2021-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第4章4.3 線段的長短比較例題與講解 （新版）滬科版

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1、 4.3　線段的長短比較 1．線段的長短比較 比較線段長短的方法有兩種： (1)疊合法：先把兩條線段的一端重合，另一端點(diǎn)落在同一側(cè)，從而確定兩條線段的長短，這是從“形”的方面進(jìn)行比較．當(dāng)兩條線段能夠放在一起而又不要求知道相差的具體數(shù)值時(shí)，可用此法．將線段AB放到線段CD上，使點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，點(diǎn)B和點(diǎn)D在重合點(diǎn)的同側(cè)． ①如果點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，如圖，就說線段AB與線段CD相等，記作AB=CD. ②如果點(diǎn)B在線段CD上，如圖，就說線段AB小于線段CD，記作AB＜CD. ③如果點(diǎn)B在線段CD外，如圖，就說線段AB大于線段CD，記作AB＞CD. (2)度量法：先分別量

2、出每條線段的長度，再根據(jù)度量的結(jié)果確定兩條線段的大小，這是從“數(shù)”的方面進(jìn)行比較．當(dāng)兩條線段的長短差別不太明顯，而又不便放在一起比較，或需要求出相差的具體數(shù)值時(shí)，可用此法． 對(duì)于線段AB和CD，我們可以用刻度尺分別量出線段AB和CD的長度，數(shù)值大的線段較長，數(shù)值小的線段較短，數(shù)值相等時(shí)兩線段一樣長． 【例1】 如圖，已知AB＞CD，則AC與BD的大小關(guān)系為(　　)． A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．AC和BD的大小不能確定 解析：運(yùn)用疊合法或度量法直接比較，可以發(fā)現(xiàn)AC與BD的大小關(guān)系為AC＞BD. 答案：A 2．線段的中點(diǎn)

3、如圖，點(diǎn)C在線段AB上且使線段AC，CB相等，這樣的點(diǎn)C叫做線段AB的中點(diǎn)． 中點(diǎn)定義的推理步驟： (1)∵AC＝CB(已知)， ∴點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(中點(diǎn)的定義)． (2)∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(已知)， ∴AC＝BC或AC＝AB或BC＝AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中點(diǎn)的定義)． 談重點(diǎn) 對(duì)線段中點(diǎn)的理解 線段的中點(diǎn)在線段上，有且只有1個(gè)，它把線段分成兩條相等的線段．注意，若AC＝BC，則點(diǎn)C不一定是線段AB的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)C不一定在線段AB上． 【例2】 如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，BD＝3 cm，求線段AB的長度． 解：∵點(diǎn)D為

4、線段BC的中點(diǎn)，BD＝3 cm， ∴BC＝2BD＝2×3＝6 cm. ∵C點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)， ∴AB＝2BC＝2×6＝12 cm. ∴AB的長度為12 cm. 說方法 線段的中點(diǎn)的應(yīng)用 由線段的中點(diǎn)這一條件得到的結(jié)論，解題過程中不一定全部寫出，要根據(jù)所求問題靈活選擇，一般用哪個(gè)寫哪個(gè)即可． 3．線段的性質(zhì) (1)兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短．連接兩點(diǎn)是指畫出這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段． (2)兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離．它是一個(gè)數(shù)量．而線段本身是圖形，因此不能把A，B兩點(diǎn)間的距離說成是線段AB. 釋疑點(diǎn) 線段與線段的長度的區(qū)別 “線段”是一個(gè)幾何圖形，而“線

5、段的長度”是一個(gè)數(shù)量，二者是有區(qū)別的，但是為了書寫的方便，我們常常用線段的名稱表示線段的長度，如AB＝2 cm. 【例3】 進(jìn)入新世紀(jì)，信息技術(shù)在社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域都起著至關(guān)重要的作用.2012年某中學(xué)開始安裝校園網(wǎng)，實(shí)現(xiàn)辦公樓、教學(xué)樓、圖書館、食堂、實(shí)驗(yàn)樓的聯(lián)網(wǎng)，布線工程十分重要．已知這五座建筑物的位置及它們之間的距離，如圖(1)所示(圖書館、辦公樓、實(shí)驗(yàn)樓在同一條直線上，教學(xué)樓、辦公樓、食堂在同一條直線上)．假如你是布線工程的設(shè)計(jì)者，你應(yīng)如何設(shè)計(jì)線路，才能使線路最短？最短線路的長是多少米？ 分析：聯(lián)想兩點(diǎn)之間線段最短去設(shè)計(jì)． 解：布線設(shè)計(jì)圖如圖(2)． 最短線路的長為120＋120

