2021-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第4章4.2 線段、射線、直線例題與講解 （新版）滬科版

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1、 4.2　線段、射線、直線 1．線段 像長(zhǎng)方體的棱、長(zhǎng)方形的邊，這些圖形都是線段．線段有兩個(gè)端點(diǎn)，兩個(gè)方向均不延伸，線段的長(zhǎng)度是可以測(cè)量的． 線段有兩種表示方法： (1)一條線段可以用它的兩個(gè)端點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如圖，以A，B為端點(diǎn)的線段，可記作“線段AB”或“線段BA”； (2)一條線段可以用一個(gè)小寫字母來(lái)表示，如圖，線段AB也可記作“線段a”． 釋疑點(diǎn) 對(duì)線段的理解 線段不能延伸，只能延長(zhǎng)，延長(zhǎng)的部分叫線段的延長(zhǎng)線，延長(zhǎng)線段AB是指按從A到B的方向延長(zhǎng)，如圖(1)，延長(zhǎng)線段BA是指按從B到A的方向延長(zhǎng)，也可以說反向延長(zhǎng)線段AB，如圖(2)，一般延長(zhǎng)線畫成虛線

2、． 【例1】 平面上有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，以其中任意兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有(　　)． A．3條 B．1條 C．3條或1條 D．以上都不正確 解析：如圖，分點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上與三點(diǎn)不在同一條直線上兩種情況，不管哪種情況下，所確定的線段均為：線段AB、線段BC、線段AC.故選A. 答案：A 2．射線 將線段向一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就得到了射線．射線有一個(gè)端點(diǎn)，射線向一個(gè)方向無(wú)限延伸，射線是無(wú)法測(cè)量的． 射線的表示法： 兩個(gè)大寫字母：一條射線可以用表示它的端點(diǎn)和射線上的另一點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母來(lái)表示，如圖中的射線，點(diǎn)O是端點(diǎn)，點(diǎn)A是射線上異于端點(diǎn)的另一點(diǎn)，

3、那么這條射線可以記作射線OA. 釋疑點(diǎn) 射線的表示方法 (1)表示射線的兩個(gè)大寫字母，其中一個(gè)一定是端點(diǎn)，并且要把它寫在前面．如圖中的射線既可以表示為“射線OA”，又可以表示“射線OB”，但不能表示為“射線AO”或“射線BO”． (2)同一條射線有不同的表示方法．如圖中“射線OA”與“射線OB”表示的是同一條射線． (3)端點(diǎn)相同的射線不一定是同一條射線，端點(diǎn)不同的射線一定不是同一條射線．如圖中，射線OA與射線OC是兩條不同的射線，射線OB與射線AB也是兩條不同的射線． (4)兩條射線為同一射線必須具備的兩個(gè)條件：①端點(diǎn)相同；②延伸的方向相同． 【例2】 如圖，圖中有

4、幾條射線？其中可以表示的是哪幾條？ 分析：以端點(diǎn)和方向分類，以A為端點(diǎn)的左右各一條，可表示的是射線AB；以B為端點(diǎn)的左右各一條，可表示的是射線BA；以C為端點(diǎn)的左右各一條，可表示的是射線CA、射線CB；以D為端點(diǎn)的左右各一條，可表示的是射線DA、射線DB. 解：圖中有8條射線，其中可以表示的有6條，射線AB、射線BA、射線CA、射線CB、射線DA、射線DB. 辨誤區(qū) 正確理解射線的表示方法 (1)射線AB、射線BA不是同一條射線；(2)以A為端點(diǎn)且方向向左的射線和以B為端點(diǎn)且方向向右的射線只有一個(gè)端點(diǎn)；(3)不能把圖中射線AC，AD，AB當(dāng)作三條射線，它們的端點(diǎn)相同，方向相同，所

5、以是同一條射線；(4)以端點(diǎn)為分類標(biāo)準(zhǔn)，易于觀察，可保證不重復(fù)不遺漏． 3．直線 將線段向兩個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)就形成了直線．直線沒有端點(diǎn)，直線向兩個(gè)方向無(wú)限延伸，直線是無(wú)法測(cè)量的． 直線的兩種表示方法： (1)一條直線可以用一個(gè)小寫字母表示，如圖中的直線可記作：直線a. (2)一條直線也可以用在這條直線上的表示兩個(gè)點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如圖中的直線可記作：直線AB或直線BA. 談重點(diǎn) 直線、射線和線段的聯(lián)系與區(qū)別 線段 射線 直線 圖形 表示方法 線段AB、線段a 射線OM 直線AB、直線l 端點(diǎn) 2個(gè) 1個(gè) 無(wú) 共性 線段、射線、直線都

6、是筆直的 特性 線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不向任何一旁延伸，可以度量；射線有一個(gè)端點(diǎn)，向一旁無(wú)限延伸，不能度量；直線沒有端點(diǎn)，向兩旁無(wú)限延伸，不能度量 聯(lián)系 射線和線段都是直線的一部分 【例3－1】 下列關(guān)于表示直線的說法中，正確的是(　　)． A．直線ab B．直線AB與直線BA不是同一條直線 C．直線a D．直線AB與直線CD一定是兩條直線 解析：選項(xiàng)A錯(cuò)，用兩個(gè)字母表示直線時(shí)，必須大寫；選項(xiàng)B錯(cuò)，直線AB與直線BA是同一條直線；選項(xiàng)C對(duì)；選項(xiàng)D錯(cuò)，若A，B，C，D在同一直線上，則直線AB與直線CD是同一條直線． 答案：C 說方法 線段、射線、直線的表示方法 表示線段、射

