飛機(jī)排隊(duì)模型數(shù)學(xué)建模.ppt

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1、MCM-89題機(jī)場安排最優(yōu)排隊(duì)調(diào)度問題,機(jī)場通常是用“先到先服務(wù)”的原則來分配飛機(jī)跑道，即當(dāng)飛機(jī)準(zhǔn)備好離開登機(jī)口時，駕駛員電告地面控制中心，加入等候跑道的隊(duì)伍。假設(shè)控制塔可以快速在線數(shù)據(jù)庫中得到每架飛機(jī)的如下信息： 1、預(yù)定離開登機(jī)口的時間； 2、實(shí)際離開登機(jī)口的時間； 3、機(jī)上乘客人數(shù)； 4、預(yù)定在下一站轉(zhuǎn)機(jī)的人數(shù)和轉(zhuǎn)機(jī)時間； 5、到達(dá)下一站的預(yù)定時間。 又設(shè)共有七種飛機(jī)，載客從100人起以50人遞增，載客最多的一種是400人。試開發(fā)和分析一種能使乘客和各航空公司雙方都滿意的數(shù)學(xué)模型。（注：七種飛機(jī)可能分屬于不同的航空公司）,在目前的各國機(jī)場，一般都使用“先到先服務(wù)

2、”的排隊(duì)系統(tǒng)，這一系統(tǒng)雖一直延用，但效率不高，且不能調(diào)節(jié)意外情況的發(fā)生。在這里將要給出一個利用數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)快速排隊(duì)的模型，以使機(jī)場高效的服務(wù)，并使航空公司在盡量小的花費(fèi)情況下，達(dá)到顧客滿意的目的。,模型的基本假設(shè),機(jī)場上所有要起飛的飛機(jī)，都必須使相同一條跑道，并且任何一架飛機(jī)在起飛的時候都需要完全地占有整條跑道，每架飛機(jī)占用的時間是一樣長的。這一假設(shè)可把整個時間分割成離散的等長的小時間段（也稱為起飛窗口寬度），在每個小時間段上可容納一架飛機(jī)完成起飛操作。 第i架飛機(jī)由第j個時間段上起飛時，其所需費(fèi)用僅與該飛機(jī)和時間位置有關(guān)，而與它前面是哪架飛機(jī)無關(guān)。即費(fèi)用不是前面飛機(jī)的函數(shù)，因此這一假設(shè)可把對應(yīng)

3、于不同排序的總費(fèi)用都統(tǒng)一描述為一個線性函數(shù)。 任何飛機(jī)從離開自己的通道口到達(dá)跑道入口處所需要的時間假定都一樣。同時為了避免有一大堆飛機(jī)擠在跑道入口處等待飛機(jī)（一般機(jī)場也不太可能這樣），這時如有另一架飛機(jī)需要緊急起飛，這就須將所有排在前面的飛機(jī)擠到一邊來騰地方，因此假設(shè)每架飛機(jī)都有立即進(jìn)入跑道口的通道。這樣在須要調(diào)整次序時，只須在數(shù)據(jù)庫中的次序上進(jìn)行調(diào)整，而不必對飛機(jī)實(shí)地重排。并且飛機(jī)須在為其指定的小時間段上才準(zhǔn)許離開自己的通道口。,模型設(shè)計與可行性分析,如果在t0時刻僅有一架飛機(jī)或沒有要求起飛的飛機(jī)，則機(jī)場就直接安排其起飛或閑置 。因此設(shè)在t0有n架飛機(jī)同時要求起飛。由假設(shè)1，可將n架飛機(jī)起飛

