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，則a＝________，b＝________. 答案　0　2 解析　由A∩B＝{2}知2∈A且2∈B， ∴2a＋1＝2，得a＝0，故有b＝2. 3． “α＝”是“sin α＝”的______________條件． 答案　充分不必要 解析　當(dāng)α＝時，sin α＝sin ＝，但是sin α＝時，角α不一定是，如α可以是π等，故是充分不必要條件． 4． 命題“對于任意x∈R，|x－2|＋|

3、x－4|>3”的否定是_________________． 答案　存在x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3 解析　全稱命題的否定是存在性命題，已知命題是全稱命題． 5． 設(shè)集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若X?Sn，則把X中所有元素的乘積稱為X的容量(若X中只有一個元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0)．若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為Sn的奇(偶)子集．則S4的所有奇子集的容量之和為________． 答案　7 解析　∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝?，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{

4、1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的為X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分別為1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和為7. 題型一　集合問題 例1　已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∪B＝A，求實數(shù)m的值； (2)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求實數(shù)m的值； (3)若A??RB，求實數(shù)m的取值范圍． 思維啟迪：(1)由A∪B＝A得B?A，借助數(shù)軸求解； (2)結(jié)合已知條件，比較集合端點求解； (3)先求出?RB，利用子集關(guān)系，借助數(shù)軸

5、求解． 解　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)∵A∪B＝A，∴B?A，如圖： 有，∴，∴m＝1. (2)∵A∩B＝{x|0≤x≤3}，∴，∴m＝2. (3)?RB＝{x|xm＋2}． ∵A??RB，∴m－2>3或m＋2<－1， ∴m>5或m<－3. 探究提高　(1)判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合的關(guān)系，二是用列舉法表示集合，從元素中尋找關(guān)系； (2)已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)之間的關(guān)系(要注意集合本身兩個端點的比較)； (3)

6、兩個數(shù)集之間的關(guān)系，常借助數(shù)軸判斷． 已知集合A＝{x|y＝ }，B＝{x|[x－(a＋1)][x－(a＋4)]<0}，分別根據(jù)下列條件，求實數(shù)a的取值范圍． (1)A∩B＝A；　(2)A∩B≠?. 解　由1－≥0，得≥0，即≤0， 解得－1

7、0)．若“非p”是“非q成立”的必要但不充分條件，求m的取值范圍． 思維啟迪：先對條件進行化簡，非命題可以利用等價命題來求兩者間的聯(lián)系． 解　p：－4≤x≤8，從而p為真時x的取值范圍是集合 P＝[－4,8]． 同理可得，q為真時x的取值范圍是集合 Q＝[1－m,1＋m]． 因為“非p”是“非q成立”的必要但不充分條件，所以“若非q，則非p”是真命題，但“若非p，則非q”是假命題，即“若p，則q”為真，“若q，則p”為假，故PQ， 從而或，由此解得m≥7， 即m的取值范圍是[7，＋∞)． 探究提高　解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根

8、據(jù)集合之間的關(guān)系列出參數(shù)的不等式求解． 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，且p是q的充分不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍． 解　由x2－8x－20>0得x<－2或x>10， ∴p：x<－2或x>10. 由x2－2x＋1－a2>0得x<1－a或x>1＋a. ∴命題q：x<1－a或x>1＋a， 若p是q的充分不必要條件， ∴或，解得0

9、 思維啟迪：(1)由全稱命題p和存在性命題q分別確定a的取值范圍． (2)由“p∧q”是真命題得出p，q都是真命題，從而求出a的取值范圍． 解　由“p∧q”為真命題，知p為真命題，q也為真命題． 若p為真命題，即a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1. 若q為真命題，即x2＋2ax＋2－a＝0有實根， Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2， 綜上，實數(shù)a的取值范圍為a≤－2或a＝1. 探究提高　利用邏輯聯(lián)結(jié)詞得到的新命題的真假可以和集合的運算相結(jié)合，要注意范圍的端點能否取到． 已知m∈R，對p：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的兩個根，不等式|m－5|≤|x

10、1－x2|對任意實數(shù)a∈[1,2]恒成立；q：函數(shù)f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有兩個不同的零點．求使“p且q”為真命題的實數(shù)m的取值范圍． 解　對p，由題設(shè)，知x1＋x2＝a，x1x2＝－2， 所以|x1－x2|＝＝. 當(dāng)a∈[1,2]時，的最小值為3，要使|m－5|≤|x1－x2|對任意實數(shù)a∈[1,2]恒成立，只需|m－5|≤3，即2≤m≤8. 對q，由題意，可知3x2＋2mx＋m＋＝0的判別式Δ＝4m2－12＝4m2－12m－16>0，得m<－1或m>4. 綜上，要使“p且q”為真命題，只需p真q真， 即解得實數(shù)m的取值范圍是(4,8]． 對命題否定不當(dāng)致誤

11、 典例：(14分)已知p：|3x－4|>2，q：>0，r：(x－a)·(x－a－1)<0. (1)綈p是綈q的什么條件？ (2)若綈r是綈p的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍． 易錯分析　(1)對條件進行否定時，沒有注意分母為零的情況，導(dǎo)致條件變形不等價；(2)不會將條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系． 審題視角　(1)可以求出p、q的不等式的解集，再對p、q否定，即求出它們對應(yīng)不等式的解集的補集，也可以直接對不等式否定，但注意對分式不等式否定時，注意分母為零的情況． (2)綈r是綈p的必要不充分條件等價于綈p?綈r且綈rD?/綈p. 規(guī)范解答 解　(1)p：|3x－4|>2，∴