7、線、直線時(shí)，都要在字母的前面標(biāo)明“線段”、“射線”、“直線”；用兩個(gè)大寫字母表示線段或直線時(shí)，兩個(gè)字母可交換位置，但表示射線的兩個(gè)大寫字母不能交換位置，必須把端點(diǎn)字母寫在前面． 【例3－2】 已知平面上四點(diǎn)A，B，C，D，如圖： (1)畫直線AB； (2)畫射線AD； (3)直線AB，CD相交于E； (4)連接AC，BD相交于點(diǎn)F. 分析：此題考查學(xué)生對(duì)于兩點(diǎn)確定一條直線，以及利用兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)來(lái)進(jìn)行解答，培養(yǎng)學(xué)生的幾何作圖能力．注意直線、射線、線段的不同畫法． 解：如圖所示． 說方法 如何畫線段、射線、直線 連接兩點(diǎn)得到的是線段；畫射線，注意端點(diǎn)和方向，

8、即端點(diǎn)不能出頭，方向部分必須出頭；畫直線AB，兩個(gè)方向直線都必須過A，B兩點(diǎn)． 4．直線的性質(zhì) (1)經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線． (2)兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)． 談重點(diǎn) 對(duì)直線的性質(zhì)的理解 (1)一條直線上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)．兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)． (2)經(jīng)過一點(diǎn)能畫無(wú)數(shù)條直線，而經(jīng)過兩點(diǎn)能夠畫一條直線，并且只能畫一條直線． (3)點(diǎn)與直線有兩種位置關(guān)系：一是點(diǎn)在直線上，即直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)；二是點(diǎn)在直線外，即直線不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)． 【例4】 三條直線a，b，c兩兩相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)． A．1 B．2 C．3 D．1或3

9、 解析：三條直線a，b，c兩兩相交，有如圖兩種情況： 圖(1)中有3個(gè)交點(diǎn)，圖(2)中有1個(gè)交點(diǎn)，所以三條直線a，b，c兩兩相交，有1個(gè)或3個(gè)交點(diǎn)．故選D. 答案：D 釋疑點(diǎn) 三點(diǎn)的位置關(guān)系 對(duì)三點(diǎn)位置進(jìn)行分類，分成如下兩種情況：三點(diǎn)在同一條直線上；三點(diǎn)不在同一直線上． 5．確定直線上的線段的條數(shù) 在直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一條線段，構(gòu)成線段的條數(shù)隨著端點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加而增加，確定直線上的線段的條數(shù)時(shí)，有兩種思路，一是由端點(diǎn)的順序依次數(shù)線段；二是由線段的順序依次數(shù)線段；三是探究線段的條數(shù)與作為端點(diǎn)的個(gè)數(shù)的關(guān)系．解決這類問題時(shí)，要結(jié)合端點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定用哪一種方法來(lái)解決．

10、 析規(guī)律 正確數(shù)出線段的條數(shù) 在一條線段上數(shù)線段的條數(shù)時(shí)，要根據(jù)線段的實(shí)質(zhì)，做到不重不漏，如果在一條線段上有n個(gè)點(diǎn)，那么這個(gè)圖形中共有線段的條數(shù)為. 【例5】 如圖(1)，在線段AB上取一點(diǎn)C時(shí)，共有幾條線段？ 如圖(2)，在線段AB上取兩點(diǎn)C，D時(shí)，共有幾條線段？ 如圖(3)，在線段AB上取三個(gè)點(diǎn)C，D，E時(shí)，共有幾條線段？ 解：觀察圖形，每個(gè)點(diǎn)都與另外的一個(gè)點(diǎn)確定一條線段．如在線段AB上取一點(diǎn)C時(shí)，A點(diǎn)與B，C確定線段AB，AC，B點(diǎn)與A，C確定線段BA，BC，C點(diǎn)與A，B確定線段CA，CB，這時(shí)共有2×3條線段，但由于線段AB與BA，線段AC與CA，線段BC與CB是同一

11、條線段，所以線段的條數(shù)實(shí)際為×2×3＝3，即三條線段，由此可以推出，在線段AB上取兩點(diǎn)時(shí)，線段的條數(shù)為×3×4＝6；在線段AB上取三點(diǎn)時(shí)，線段的條數(shù)為×4×5＝10.所以(1)在線段AB上取一點(diǎn)C時(shí)，共有3條線段；(2)在線段AB上取兩點(diǎn)C，D時(shí)，共有6條線段；(3)在線段AB上取三個(gè)點(diǎn)C，D，E時(shí)，共有10條線段． 6.探求直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律 探求直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律時(shí)，從簡(jiǎn)單的特例入手分析，在直線數(shù)量增加的同時(shí)，記錄下交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化，在變化的數(shù)據(jù)中總結(jié)出具有一般性的規(guī)律． 析規(guī)律 n條相交直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù) n條直線相交，那么交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝個(gè)． 【例

12、6】 四條直線兩兩相交，它們的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)． A．6　　　　　　　　 B．1或6 C．4或6 D．1或4或6 解析：根據(jù)題意畫圖，有如下三種情況，由下圖可知四條直線兩兩相交的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為1或4或6. 答案：D 7．直線上的線段的條數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 生活中涉及線段的實(shí)際應(yīng)用比較廣泛，一些實(shí)際問題可以把它用圖形來(lái)直觀地加以解決，這也是數(shù)學(xué)之美妙的一個(gè)方面．我們應(yīng)該注意發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中的素材，提高我們解決實(shí)際問題的能力． 【例7】 從秦皇島開往A市的特快列車，途中要?？?jī)蓚€(gè)站點(diǎn)，如果任意兩站之間的票價(jià)都不相同，那么有多少種不同的票價(jià)？有多少種車票？ 解：當(dāng)n＝4時(shí)， 有S＝＝＝6(種)， 所以車票有6×2＝12(種)． 答：有6種不同的票價(jià)，有12種車票． 4