4、所需要的總時間分成n個等長的小時間段（如長）。下面如何安排哪架飛機(jī)在哪個時段上起飛要依賴于實(shí)際航班的花費(fèi)和顧客的滿意程度來確定。 設(shè)為Cij第i架飛機(jī)從第j個小時間段上起飛時所需一切費(fèi)用之和，于是所有可能的排序帶來的費(fèi)用計算有如下的費(fèi)用距陣表示：,（1）,并設(shè)Xij=0或1，當(dāng)?shù)趇架飛機(jī)在第j個時段上起飛時Xij=1，否則Xij=0,于是相應(yīng)地安排方案距陣為 ：,即第一架飛機(jī)排第2個窗口起飛，第2架排第一個窗口起飛，最后一架排最后起飛。并由上表的安排結(jié)構(gòu)，知道（2）中的距陣滿足每行中僅有一個元素為1，即每個窗口上僅有一架飛機(jī)占用；該陣每列中也有一個元素為1，即每架飛機(jī)占用n個窗口中的一個。即變

5、量Xij須滿足約束：,對于分派問題，已有專門為此種特殊結(jié)構(gòu)而設(shè)計的有效的解題算法，它被稱為GraverThrall primal算法。對于1個隨機(jī)產(chǎn)生的具有16個變量的分派問題，最多只須2.9秒即可完成求解，而使用現(xiàn)代的計算機(jī)，對任意適當(dāng)個變量的指派問題，只須不到一秒鐘即可求得解。,同時，由于模型中費(fèi)用系數(shù)陣（1）須要經(jīng)過量化，而他們可由下一段四中的公式求得。并由數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，這一量化模型的過程須要另一個不到一秒鐘。因此整個模型的建立與求解所用時間是以秒為數(shù)量級的，故當(dāng)機(jī)場控制塔在面臨一串連珠炮一樣的起飛請求時都可幾乎立即對排序作出響應(yīng)。而飛機(jī)的起飛間隔遠(yuǎn)不是以秒為數(shù)量級的。一般至少

6、幾分鐘，因此模型是可行的。 更重要的是。在設(shè)有意外發(fā)生的情況下，還可利用機(jī)場的原有時間表，由數(shù)據(jù)庫事先安排好起飛順序，并讓飛機(jī)安排起飛順序起飛，而唯一需要重新安排的情況僅僅發(fā)生在有飛機(jī)晚點(diǎn)或緊急的情況，而這時的運(yùn)算也會在一秒鐘左右解決問題。而且由假設(shè)（3），也不會因改變而產(chǎn)生臨時的擁擠情況。,四、模型中費(fèi)用系數(shù)陣的量化,由于（1）中的Cij 是第i架飛機(jī)從第j個時間段上起飛的費(fèi)用，它與一架航班的型號及運(yùn)行費(fèi)用和其上載客情況和他們的滿意程度有關(guān)，為簡化運(yùn)算，把基本運(yùn)行費(fèi)設(shè)置為費(fèi)用零點(diǎn)，而只考慮由于飛機(jī)延遲起飛而引起的費(fèi)用。這一費(fèi)用包括由于晚點(diǎn)而不再以最經(jīng)濟(jì)的速度而是以較快或最快速度飛行帶來的燃料

7、損失；及乘客因耽誤下站轉(zhuǎn)機(jī)而重新安排旅途的損失；以及顧客因各種延遲帶來的不愉快而轉(zhuǎn)化的損失。將這三者分別歸入費(fèi)用計算并簡記為： 費(fèi)用: 1.燃料附加費(fèi) 2.乘客誤機(jī)費(fèi) 3.乘客不滿意的損失 下面分別建立幾個費(fèi)用的計算公式,1.燃料附加費(fèi),由于晚點(diǎn)，飛機(jī)必須以盡可能快的速度飛行，故燃料隨晚點(diǎn)的時間長短而變化，然而既使晚點(diǎn)，只要為達(dá)到最大時限，就可以以低于最大安全速度飛行。并在起飛后就可近似地保持常速，因此燃料消耗在時間內(nèi)應(yīng)恒定，由于不知道燃料消耗如何隨飛行速度變化，選用了近似的線性函數(shù)，即單位時間增加油耗的費(fèi)用函數(shù)為：,由此公式看出，飛機(jī)晚點(diǎn)越久，則耗油越多，直至它在離開時即以最大速度起飛（