12、3x－4>2或3x－4<－2， ∴x>2或x<，∴綈p：≤x≤2.[2分] q：>0，即x2－x－2>0， 令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2. ∴x2－x－2>0的解集為{x|x<－1或x>2}．[4分] ∴綈q：{x|－1≤x≤2}， ∴綈p是綈q的充分不必要條件．[6分] (2)r：(x－a)(x－a－1)<0，∴a0的否定應(yīng)

13、為<0或x2－x－2＝0.為避免出錯，可以先求q：>0的解集，再否定． (2)在由綈p?綈r時，應(yīng)特別注意分析是否能取等號．這是考生比較易出錯的地方．要特別注意驗證等號能否成立. 方法與技巧 1．邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的理解：和集合中“并集”含義一致，表示“或此或彼或兼有”三種情形，要注意和生活語言相區(qū)別． 2．利用條件的充分必要性解決字母范圍問題可以利用集合間的包含關(guān)系，結(jié)合等價命題來解決． 失誤與防范 1．p∨q為真命題，只需p、q有一個為真即可，p∧q為真命題，必須p、q同時為真． 2．p或q的否定為非p且非q；p且q的否定為非p或非q. 3．對一個命題進行否定時，要注意命

14、題所含的量詞，是否省略了量詞，否定時將存在量詞變?yōu)槿Q量詞，將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，同時也要否定命題的結(jié)論． A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：62分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1． 設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實數(shù)m＝________. 答案?。? 解析　∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}， ∴0,3是方程x2＋mx＝0的兩根，∴m＝－3. 2． 命題“對一切非零實數(shù)x，總有x＋≥2”的否定是__________________________． 答案　存在一個非零實數(shù)x，使x＋<2 3．

15、 若a，b，c是常數(shù)，則“a>0且b2－4ac<0”是“對任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”的____________條件． 答案　充分不必要 解析　當(dāng)a>0且b2－4ac<0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c開口向上，且與x軸沒有交點，因此拋物線全部在x軸的上方，故對任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0；但當(dāng)對任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0時，也可以有a＝0，b＝0，c>0的情況，不一定有a>0，且b2－4ac<0，故“a>0且b2－4ac<0”是“對任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”的充分不必要條件． 4． 已知集合A＝{x|2x≥}，B＝(a，＋∞)，當(dāng)A?B時，實數(shù)a的取值范圍

16、是[c，＋∞)，則c＝________. 答案　 解析　由2x≥，得2x≥2，∴x≥，即A＝. 故B?A時，a≥，∴c＝. 5． 已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命題q：“?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 答案　[e,4] 解析　若命題“p∧q”是真命題，那么命題p，q都是真命題．由?x∈[0,1]，a≥ex, 得a≥e；由?x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 6． 命題“任意x∈R，存在m∈Z，m2－m

17、”) 答案　真 解析　由于任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋≥，因此只需m2－m<，即－1”是“x1，得x<－1或x>1. 又“x2>1”是“x1”，反之不成立， 所以a≤－1，即a的最大值為－1. 二、解答題(共27分) 8． (13分)已知集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若A∩B＝?

18、，求實數(shù)a的取值范圍． 解　∵A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}， B＝{x|x>0，x∈R}，A∩B＝?， ∴方程x2＋(a＋2)x＋1＝0無解或有非正解． (1)當(dāng)方程x2＋(a＋2)x＋1＝0無解時， 即Δ＝(a＋2)2－4<0，∴－4－4. 9． (14分)已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的正實根；命題q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0無實根．若p或q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍． 解　由命題p：方程x

19、2＋mx＋1＝0有兩個不相等的正實根，得??m<－2， 從而命題p為真命題等價于m<－2. 由命題q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0無實根，得Δ＝16(m＋2)2－16<0，即－3

20、__． 答案　7 解析　集合A除包含0,1,2外還至少包含3,4,5中的一個元素，所以集合A的個數(shù)等于{3,4,5}的非空子集的個數(shù)，即為23－1＝7. 2． 已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中所有元素的和等于________． 答案　3 解析　∵A＝{x|－1

21、,2}，C＝{1}，則集合(AD○×B)D○×C的所有元素之和為________． 答案　18 解析　由題意可求(AD○×B)中所含的元素有0,4,5，則(AD○×B)D○×C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和為18. 5． 已知命題P：任意b∈[0，＋∞)，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上為增函數(shù)；命題Q：存在x0∈Z，使log2x0≥0.給出下列結(jié)論：①綈P∨綈Q為真；②綈P∧綈Q為真；③P∨綈Q為真；④P∧綈Q為真． 其中正確的為________．(填寫序號) 答案?、? 解析　∵P真，Q真，∴綈P假，綈Q假． 6． 已知下列命題： ①命題“?x∈R，x2＋

22、1>3x”的否定是“?x∈R，x2＋1<3x”； ②已知p、q為兩個命題，若“p或q”為假命題，則“綈p且綈q”為真命題； ③“a>2”是“a>5”的充分不必要條件； ④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題． 其中所有真命題的序號是________． 答案?、? 解析　命題“?x∈R，x2＋1>3x”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，故①錯；“p或q”為假命題說明p假q假，則“綈p∧綈q”為真命題，故②對；a>5?a>2，但a>2D?/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分條件，故③錯；因為“若xy＝0，則x＝0或y＝0”，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為

23、假命題，故④錯． 二、解答題(共28分) 7． (14分)已知命題p：存在一個實數(shù)x，使ax2＋ax＋1<0.當(dāng)a∈A時，非p為真命題，求集合A. 解　非p為真，即“?x∈R，ax2＋ax＋1≥0”為真． 若a＝0，則1≥0成立，即a＝0時非p為真； 若a≠0，則非p為真??0