2013年全國高考數學第二輪復習 第2講 填空題技法指導 理

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1、第2講　填空題技法指導 填空題是高考三大題型之一，主要考查基礎知識、基本方法以及分析問題、解決問題的能力，試題多數是教材例題、習題的改編或綜合，體現了對通性通法的考查．該題型的基本特點是：(1)具有考查目標集中、跨度大、知識覆蓋面廣、形式靈活、答案簡短、明確、具體，不需要寫出求解過程而只需要寫出結論等特點；(2)填空題與選擇題有質的區(qū)別：①填空題沒有備選項，因此，解答時不受誘誤干擾，但同時也缺乏提示；②填空題的結構往往是在正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內容留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活；(3)從填寫內容看，主要有兩類：一類是定量填寫型：要求考生填寫數值、數集或數量關系．由

2、于填空題缺少選項的信息，所以高考題中多數是以定量型問題出現；另一類是定性填寫型：要求填寫的是具有某種性質的對象或填寫給定的數學對象的某種性質，如命題真假的判斷等．近幾年出現了定性型的具有多重選擇的填空題． 1．直接法與定義法 數學填空題，絕大多數都能直接利用有關定義、性質、定理、公式和一些規(guī)律性的結論，經過變形、計算得出結論．使用直接法和定義法解填空題，要善于透過現象抓本質，自覺地、有意識地采取靈活、簡捷的變換．解題時，對概念要有合理的分析和判斷；計算時，要求推理、運算的每一步驟都應正確無誤，還要求將答案書寫準確、完整．少算多思是快速準確地解答填空題的基本要求． 【例１】在平面直角坐

3、標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為.過點F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為__________． 【例２】已知圓A：(x＋2)2＋y2＝1與定直線l：x＝1，且動圓P和圓A外切并與直線l相切，則動圓的圓心P的軌跡方程是__________． 變式訓練1　已知a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，其中i，j為互相垂直的單位向量，且(a＋b)⊥(a－b)，則實數m＝__________. 2．特殊化法 當題目中暗示答案是一個“定值”時，就可以取一個特殊數值、特殊位置、特殊圖形、特殊關系、特殊數列或特殊函數值來將字母

4、具體化，把一般形式變?yōu)樘厥庑问剑旑}目的條件是從一般性的角度給出時，特例法尤其有效． 【例３】已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數，對于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．數列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.則數列的通項公式an＝__________. 變式訓練2　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數列，則＝__________. 3．數形結合法 依據特殊數量關系所對應的圖形位置、特征，利用圖形直觀性求解填空題，稱為數形結合型填空題，這類問題的幾何意義一般較為明顯．由于填空題不要求寫出解答過程，因而

5、有些問題可以借助于圖形，然后參照圖形的形狀、位置、性質，綜合圖象的特征，進行直觀的分析，加上簡單的運算，便可得出正確的答案． 【例４】曲線方程|x2－1|＝x＋k的實根隨k的變化而變化，那么方程的實根的個數最多為__________． 變式訓練3　若方程＝kx－2k＋2有兩個不同的實數根，則實數k的取值范圍為__________． 4．構造法 構造法就是通過對已知的條件和結論進行深入、細致的分析，抓住問題的本質特征，再聯(lián)想與之有關的數學模型，恰當地構造輔助元素，將待證(求)問題進行等價轉化，從而架起已知與未知的橋梁，使問題得以解決．構造法在函數、方程、不等式等方面有著廣泛的應用，特別是

6、與數列、三角、空間幾何體、復數等知識密不可分． 【例５】若銳角α，β，γ滿足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值為__________． 變式訓練4　如果sin3θ－cos3θ＞cos θ－sin θ，且θ∈(0,2π)，那么角θ的取值范圍是__________． 5．等價轉化法 從題目出發(fā)，把復雜的、生疏的、抽象的、困難的或未知的問題通過等價轉化為簡單的、熟悉的、具體的、容易的或已知的問題來解決，從而得出正確的結果． 【例６】已知函數f(x)＝x3＋x－6，若不等式f(x)≤m2－2m＋3對于所有x∈[－2,2]恒成立，則實數m的取

7、值范圍是__________． 變式訓練5　對于任意的|m|≤2，函數f(x)＝mx2－2x＋1－m恒為負，則實數x的取值范圍為__________． 參考答案 方法例析 【例1】＋＝1　解析：∵△ABF2的周長為16， ∴4a＝16，解得a＝4. ∵離心率e＝，∴c＝2.∴b2＝8. ∵橢圓的焦點在x軸上，∴橢圓的標準方程為＋＝1. 【例2】y2＝－8x　解析：利用拋物線的定義，先判斷出點P的軌跡再求方程．由題意可知，點P到直線x＝1的距離比它到點A的距離小1，即點P到直線x＝2的距離與到點A的距離相等，所以點P的軌跡是以A為焦點，直線x＝2為準線的拋物線，其方程為y2＝－8

8、x. 【變式訓練1】－2 【例3】n·2n　解析：根據數列滿足的關系式，進行恰當的賦值． ∵a1＝2，∴2＝f(21)＝f(2)． 令x＝2n，y＝2， ∴f(2n＋1)＝2f(2n)＋2n＋1. ∴＝＋1，－＝1. ∴＝＋(n－1)×1＝n.∴an＝n·2n. 【變式訓練2】 【例4】4　解析：如圖所示，參數k是直線y＝x＋k在y軸上的截距，通過觀察直線y＝x＋k與y＝|x2－1|的公共點的變化情況，并通過計算可知，當k＜－1時，曲線方程有0個實根；當k＝－1時，有1個實根；當－1＜k＜1時，有2個實根；當k＝1時，有3個實根；當1＜k＜時，有4個實根；當k＝時，有3個實根

9、；當k＞時，有2個實根． 綜上所述，可知實根的個數最多為4. 【變式訓練3】 【例5】2　解析：如圖，設AB＝a，AD＝b，AA1＝c，令α，β，γ為∠BAC1，∠C1AD，∠C1AA1， 從而有tan α·tan β·tan γ＝··≥＝2. 當且僅當a＝b＝c時，tan α·tan β·tan γ有最小值2. 【變式訓練4】 【例6】(－∞，1－]∪[1＋，＋∞) 解析：∵f′(x)＝3x2＋1＞0， ∴f(x)在x∈[－2,2]內是增函數． ∴f(x)在[－2,2]上的最大值是f(2)＝4. ∴m2－2m＋3≥4，解得m≤1－或m≥1＋. 【變式訓練5】　解析：對于任意的|m|≤2，有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，即當|m|≤2時，(x2－1)m－2x＋1＜0恒成立． 設g(m)＝(x2－1)m－2x＋1， 則原問題轉化為g(m)＜0恒成立(m∈[－2,2])． ∴ 即 解得＜x＜. 即x的取值范圍為.