8、假設(shè)4）。 下面為了建模討論的方便，將上述公式中及以后要用到的一些參數(shù)給出一個總表：,,2.乘客誤機(jī)費(fèi),設(shè)為乘客耽誤了轉(zhuǎn)機(jī)而必須補(bǔ)償?shù)馁M(fèi)用，這里取為常數(shù)（假設(shè)5）。如果對各人的補(bǔ)償費(fèi)確實(shí)不同，則取為各人費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望----平均值，且重新安排旅程只發(fā)生在飛機(jī)晚點(diǎn)時間超過了時限時才發(fā)生，故費(fèi)用如下計算,3.乘客不滿意的損失,由于飛機(jī)晚點(diǎn)越多，則乘客會越不滿意，如果僅晚點(diǎn)一兩分鐘，則顧客不會太不愿意；但如果晚點(diǎn)到誤了轉(zhuǎn)乘班機(jī)，則該乘客會頓時變得焦躁不安并且非常憤怒，這一情況可以適當(dāng)?shù)卣鰹橐粋€指數(shù)增長函數(shù)附加一個階躍函數(shù)，則總的費(fèi)用函數(shù)為：,但是只要將要到達(dá)的飛機(jī)一準(zhǔn)備好降落，就可以準(zhǔn)許其降落的

9、話，這模型仍適用，這只要將,為了防止那些還未準(zhǔn)備好的飛機(jī)，在就緒之前就對其發(fā)出起飛的命令，置一架飛機(jī)在它預(yù)定起飛時間以前的某窗口起飛的損失為無窮大，并假如考慮1，2，3中的費(fèi)用，得到計算費(fèi)用的通式：,4.排隊(duì)模型小結(jié)：,2)求解線性規(guī)劃模型（指派模型）的最優(yōu)解，則可確定哪架飛機(jī)在什么時刻起飛；,在正常運(yùn)行情況下，上述小結(jié)中1），2）步驟僅須做一次即可按部就班地運(yùn)行，只有當(dāng)意外發(fā)生時才啟用3）部分。,五.模型檢驗(yàn),最重要的模型檢驗(yàn)即在于檢驗(yàn)此模型是否具有意義，編了一個用單純形法解線性規(guī)劃的程序以及幾個簡單的例子來檢查模型運(yùn)行的良好性，在后面第六部分中的具體結(jié)果中，可以看出所有結(jié)果都與所期待的直觀

10、判斷相吻合。隨后，又進(jìn)行了更徹底的檢驗(yàn)；變動其中的參數(shù)，測試更為復(fù)雜的例子，以至實(shí)際運(yùn)作此系統(tǒng)，如果實(shí)際運(yùn)行的結(jié)果顯示出為航空公司節(jié)省了開支，同時又能維持顧客滿意度在一個可接受的水平，則此模型將取得圓滿成功。,下面先進(jìn)行的是變動其中參數(shù)的檢驗(yàn)，即在參數(shù)受到擾動的情況下模型是否穩(wěn)定的檢驗(yàn)，如果這個模型中一個或幾個參數(shù)有輕微的偏離真值，而模型結(jié)果不致有太大的偏離最優(yōu)解，則可認(rèn)為模型是穩(wěn)定的。另外,如果參數(shù)的微小變化帶來模型的劇烈變化，則希望確定哪個參數(shù)更敏感。這樣確定它時將利用更多的信息，以達(dá)到準(zhǔn)確。,下面將指派模型（4）表運(yùn)輸模型：,由運(yùn)輸模型的有關(guān)理論知：運(yùn)輸問題有可行解，并對（9）這樣的運(yùn)輸

11、模型，一定有一個最優(yōu)且此最優(yōu)的所有分量都取整數(shù)值。又注意到約束條件（9）的限制，則可能的整數(shù)解一定非0即1，因此運(yùn)輸問題等價于原問題（4）。將（9）式由目標(biāo)函數(shù)的向量形式（見（4）式定義）表出：,六、計算機(jī)模擬模型,為了了解模型運(yùn)行的良好性，以及本模型的特點(diǎn)，用下述幾個計算機(jī)模擬例子來進(jìn)行演示。,顯然；理論模型要比計算機(jī)模型要少受限制。為了編程簡單并說明問題，在原有的基本假定基礎(chǔ)上，再添加如下具體假定：,1.1、在每一窗口至多有三架飛機(jī)已準(zhǔn)備好可以起飛，當(dāng)僅有兩架飛機(jī)準(zhǔn)備好的情況發(fā)生時，可加入一個虛擬變量，以其對相應(yīng)的費(fèi)用系數(shù)都為0即可。,2、憑直觀給模型指定了參數(shù)值，在實(shí)際中，這些值應(yīng)該通過

