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1、第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關系,1理解空間直線、平面位置關系的定義 2了解可以作為推理依據的公理和定理 3能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題,考綱點擊,一、四個公理 公理1：如果一條直線上的 在一個平面內，那么這條直線在此平面內 公理2：過 的三點，有且只有一個平面 公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們 過該點的一條公共直線 公理4：平行于同一條直線的兩條直線 ,知識掃描,兩點,不共線,有且只有,平行,二、空間中點、線、面之間的位置關系,ab,,a,,,,辨析 1直線a在平面外，則a與無公共點，對嗎？ 提示不對a在外
2、包括a和a與相交，當a與相交時，有1個公共點,銳角(或直角),四、定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角 辨析 2若a，b，則a與b為異面直線，對嗎？ 提示不對異面直線是不同在任何一個平面內，沒有公共點,相等或互補,1已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b A異面 B相交 C不可能平行 D不可能相交 解析由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab.與a，b是異面直線相矛盾 答案C,小題熱身,2下列命題是真命題的是 A空間中不同三點確定一個平面 B空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面 C一條直線和一個點能確
3、定一個平面 D梯形一定是平面圖形 解析空間中不共線的三點確定一個平面，A錯；空間中兩兩相交不交于一點的三條直線確定一個平面，B錯；經過直線和直線外一點確定一個平面，C錯；故D正確 答案D,3空間兩個角，的兩邊分別對應平行，且60，則為 A60 B120 C30 D60或120 解析由等角定理可知60或120. 答案D,4已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直線AB與CD的位置關系是 AABCD BAB與CD異面 CAB與CD相交 DABCD或AB與CD異面或AB與CD相交 解析若三條線段共面，如果AB，BC，CD構成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行
4、；若不共面，則直線AB與CD是異面直線 答案D,5正方體各面所在平面將空間分成________部分 解析如圖，上下底面所在平面把空間分成三部分；左右兩個側面所在平面將上面的每一部分再分成三個部分；前后兩個側面再將第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9327部分 答案27,以下四個命題中 空間四點中，若任意三點不共線，則這四點不共面； 若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面； 若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面； 依次首尾相接的四條線段必共面,考點一平面的基本性質及其應用,例1,正確命題的個數是 A0 B1 C2 D3 【解析】當其中兩點確
5、定的直線與另兩點確定的直線平行時，四點共面，故不正確從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結論不正確；不正確；不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面內，如空間四邊形 【答案】A,規(guī)律方法確定平面的條件 (1)確定平面的依據是公理2及其推論 (2)判斷所給元素(點或直線)是否共面，關鍵是分析所給元素是否具備確定唯一平面的條件，如不具備則不共面,1下列命題： 經過三點確定一個平面； 梯形可以確定一個平面； 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面； 如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合 其中正確命題的個數是 A0 B1 C2 D3,變式
6、訓練,解析對于，未強調三點不共線，故錯誤；正確；對于，三條直線兩兩相交，如空間直角坐標系，能確定三個平面，故正確；對于，未強調三點共線，則兩平面也可能相交，故錯誤 答案C,(2014景德鎮(zhèn)質檢)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱C1D1，C1C的中點給出以下四個結論：直線AM與直線C1C相交；直線AM與直線BN平行；直線AM與直線DD1異面；直線BN與直線MB1異面,考點二空間直線的位置關系,例2,其中正確結論的序號為________(填入所有正確結論的序號) 【解析】AM與C1C異面，故錯；AM與BN異面，故錯；正確 【答案】,規(guī)律方法判定空間直線位置關系的三種類型
7、及方法 (1)異面直線，可采用直接法或反證法 (2)平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質、公理4及線面平行與面面平行的性質定理 (3)垂直關系，往往利用線面垂直的性質來解決,2若直線l不平行于平面，且l，則 A內的所有直線與l異面 B內不存在與l平行的直線 C內存在唯一的直線與l平行 D內的直線與l都相交,變式訓練,解析如圖，設lA，內直線若經過A點，則與直線l相交；若不經過點A，則與直線l異面 答案B,(2014湖南)如圖所示，已知二面角MN的大小為60，菱形ABCD在面內，A，B兩點在棱MN上，BAD60，E是AB的中點，DO面，垂足為O. (1)證明：AB平面ODE； (2)求異面
8、直線BC與OD所成角的余弦值,考點三異面直線所成的角,例3,【解析】(1)證明如圖，因為DO，AB， 所以DOAB. 連接BD，由題設知，ABD是正三角形，又E是AB的中點，所以DEAB. 而DODED，故AB平面ODE.,規(guī)律方法找異面直線所成的角的三種方法 (1)利用圖中已有的平行線平移 (2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移 (3)補形平移,3如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中點 求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值,變式訓練,解析連接B1M，因為C1D1B1A1， 所以MA1B1為異面直線A1M與C1D1所成的角,,,核
9、心能力提升3.點、線、面位置關系中的 空 間想象能力,所謂空間想象力，就是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象思維的能力這種數學能力的特點在于善于在頭腦中構成研究對象的空間形狀和簡明的結構，并能將對實物所進行的一些操作，在頭腦中進行相應的思考主要表現為識圖、畫圖、分析基本圖形的基本元素之間的度量關系及位置關系,如圖，M是正方體ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中點，給出下列四個命題： 過M點有且只有一條直線與直線AB，B1C1都相交； 過M點有且只有一條直線與直線AB，B1C1都垂直； 過M點有且只有一個平面與直線AB，B1C1都相交； 過M點有且只有一個平面與直線AB，B1
10、C1都平行,典例,其中真命題是 AB C D 【審題】易知AB，B1C1是異面直線，要判定各命題是否正確，需找到兩直線各自所在的平面，根據兩相交直線確定一個平面，過M點的直線與直線AB，B1C1分別相交即可確定這兩個平面，利用這兩個平面可判定各命題的正確性,【解析】設l過M點，與AB、B1C1均相交，則l與AB可確定平面，l與B1C1可確定平面，又AB與B1C1為異面直線，所以l為平面與平面的交線，如圖，GE即為l，故正確由于DD1過點M，且DD1AB，DD1B1C1，由于與AB和B1C1垂直的直線也垂直于平面A1B1C1D1，故DD1是唯一滿足條件的直線，故正確顯然正確,在AB上
11、任取一點P，B1C1上任取一點Q，則過點M，P，Q平面與AB、B1C1都相交，故錯誤 【答案】C,【點評】命題的判斷是本題的難點，判斷命題是否正確，要借助于公理3找到平面、以及這兩個平面的交線l，這就需要空間想象能力，過點M的直線有無數多條，但過定點和兩異面直線都相交的直線只有一條；判斷命題是否正確，也可利用線段BB1與直線AB，B1C1都垂直，而過點M和線段BB1平行的直線有且只有一條，所以也正確,【變題】如圖，l，A、B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必通過 A點A B點B C點C但不過點M D點C和點M,解析AB，MAB，M. 又l，Ml，M. 根據公理3可知，M在與的交線上同理可知，點C也在與的交線上 答案D,本講結束 請按ESC鍵返回,綜合訓練能力提升,
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