安徽省宿州市教研室2021屆高三數(shù)學(xué)二輪、三輪總復(fù)習(xí) 特色專題 概率與統(tǒng)計(jì)

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1、 專題十 概率與統(tǒng)計(jì)（理、文） 一． 考點(diǎn)梳理 熱點(diǎn)探究 <一>? 要點(diǎn)梳理 1.概率? （1）主要包括古典概型、幾何概型、互斥條件的概率、條件概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等。（2）互斥事件的概率加法公式：P(A＋B)=P(A)＋P(B)+，若A與B為對(duì)立事件,則P(A)=1-P(B)+，（3）求古典概型的概率的基本步驟:算出所有基本事件的個(gè)數(shù)；求出事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)；代入公式,求出P(A)；(4)理解幾何概型與古典概型的區(qū)別，幾何概型的概率是幾何度量之比,主要使用面積之比與長(zhǎng)度之比.? 2.抽樣方法? 抽樣方法主要有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、

2、系統(tǒng)抽樣。分層抽樣三種，正確區(qū)分這三種抽樣.?3.頻率分布直方圖? 頻率分布直方圖中每一個(gè)小矩形的面積等于數(shù)據(jù)落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積之和等于1.? 4.平均數(shù)和方差：方差越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。? 5.兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系：能做出散點(diǎn)圖，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。? 6.離散型隨機(jī)變量的分布列（理）? 熟練掌握幾個(gè)常見(jiàn)分布：1、兩點(diǎn)分布；2、超幾何分布；3、二項(xiàng)分布?7.?離散型隨機(jī)變量的均值和方差：是當(dāng)前高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。?8.正態(tài)分布是一種常見(jiàn)分布。 <二> 常用公式 注：3-5是理科要掌握。 熱點(diǎn)探究

3、： 試題特點(diǎn)：（1）概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。（2）概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過(guò)對(duì)課本原題進(jìn)行改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神。（3）概率統(tǒng)計(jì)試題主要考查基本概念和基本公式，對(duì)等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨(dú)立事件的概率、事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望、方差、抽樣方法等內(nèi)容都進(jìn)行了考查。 二．沙場(chǎng)點(diǎn)兵

4、 實(shí)戰(zhàn)演練 【例1】（古典概型）：擲兩枚骰子，求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率。 【例2】（幾何概型）：如圖1，在等腰中，過(guò)直角頂點(diǎn)在內(nèi)部任作一條射線與線段交于點(diǎn)，求的概率。 【例3】甲投籃命中率為，乙投籃命中率為，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少? 【例4】【湖北省武漢市2014屆高三10月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（理）】現(xiàn)有A，B兩球隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，設(shè)A隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率都是． （Ⅰ）若比賽6局，求A隊(duì)至多獲勝4局的概率； （Ⅱ）若采用“五局三勝”制，求比賽局?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【例5】．

5、【浙江省溫州八校2014屆高三10月期初聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)】一個(gè)袋子里裝有7個(gè)球, 其中有紅球4個(gè), 編號(hào)分別為1，2，3，4； 白球3個(gè), 編號(hào)分別為2，3，4. 從袋子中任取4個(gè)球 (假設(shè)取到任何一個(gè)球的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4個(gè)球中, 含有編號(hào)為3的球的概率； (Ⅱ) 在取出的4個(gè)球中, 紅球編號(hào)的最大值設(shè)為X ，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【例6】【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科】 現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答. （I）求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率； （II）已知所取的3道

6、題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對(duì)甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【例7】．【2012年高考遼寧卷理科19】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽 取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖： 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷” （1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷“與性別有關(guān)？ （2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾

7、中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷“人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差 附：， 0.05 0.01 3.841 6.635 【例8】．【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）理】 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天 （Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率 （Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)

8、，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望. （Ⅲ）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明） 【例9】【2012年高考廣東卷文科17】 數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù). 分?jǐn)?shù)段 【例10】【廣東省廣州市執(zhí)信、廣雅、六中2014屆高三10月三校聯(lián)考(文）】（本小題滿分12分）某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示. （1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)的

9、宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的條件下，該縣決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率. 【例11】.【廣東省廣州市越秀區(qū)2014屆高三上學(xué)期摸底考試（文）】為了對(duì)某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所科研單位A、B、C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表（單位：人）： （1）確定與的值； （2）若從科研單位A、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這2人都來(lái)自科研單位A的概率. 【例12】【2012年高考四川卷文科17】某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系

10、統(tǒng)（簡(jiǎn)稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和。 （Ⅰ）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值； （Ⅱ）求系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率。 專題十 概率與統(tǒng)計(jì)（理、文）參考答案 【例1】【解】以上11種基本事件并不是等可能的，如點(diǎn)數(shù)和為2的只有(1，1)，而點(diǎn)數(shù)和為6的有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種。事實(shí)上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為。 【例2】： 【例3】： 【例4】： 【例5】： 【例6】： 【例7】： 【例8】． 【例9】 【例10】 【例11】. 【例12】 15