6、＋180＋240＝660(m)． 4．線段的和、差、倍、分的計(jì)算 比較線段的大小，形成了線段的和、差關(guān)系，學(xué)習(xí)線段的中點(diǎn)及延長線形成了線段的倍、分關(guān)系．在解答有關(guān)線段的和、差、倍、分問題時(shí)，要從線段中點(diǎn)的定義出發(fā)，結(jié)合圖形，利用線段的和差計(jì)算，尋求線段之間的大小關(guān)系，靈活運(yùn)用線段中點(diǎn)的性質(zhì)． 說方法 計(jì)算線段的和、差、倍、分時(shí)應(yīng)注意的問題 一般要注意以下幾個(gè)方面：①按照題中已知條件畫出符合題意的圖形是正確解題的先決條件；②觀察圖形，找出線段間的關(guān)系；③線段的和、差、倍、分與線段長度的和、差、倍、分是一致的．其運(yùn)算方法和順序結(jié)合與有理數(shù)運(yùn)算類似． 【例4】 已知線段AC和BC在一

7、條直線上，如果AC＝5 cm，BC＝3 cm，求線段AC和線段BC的中點(diǎn)間的距離． 解：設(shè)AC，BC的中點(diǎn)分別為M，N， 由線段中點(diǎn)定義得AM＝MC＝AC，BN＝CN＝BC. 如圖，MN＝MC＋CN＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝×8＝4(cm)． 如圖，MN＝MC－CN＝AC－BC＝(AC－BC)＝×2＝1(cm)． 5.方程思想在線段計(jì)算中的應(yīng)用 有些已知條件中的關(guān)系比較復(fù)雜，無法或很難由已知條件直接推導(dǎo)出待求的線段的長度，這時(shí)我們可以挖掘隱含條件，引進(jìn)未知數(shù)，然后以線段的和、差、倍、分作為相等關(guān)系，構(gòu)造出方程來解決問題． 說方法 方程思想在線段計(jì)算中的應(yīng)用 當(dāng)題目

8、提供某一線段長時(shí)，我們一般考慮使用含未知數(shù)的代數(shù)式再表示這條線段的長，即可得到一個(gè)方程，從而求出未知數(shù)的值． 【例5】 如圖，B，C兩點(diǎn)把線段AD分成2∶3∶4三部分，M是AD中點(diǎn)，CD＝8，求MC的長． 分析：由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，可設(shè)AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，CD＝4x＝8而求得x值，進(jìn)而求出MC長． 解：設(shè)AB＝2x，由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4， 得BC＝3x，CD＝4x， ∴AD＝(2＋3＋4)x＝9x. ∵CD＝8，∴4x＝8，x＝2. ∴AD＝9x＝18. ∵M(jìn)是AD中點(diǎn)， ∴MC＝MD－CD＝AD－CD＝×18－8＝1. 6．線

9、段的和、差、倍、分的計(jì)算的應(yīng)用 生活中涉及線段的和、差、倍、分的運(yùn)算問題比較常見，主要涉及路線、路徑問題．解決這類問題的關(guān)鍵是畫出線段示意圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線段的計(jì)算問題．然后運(yùn)用線段的和、差、倍、分及中點(diǎn)的性質(zhì)尋找由已知線段推導(dǎo)出未知線段的思維過程，對(duì)于這一推理過程較為困難，有時(shí)要借助于方程思想方法來解決問題． 解技巧 結(jié)合圖形解線段應(yīng)用題 有關(guān)線段的計(jì)算都是由已知，經(jīng)過和、差或中點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求未知線段的過程，因此要結(jié)合圖形，分析各線段關(guān)系，找出它們的聯(lián)系，通過和、差、倍、分的運(yùn)算解決．注意學(xué)會(huì)利用畫線段圖的方式解決． 【例6】 李紅、王明、張江三人的家恰好與學(xué)校在一條筆直的街道

10、上．已知李紅家到學(xué)校的距離是500米，張江家正好在李紅與學(xué)校的中間，王明家在李紅和張江家的中間，那么王明家到學(xué)校的距離是多少米？ 分析：此題考查學(xué)生對(duì)線段性質(zhì)、線段的中點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離知識(shí)的綜合運(yùn)用．首先要能用畫線段圖的方式來解決此類問題(如下圖)． 解：由題可知：AD＝500米． 因?yàn)镃是AD的中點(diǎn)， 所以AC＝CD＝AD＝500×＝250. 因?yàn)锽是AC的中點(diǎn)， 所以BC＝AC＝250×＝125. 王明到學(xué)校的距離BD＝BC＋CD＝125＋250＝375. 即王明到學(xué)校的距離是375米． 7.線段的性質(zhì)的應(yīng)用 兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，這是線段的重要的性質(zhì)，其在實(shí)際生活和生產(chǎn)中的應(yīng)用十分廣泛．涉及這類問題主要為河道由曲改直等最短路徑問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中要解決的問題畫出恰當(dāng)幾何圖形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后運(yùn)用線段的性質(zhì)來解決． 【例7】 某市汽車站A到火車站F有四條不同的路線，如圖所示，其中路線最短的是(　　)． A．從A經(jīng)過BME到F B．從A經(jīng)過線段BE到F C．從A經(jīng)過折線BCE到F D．從A經(jīng)過折線BCDE到F 解析：本題只需考慮點(diǎn)B到點(diǎn)E之間的距離最短即可． 答案：B 4