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1、第二章 圓錐曲線與方程
2.1 曲線與方程
2.1.1 曲線與方程
雙基達標 (限時20分鐘)
1．已知坐標滿足方程F(x，y)＝0的點都在曲線C上，那么 ( )．
A．曲線C上的點的坐標都適合方程F(x，y)＝0
B．凡坐標不適合F(x，y)＝0的點都不在C上
C．不在C上的點的坐標必不適合F(x，y)＝0
D．不在C上的點的坐標有些適合F(x，y)＝0，有些不適合F(x，y)＝0
解析 條件中“坐標滿足方程F(x，y)＝0的點都在曲線C上”，只滿足了曲線和方程概
念的一個條件，并不滿足“曲線C上的所有點的坐標都是方程F
2、(x，y)＝0的解”，所以
A是錯誤的，也就是說有可能存在曲線C上某個點，它的坐標不是方程F(x，y)＝0的解，
因此B是錯誤的．由條件知C是正確的．
答案 C
2．下列選項中方程表示圖中曲線的是 ( )．
解析 對于A，x2＋y2＝1表示一個整圓；對于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示兩條相
交直線；對于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0.
答案 C
3．方程x2＋xy＝x表示的曲線是
3、 ( )．
A．一個點 B．一條直線
C．兩條直線 D．一個點和一條直線
解析 由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表
示兩條直線．故選C.
答案 C
4．點A(1，－2)在曲線x2－2xy＋ay＋5＝0上，則a＝________.
解析 由題意可知點(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一組解，即1＋4－2a＋5＝0，
解得a＝5.
答案 5
5．方程y＝所表示的曲線是________．
解析 y
4、＝＝|x－1|.
答案 以(1，0)為端點的兩條射線
6．方程(x＋y－1)＝0表示什么曲線？
解 由(x＋y－1)＝0可得
或x2＋y2－4＝0，即或x2＋y2＝4，
由圓x2＋y2＝4的圓心到直線x＋y－1＝0的距離d＝＝<2得
直線與圓相交，所以表示直線x＋y－1＝0在圓x2
＋y2＝4上和外面的部分，x2＋y2＝4表示圓心在坐標原點，半徑為2的圓．
所以原方程表示圓心在坐標原點，半徑為2的圓和斜率為－1，縱截距為1的直線在圓x2＋y2＝4的外面的部分，如圖所示．
綜合提高（限時25分鐘）
7．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是
5、 ( )．
A．兩個點 B．四個點
C．兩條直線 D．四條直線
解析 由已知∴即或
或或選B.
答案 B
8．下面四組方程表示同一條曲線的一組是 ( )．
A．y2＝x與y＝
B．y＝lg x2與y＝2lg x
C.＝1與lg (y＋1)＝lg (x－2)
D．x2＋y2＝1與|y|＝
解析 主要考慮x與y的范圍．
答案 D
9．已知
6、方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐標系的第一、三象限的角平分線C的方程的序號是________．
解析?、偈钦_的；②不正確，如點(－1，－1)在第三象限的角平分線上，但其坐標不
滿足方程－＝0；③不正確．如點(－1，1)滿足方程x2－y2＝0，但它不在曲線C上；
④不正確．如點(0，0)在曲線C上，但其坐標不滿足方程＝1.
答案?、?
10．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的圖形是________．
解析 當x≥1，y≥1時，原方程為x＋y＝3；
當x≥1，y<1時，原方程為x－y＝1；
當x<1，y≥1時，原方程為－x＋y＝1；
當x
7、<1，y<1時，原方程為x＋y＝1.
畫出方程對應的圖形，如圖所示為正方形．
答案 正方形
11．已知P(x0，y0)是曲線f(x，y)＝0和曲線g(x，y)＝0的交點，求證：點P在曲線f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
證明 ∵P是曲線f(x，y)＝0和曲線g(x，y)＝0的交點，
∴P在曲線f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，
且P在曲線g(x，y)＝0上，即g(x0，y0)＝0，
∴f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0，
∴點P在曲線f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
12．(創(chuàng)新拓展)已知曲線C的方程為x＝，說明曲線C是什么樣的曲線，并求該曲線與y軸圍成的圖形的面積．
解 由x＝，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝表示的曲線是以原點為圓心，2為半徑的右半圓，從而該曲線C與y軸圍成的圖形是半圓，其面積S＝π·4＝2π.
所以所求圖形的面積為2π.
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