（江蘇專用）2013年高考數學總復習 第十章第3課時 幾何概型課時闖關（含解析）

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1、 （江蘇專用）2013年高考數學總復習 第十章第3課時 幾何概型 課時闖關（含解析） [A級　雙基鞏固] 一、填空題 1．(2012·西安質檢)某人向一個半徑為6的圓形靶射擊，假設他每次射擊必定會中靶，且射中靶內各點是隨機的，則此人射中的靶點與靶心的距離小于2的概率為________． 解析：由已知條件可得，此人射中的靶點與靶心的距離小于2的概率為P＝＝. 答案： 2．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 解析：正方體的體積為：2

2、×2×2＝8，以O為球心，1為半徑且在正方體內部的半球的體積為：×πr3＝×π×13＝π，則點P到點O的距離大于1的概率為：1－＝1－. 答案：1－ 3．(2012·淄博調研)在長為12 cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊作正方形，則這個正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為________． 解析：面積為36 cm2時，邊長AM＝6 cm，面積為81 cm2時，邊長AM＝9 cm，∴P＝＝＝. 答案： 4．若在區(qū)間[－5,5]內任取一個實數a，則使直線x＋y＋a＝0與圓(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共點的概率為________． 解析：若直線與圓有公

3、共點，則圓心到直線的距離d＝＝≤，解得－1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率為＝. 答案： 5．用一平面截一半徑為5的球得到一個圓面，則此圓面積小于9π的概率是________． 解析：依題意得截面圓面積為9π的圓半徑為3，球心到該截面的距離等于4，球的截面圓面積小于9π的截面到球心的距離大于4，因此所求的概率等于＝. 答案： 6. 如圖所示，在一個邊長分別為a，b(a>b>0)的矩形內畫一個梯形，梯形的上、下底邊分別為，，且高為b.現向該矩形內隨機投一點，則該點落在梯形內部的概率為________． 解析：S梯形＝·b＝ab，S矩形＝ab. ∴P＝＝. 答案：

4、7. (2012·鎮(zhèn)江質檢)如圖，A是圓上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，它是一條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為________． 解析： 當AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝，由圓的對稱性及幾何概型得P＝＝. 答案： 8．在兩根相距8 m的木桿間系一根繩子，并在繩子上掛一個警示燈，則警示燈與兩桿的距離都大于3 m的概率為________． 解析：由于在繩子任意位置上掛警示燈是等可能的，會出現無數多個試驗結果，故符合幾何概型，可以用長度作為幾何概型的測度．記事件A為“警示燈與兩桿的距離都大于3 m”，則A的長度為8－3－3＝2(m)，整個事

5、件的長度為8 m，則P(A)＝＝. 答案： 二、解答題 9．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)． (1)若x，y分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子(六個面的點數分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現的點數，求滿足a·b＝－1的概率； (2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率． 解：(1)將一枚質地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數為6×6＝36(個)； 由a·b＝－1有－2x＋y＝－1， 所以滿足a·b＝－1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個； 故滿足a·b＝－1的概率為＝. (2)若

6、x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，則全部基本事件的結果為D＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}； 滿足a·b<0的基本事件的結果為 d＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}； 畫出圖形如圖， 正方形的面積為S＝25， 陰影部分的面積為S陰影＝25－×2×4＝21， 故滿足a·b<0的概率為. 10．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)． (1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求a，b的夾角是鈍角的概率． 解：(1)設“a∥b”為事件A，由a∥b，得x＝2y.

7、 D＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12個基本事件； 其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2個基本事件． 則P(A)＝＝. (2)設“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y. D＝， B＝. 畫出圖形如圖． 故P(B)＝＝. [B級　能力提升] 一、填空題 1．在一個邊長為1000米的正方形區(qū)域的每個頂點處都設有一個監(jiān)測站，若向此區(qū)域內隨機投放一個爆破點，則爆破點距離監(jiān)測站2

8、00米內都可以被檢測到．那么隨機投放一個爆破點被監(jiān)測到的概率為________． 解析：據題意爆破點能被檢測到所在平面區(qū)域為以各個頂點為圓心，以200米為半徑的四分之一圓，故由幾何概型可知所求事件的概率為＝. 答案： 2．在區(qū)域M＝內隨機撒一把黃豆，落在區(qū)域N＝內的概率是________． 解析：畫出區(qū)域M、N，如圖，區(qū)域M為矩形OABC，區(qū)域N為圖中陰影部分． S陰影＝×4×2＝4， 故所求概率P＝＝. 答案： 3．有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________． 解析：先求點

9、P到點O的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π，以O為球心，1為半徑且在圓柱內部的半球的體積V半球＝×π×13＝π.則點P到點O的距離小于或等于1的概率為＝，故點P到點O的距離大于1的概率為1－＝. 答案： 4．一根用細鐵絲做成的正四棱錐框架，其棱長都是，這個四棱錐的五個頂點都在一個球面上，一粒子在這個球內隨機運動，則該粒子在正四棱錐內部的概率是________(細鐵絲占有的空間位置忽略不計)． 解析：設該正四棱錐為S-ABCD，如圖所示，在Rt△SEA中，SA＝，AE＝1，故SE＝1，故四棱錐的體積是×××1＝.設球的半徑為r，則OA＝OS＝r，OE＝1－r.在

10、Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即點E即為球心，故這個球的體積是. 所以所求的概率為＝.故填. 答案： 二、解答題 5．兩人約定在20∶00到21∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20∶00至21∶00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內相見的概率． 解： 設兩人分別于x時和y時到達約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內相見， 當且僅當－≤x－y≤. 兩人到達約見地點所有時刻(x，y)的各種可能結果可用圖中的單位正方形內(包括邊界)的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內相見的所有時刻(x

11、，y)的各種可能結果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示．因此陰影 部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內相遇的可能性的大小，因此所求的概率為 P＝＝＝. 6．(2012·深圳調研)已知復數z＝x＋yi(x，y∈R)在復平面上對應的點為M. (1)設集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機取一個數作為x，從集合Q中隨機取一個數作為y，求復數z為純虛數的概率； (2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點M落在不等式組所表示的平面區(qū)域內的概率． 解：(1)記“復數z為純虛數”為事件A. ∵組成復數z的所有情況共有12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種情況出現的可能性相等，屬于古典概型， 其中事件A包含的基本事件共2個：i,2i， ∴所求事件的概率為P(A)＝＝. (2)依條件可知，點M均勻地分布在平面區(qū)域內，屬于幾何概型．該平面區(qū)域的圖形為下圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12. 而所求事件構成的平面區(qū)域為，其圖形如圖中的三角形OAD(陰影部分)． 又直線x＋2y－3＝0與x軸、y軸的交點分別為A(3,0)、D， ∴三角形OAD的面積為S1＝×3×＝. ∴所求事件的概率為P＝＝＝.