浙江省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題升級訓(xùn)練10 數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用 文

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1、專題升級訓(xùn)練10　數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用 (時(shí)間：60分鐘　滿分：100分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．等差數(shù)列{an}滿足a2＋a9＝a6，則S9＝(　　)． A．－2 B．0 C．1 D．2 2．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2 010，－＝6，則S2 012＝(　　)． A．2 011 B．2 010 C．2 012 D．0 3．已知Sn是非零數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an－1，則S2 012＝(　　)． A．1－22 012 B．22 012－1 C．22

2、 011－1 D．22 012 4．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)n的值是(　　)． A．5 B．6 C．7 D．8 5．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝(　　)． A．8 B．7 C．6 D．5 6．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝(　　)． A．26 B．29 C．212 D．215 7．若向量an

3、＝(cos 2nθ，sin nθ)，bn＝(1,2sin nθ)(n∈N*)，則數(shù)列{an·bn＋2n}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　)． A．n2 B．n2＋2n C．2n2＋4n D．n2＋n 8．(2012·浙江杭州二中高三月考，7)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＞0，S50＝0.設(shè)bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，則當(dāng)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn取得最大值時(shí)，n的值是(　　)． A．23 B．25 C．23或24 D．23或25 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分) 9．已知{an}是等差數(shù)列

4、，Sn為其前n項(xiàng)和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則S10的值為__________． 10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，且對任意的正整數(shù)m，n都有am＋n＝am·an，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝__________. 11．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝__________. 12．(2012·浙江高考名?！秳?chuàng)新》沖刺模擬，15)設(shè)Sn是正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且an和Sn滿足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1,2,3，…)，則Sn＝__________.

5、 三、解答題(本大題共4小題，共44分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 13．(本小題滿分10分)(2012·甘肅蘭州診測，20)已知在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)已知{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且對任意正整數(shù)N*，都有bn·＝1成立． 求證：≤Sn＜1. 14．(本小題滿分10分)已知數(shù)列{an}是公比為d(d≠1)的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列． (1)求d的值； (2)設(shè)數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，試比較Sn與bn的大?。? 15．(本小題滿分12分)

6、(2012·廣東廣州綜合測試，19)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：≤Tn＜. 16．(本小題滿分12分)(2012·浙江寧波高三模擬，19)已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S＝a＋a＋…＋a. (1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝2－a，若bn＋1＞bn對任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 參考答案 一、選擇題 1．B　解析：方法一：∵a2＋a9＝a6， ∴a1＋d＋a1＋8d＝a1＋5d

7、，即a1＝－4d. ∴S9＝9a1＋36d＝9×(－4d)＋36d＝0. 故選B. 方法二：由a2＋a9＝a6，得a5－3d＋a5＋4d＝a5＋d， ∴a5＝0. 則S9＝＝9a5＝0，故選B. 2．C　解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 則＝n＋， ∴－＝×6＝3d. ∴d＝2. 故Sn＝na1＋n2－n＝n(n＋a1－1)． ∴S2 012＝2 012.故選C. 3．B　解析：∵Sn＝2an－1， ∴Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，兩式相減，得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1， ∴數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列． 由S1＝2a1－1得a1＝1，

8、 ∴S2 012＝＝22 012－1. 故選B. 4．B　解析：由a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，兩式相減，得2d＝－6， ∴d＝－3. ∵a5＋a7＝4，∴2a6＝4，即a6＝2. 由a6＝a1＋5d，得a1＝17. ∴an＝a1＋(n－1)×(－3)＝20－3n. 令an＞0，得n＜， ∴前6項(xiàng)和最大，故選B. 5．D　解析：由Sk＋2－Sk＝24，∴ak＋1＋ak＋2＝24， ∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，∴2a1＋(2k＋1)d＝24. 又∵a1＝1，d＝2，∴k＝5. 6．C　解析：f′(0)＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝212.

