【走向高考】2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1-2同步練習(xí) 北師大版

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1、 第1章 第2節(jié) 一、選擇題 1．(2010·廣東理)“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解”的(　　) A．充分非必要條件 B．充分必要條件 C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件 [答案]　A [解析]　一元二次方程x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解，則Δ＝1－4m≥0，∴m≤，故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有實(shí)數(shù)解的充分不必要條件． 2．(2009·重慶文)命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(　　) A．“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” C．“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它

2、的平方不是正數(shù)” D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)” [答案]　B [解析]　考查命題與它的逆命題之間的關(guān)系． 原命題與它的逆命題的條件與結(jié)論互換，故選B. 3．(2011·臨沂模擬)“sinα＝”是“cos2α＝”的(　　) A．充分而不必要條件　　 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　本題主要考查充要條件和三角公式． ∵cos2α＝1－2sin2α＝，∴sinα＝±， ∴sinα＝?cos2α＝，但cos2α＝ ? sinα＝， ∴“sinα＝”是“cos2α＝”的充分而不必要條件． 4．(

3、2011·安慶模擬)對于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A [解析]　考查平面向量平行的條件． ∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b. 反之，a＝3b時也有a∥b，但a＋b≠0.故選A. 5．有下列四個命題： ①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ②“相似三角形的周長相等”的否命題； ③“若b≤－1，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題； ④“若A∪B＝B，則A?B”的逆否命題． 其中真命題是(　　) A．①②

4、 B．②③ C．①③ D．③④ [答案]　C [解析]　寫出相應(yīng)命題并判定真假．①“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”為真命題；②“不相似三角形的周長不相等”為假命題；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0沒有實(shí)根，則b>－1”為真命題；④“若A?B，則A∪B≠B”為假命題． 6．命題“若a>0，則a2>0”的否命題是(　　) A．若a2>0，則a>0 B．若a<0，則a2<0 C．若a≤0，則a2≤0 D．若a≤0，則a2≥0 [答案]　C [解析]　否命題是將原命題的條件與結(jié)論分別否定，作為條件和結(jié)論得到的，即“若a≤0，則a2≤0”． 7．命題甲

5、：x、21－x、2x2成等比數(shù)列；命題乙：lgx、lg(x＋1)、lg(x＋3)成等差數(shù)列，則甲是乙的(　　) A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件 [答案]　B [解析]　甲：x·2x2＝(21－x)2，∴x＝1或－2 乙：lgx＋lg(x＋3)＝2lg(x＋1)，∴x＝1， ∴甲? 乙，而乙?甲． 8．(2010·山東文)設(shè){an} 是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“a1

6、 [答案]　C [解析]　本題考查了等比數(shù)列性質(zhì)及充要條件的判定，∵a1>0，已知，a2>a1?q>1?{an}遞增，在a1>0的條件下{an}遞增?q >1?a2>a1，故選C. 二、填空題 9．有下列判斷：①命題“若q則p”與命題“若綈p則綈q”互為逆否命題；②“am20，∴可以推出a

7、 ③命題“平行四邊形的對角相等”的否命題是“若一個四邊形不是平行四邊形，則它的對角不相等”是假命題． ④??{1,2}是真命題，?∈{1,2}是假命題，故正確． 10．“若a?M或a?P，則a?M∩P”的逆否命題是________． [答案]　若a∈M∩P，則a∈M且a∈P [解析]　命題“若p則q”的逆否命題是“若綈q則綈p”，本題中“a?M或a?P”的否定是“a∈M且a∈P”． 11．已知命題p：|2x－3|>1，命題q：lg(x－2)<0，則命題p是命題q的________條件． [答案]　必要不充分 [解析]　p：x>2或x<1，q：2

8、． 三、解答題 12．給出下列命題： (1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等． (3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實(shí)根． (4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等． 試分別指出p是q的什么條件． [解析]　(1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0； 而(x－2)(x－3)＝0?/ x－2＝0. ∴p是q的充分不必要條件． (2)∵兩個三角形相似?/ 兩個三角形全等； 但兩個三角形全等?兩個三角形相似． ∴p是q的必要不充分條件． (3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0無實(shí)根； 方

9、程x2－x－m＝0無實(shí)根?/ m<－2. ∴p是q的充分不必要條件． (4)∵矩形的對角線相等，∴p?q； 而對角線相等的四邊形不一定是矩形．∴q?/ p. ∴p是q的充分不必要條件． 13．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若?p是?q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解析]　∵“?p是?q必要不充分條件”的等價命題是：p是q的充分不必要條件． 設(shè)p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}． ∵p是q的充分不必要條件，∴AB. ∴(兩個等號不能同時取到)， ∴m≥9. 14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直

10、線l與拋物線y2＝2x相交于A、B兩點(diǎn)． (1)求證：“如果直線l過點(diǎn)(3,0)，那么·＝3”是真命題． (2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由． [解析]　(1)設(shè)l：x＝ty＋3，代入拋物線y2＝2x， 消去x得y2－2ty－6＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6， ·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2 ＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2 ＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3. ∴·＝3，故為真命題． (2)(1)中命題的逆命題是：“若·＝3，則直線l過點(diǎn)(

11、3,0)”它是假命題． 設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝2x， 消去x得y2－2ty－2b＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b. ∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b， 令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1， 此時直線l過點(diǎn)(3,0)或(－1,0)．故逆命題為假命題． 15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件． [分析]　由充要條件的定義，

12、可先由Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)?{an}是等比數(shù)列即為充分性；再由{an}是等比數(shù)列?Sn＝pn＋q即為必要性． [解析]　先求充分條件． 當(dāng)p≠0，p≠1且q＝－1時，Sn＝pn－1. ∴S1＝p－1，即a1＝p－1，又an＝Sn－Sn－1， ∴an＝(p－1)·pn－1，∴＝p(n≥2)． ∴{an}是等比數(shù)列． ∴{an}成等比數(shù)列的充分條件為p≠0，p≠1且q＝－1. 再求必要條件． 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝p＋q； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1. 由于p≠0，p≠1，∴當(dāng)n≥2時，{an}是等比數(shù)列． 要使{an}(n∈N*)是等比數(shù)列，則＝p. 即＝p，∴q＝－1， 即{an}是等比數(shù)列的必要條件是p≠0且p≠1且q＝－1. [點(diǎn)評]　①探求充分條件，往往是先從已知條件得出某個結(jié)論，然后再證明這個結(jié)論是命題成立的充分條件． ②有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由結(jié)論?條件是證明題的必要性，由條件?結(jié)論是證明命題的充分性，證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性． - 5 - 用心 愛心 專心