12、實(shí)驗(yàn)室或調(diào)查獲得：,每一個起飛窗口為一分鐘長，即任何飛機(jī)起飛需要至多一分鐘，而且其他飛機(jī)不準(zhǔn)在一分鐘內(nèi)占用跑道；,設(shè)有飛機(jī)降落情況；,誤轉(zhuǎn)機(jī)的賠償費(fèi)為每人350；,誤了轉(zhuǎn)機(jī)的乘客的憤怒長度等價于被耽誤了15分鐘的乘客的兩倍。,例1 （具有使最多乘客的飛機(jī)先走的功能）,考慮在早晨6：00，三架飛機(jī)同時要求起飛設(shè)他們的型號相同，有距此機(jī)場相同距離的終點(diǎn)機(jī)場，（但可能飛往不同城市的機(jī)場）。設(shè)三架飛機(jī)為A，B，C。并且他們都預(yù)定在7：20到達(dá)終點(diǎn)，但A飛機(jī)上有350名乘客；B飛機(jī)上有100名；C飛機(jī)上有400名。且每架飛機(jī)上都有100名乘客要求轉(zhuǎn)機(jī)，計算結(jié)果見表1。,例2 （具有使晚點(diǎn)飛機(jī)最久者先走的

13、功能 ）,當(dāng)飛機(jī)C準(zhǔn)備離開之際，飛機(jī)D要求緊急起飛。飛機(jī)D已經(jīng)晚點(diǎn)18分鐘，它若想按時在7：06分到達(dá)終點(diǎn)，就必須在2分鐘內(nèi)起飛。其上有200名乘客，150人要求轉(zhuǎn)機(jī)，表2給出了結(jié)果,例3（具有按情況決定先后的功能）,假設(shè)又過了兩分鐘，這時D和A已走，剩下B已經(jīng)晚點(diǎn)3分鐘，而另一架飛機(jī)E在此刻要求起飛。設(shè)E有如下條件： 1）按時準(zhǔn)備就緒； 2）在可按時到達(dá)終點(diǎn)（7：42）之前，還富余42分鐘可以閑置； （ 3）機(jī)上有122名乘客，89人要求轉(zhuǎn)機(jī)； （ 4）晚點(diǎn)增加的費(fèi)用為每分鐘450。,編程序來解此題，如所設(shè)引入一個虛擬變量，飛機(jī)X，這一飛機(jī)的一切費(fèi)用系數(shù)都為0。得到如下結(jié)果：,在直觀上不明顯誰應(yīng)先走，事實(shí)上，似乎應(yīng)讓B先走好些，但可能由于E在高速飛行時增加的運(yùn)行費(fèi)用太昂貴及機(jī)上乘客的緣故，使模型選定讓E先走。,七、總結(jié),模型有易實(shí)施的特點(diǎn)，可結(jié)合于數(shù)據(jù)庫中使用。它可對數(shù)目很大的機(jī)場、任意可裝載的乘客數(shù)及轉(zhuǎn)機(jī)的乘客數(shù)，都可實(shí)現(xiàn)快速最優(yōu)排序，并可處理同時要求起飛的請求、照顧晚點(diǎn)飛機(jī)很久的先走功能，及可對不同型號和不同油耗的飛機(jī)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖们榭紤]。,模型雖不能對起飛和降落同時達(dá)到優(yōu)化，但卻可達(dá)到在起飛的間隙中安排降落。,可以確信此模型是既可達(dá)到使航空公司節(jié)省費(fèi)用，又可達(dá)到使顧客滿意的理想模型。,