9、7．B　解析：an·bn＋2n＝cos 2nθ＋2sin2nθ＋2n＝(1－2sin2nθ)＋2sin2nθ＋2n＝2n＋1， 則數(shù)列{an·bn＋2n}是等差數(shù)列， ∴Sn＝＝n2＋2n，故選B. 8．D　解析：由a1＞0，S50＝0，得a1，a2，…，a25＞0，a26，a27，…，a50＜0， 于是b23＝a23a24a25＞0，b24＝a24a25a26＜0，b25＝a25a26a27＞0，且b24＋b25＝(a24＋a27)a25a26＝0， 所以T23＝T25最大，故選D. 二、填空題 9．110　解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 由題意得 解之得

10、a1＝20，d＝－2， ∴S10＝10×20＋×(－2)＝110. 10．2－　解析：令m＝1，則an＋1＝a1·an， ∴數(shù)列{an}是以a1＝為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． ∴Sn＝＝2－. 11．2n＋1－2　解析：∵an＋1－an＝2n， ∴當(dāng)n≥2時(shí)， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2也適合上式， ∴an＝2n(n∈N*)． ∴Sn＝＝2n＋1－2. 12．n2　解析：當(dāng)n≥2時(shí)，4an＝4(Sn－Sn－1)＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝a2n

11、－a2n－1＋2an－2an－1， 即2(an＋an－1)＝a2n－a2n－1， 又an＋an－1＞0，得n≥2時(shí)，an－an－1＝2. 又(a1＋1)2＝4S1＝4a1，得a1＝1， 故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． 故Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2. 三、解答題 13．(1)解：∵an＋1＝(n∈N*)， ∴＝＝＋，即－＝. ∴數(shù)列是以＝2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 故＝2＋＝. ∴an＝. (2)證明：∵bn·＝1， ∴bn＝＝＝－. ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝1－， ∴≤Sn＜1. 14．解：(1)∵2a3＝a1＋a2

12、， ∴2a1d2＝a1＋a1d. ∴2d2－d－1＝0. ∵d≠1，∴d＝－. (2)∵bn＝2＋(n－1)·＝－＋， ∴Sn＝＝. ∴Sn－bn＝－＝. ∴n＝1或n＝10時(shí)，Sn＝bn；2≤n≤9時(shí)，Sn＞bn；n≥11時(shí)，Sn＜bn. 15．(1)解：因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列， 所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d. 依題意，有 即 解得a1＝6，d＝4或a1＝14(舍去)，d＝0(舍去)． 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n＋2(n∈N*)． (2)證明：由(1)可得Sn＝2n2＋4n， 所以＝＝＝. 所以Tn＝＋＋＋…＋＋ ＝＋＋＋…

13、＋＋ ＝ ＝－. 因?yàn)門n－＝－＜0， 所以Tn＜. 因?yàn)門n＋1－Tn＝＞0， 所以數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列， 所以Tn≥T1＝. 所以≤Tn＜. 16．(1)證明：由Sn2＝a13＋a23＋…＋an3，得Sn－12＝a13＋a23＋…＋an－13， 兩式相減得an3＝Sn2－Sn－12＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝an(Sn＋Sn－1)， 因?yàn)閍n＞0， 所以an2＝Sn＋Sn－1(n≥2)． 所以an－12＝Sn－1＋Sn－2(n≥3)． 兩式相減得an2－an－12＝Sn－Sn－2＝an＋an－1， 所以an－an－1＝1(n≥3)． 又S12＝a12＝a13，且a1＞0， 所以a1＝1. S22＝(a1＋a2)2＝a13＋a23， 所以(1＋a2)2＝1＋a23. 所以a23－a22－2a2＝0. 由a2＞0，得a2＝2. 所以an－an－1＝1(n≥2)． 所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且an＝n. (2)解：bn＋1－bn＝＞0， 所以＋＋a－2＜0，即a＜2－－對任意n∈N*成立． 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜.