微積分X08-1-2-3一階微分方程.ppt

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1、第八章 微分方程（組）,8-1 微分方程（組）,解,一、問題的提出,例2 設(shè)某種物質(zhì)沿ox軸均勻分布在區(qū)間0,1上分布密度 ,求分布函數(shù)S(x),常微分方程,凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,二、微分方程的定義,偏微分方程.,微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).,一階微分方程,高階(n)微分方程,分類1:,分類2: 單個(gè)微分方程與微分方程組.,(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,微分方程的解: 代入微分方程使方程恒等的函數(shù),微分方程的解,(1)一般解（通解）: 含有相互獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的微分方程的解。,不唯一，求

2、解方法求不定積分,其解是過定點(diǎn)的一條積分曲線;,一階:,二階:,初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.,解的圖象: 微分方程的積分曲線.,通解的圖象: 積分曲線族.,解,所求特解為,,,,,,,P(x,y),Q,O,x,x,y,y=y(x),,解：,例3：,為所求的微分方程。,解,開始制動(dòng)到列車完全停住共需,列車在這段時(shí)間內(nèi)行駛了,通解,特解,8-2 一階微分方程的解法,1、可分離變量的一階微分方程,,的方程稱為可分離變量的微分方程.,為微分方程的一般解（通解）.,分離變量法,形如,解法：,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分離變量得,兩邊積分,得,,即,( C 為任意常數(shù) ),,,或,,,,

3、,說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,,因此可能增、,減解.,,( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 ),例2. 解初值問題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 C = 1,,( C 為任意常數(shù) ),故所求特解為,,,例3：求解微分方程,解：,例4. 求下述微分方程的通解:,解: 令,則,故有,即,解得,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,例5.,解法 1 分離變量,即,( C < 0 ),解法 2,故有,積分,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,,例6.,子的含量 M 成正比,,求在,衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律.,解: 根據(jù)題意, 有,(初始條

4、件),對(duì)方程分離變量,,即,利用初始條件, 得,故所求鈾的變化規(guī)律為,然后積分:,已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為,已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)?,例7： 船從河岸邊O點(diǎn)出發(fā)駛向?qū)Π?，船速為a船行方向始終與河岸垂直，河寬為h，河中任一點(diǎn)處水流速與該點(diǎn)到兩岸的距離乘積成正比，求船的航線,解：設(shè)小船的航行路線為y=y(x),代入初始條件y(0)=0,得C=0，,則所求航線為：,,例8.,成正比,,求,解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程,初始條件為,對(duì)方程分離變量,,然后積分 :,得,利用初始條件, 得,代入上式后化簡, 得特解,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為0,,設(shè)降落傘從跳

5、傘塔下落后所受空氣阻力與速度,降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.,t 足夠大時(shí),例9,,解,,兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo),解得,所以所求曲線為,解,例10,某車間體積為12000立方米, 開始時(shí)空氣中含有 的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量, 用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含 的 的新鮮空氣, 同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到多少?,設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后 時(shí)刻 的含量為,的通入量,的排出量,6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到,2、一階齊次方程,的微分方程稱為齊次方程.,2.解法,作變量代換,代入原式,可分離變量的方程,1

6、.定義,齊次方程可以通過變量代換化成可分離變量的方程,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,得,故原方程的通解為,( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解),( C 為任意常數(shù) ),例2. 解微分方程,解:,則有,分離變量,積分得,代回原變量得通解,即,說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 為任意常數(shù)),求解過程中丟失了.,例3,方程,求y=y(x)?,解,方程兩邊同時(shí)對(duì)x 求導(dǎo):,例 4 求解微分方程,解,微分方程的解為,例 5 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡，假若由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平

7、行求曲線方程,解：MP/AP = y,一般的可化為可分離變量的微分方程 通過變量代換將微分方程化為可分離變量的微分方程形式。 例 求下列方程通解,,令 x-y-u,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解,解,代入原方程,原方程的通解為,,( h, k 為待,*可化為齊次方程的方程,作變換,原方程化為,令,,, 解出 h , k,(齊次方程),定常數(shù)),,,求出其解后,,即得原方,程的解.,原方程可化為,令,,(可分離變量方程),注: 上述方法可適用于下述更一般的方程,例4. 求解,解:,令,得,再令 YX u , 得,令,,積分得,代回原變量, 得原方程的通解:,得 C = 1 ,,故所

8、求特解為,思考: 若方程改為,如何求解?,提示:,,一階線性微分方程,的標(biāo)準(zhǔn)形式,:,,Q(X)=0 方程稱為,齊次的,.,,Q(X) 0 方程稱為,非齊次的,.,,3、一階線性微分方程,,例如,,（定理8-1）齊次方程的通解為,一階線性齊次微分方程的解法,(使用分離變量法),,線性齊次方程 的解法： 1）可分離變量： 2) 公式：,例 求 y+ y / (1+x)=0 滿足初始條件y(1)=1的特解。,線性非齊次方程的解法 線性非齊次方程的解線性齊次方程的解之間的關(guān)系：,兩邊積分,相比，就是將：,常數(shù)變易(位）法,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法,,齊次方程的通解

9、,變易成,y,y代入線性非齊次方程得,一階線性非齊次微分方程的通解為:,一階線性非齊次微分方程的通解為:,,,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,非齊次方程特解,求解方法： 注:1) 非齊次方程通解 = 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 + 非齊次方程一特解 2）常數(shù)變易; 3) 公式 例1 求下列方程通解 1) x y +y =sinx 解： 常數(shù)變易法 y +y/x =0 y= Ce P（x）dx= C/x 設(shè) y=C(x)/x 代入方程 C(x)/x + C(x)/x2 = sinx/x = C(x)=sinx C(x)= -cosx+C = 通解： y = (- cosx+C)/x,解,（法2

10、公式法）,例2：求通解,分析：,如果把x看成自變量，把y看成因變量，上式不是一階線性方程；,反之，如把y看成自變量，把x看成因變量,上式成為：,是一階非齊次線性方程,例3 如圖所示，平行與 軸的動(dòng)直線被曲 線 與 截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 .,兩邊求導(dǎo)得,解,所求曲線為,P335例6.設(shè)有連接O和A（1，1）的連續(xù)曲線y=f(x)，P(x,y)為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若直線OP與曲線y=f(x)圍面的圖形面積為x2，求y=f(x),設(shè)曲線方程為y=f(x),按題意有：,兩邊求導(dǎo)，得：,初始條件y(1)=1,,,,P(x,y),,伯努利(Bernou

11、lli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,4、伯努利方程,解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,求出通解后，將 代回，,這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，已能求解。,例1 解微分方程:,解,所求通解為,伯努利方程 n= -1,解,例 2,5.湊微分法(P339),例如,左端湊為某函數(shù)的全微分,湊微分法,,例. 求解,解:,即,故原方程的通解為,或,備用題 解方程,解法1 積分因子法.,原方程變形為,,故通解為,此外, y = 0 也是方程的解.,解法2 化為齊次方程.,原方程變形為,,積分得,將,代入 ,,得通解,,此外, y = 0 也是方程的解.,解法3

12、 化為線性方程.,原方程變形為,其通解為,,即,,此外, y = 0 也是方程的解.,8-3 可降為一階的二階微分方程的解法,一、,令,因此,即,同理可得,依次通過 n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿 ox 軸作直線,運(yùn)動(dòng),,在開始時(shí)刻,隨著時(shí)間的增大 , 此力 F 均勻地減,直到 t = T 時(shí) F(T) = 0 .,如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn),,解: 據(jù)題意有,,,,t = 0 時(shí),設(shè)力 F 僅是時(shí)間 t 的函數(shù): F = F (t) .,小,,,,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,初初速度為0,,,,,,,且,對(duì)方程兩邊積分

13、, 得,利用初始條件,于是,兩邊再積分得,再利用,故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,型的微分方程 （不顯含y),設(shè),原方程化為一階方程,設(shè)其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,二、,例. 求解,解:,代入方程得,分離變量,積分得,利用,于是有,兩端再積分得,利用,因此所求特解為,,,例4.,繩索僅受,重力作用而下垂,,解: 取坐標(biāo)系如圖.,考察最低點(diǎn) A 到,( : 密度, s :弧長),弧段重力大小,按靜力平衡條件, 有,,,,,故有,,設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定,,問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ?,任意點(diǎn)M ( x, y ) 弧段的受力情況:,兩式相除得,,則得定解問題:,原方程化

14、為,兩端積分得,則有,兩端積分得,故所求繩索的形狀為,,三、,型的微分方程（不顯含x),令,故方程化為,設(shè)其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,例. 求解,代入方程得,兩端積分得,(一階線性齊次方程),故所求通解為,解:,M : 地球質(zhì)量 m : 物體質(zhì)量,例.,靜止開始落向地面, 求它落到地面時(shí)的速度,(不計(jì)空氣阻力).,解: 如圖所示選取坐標(biāo)系,由萬有引力定律.,代入方程得,積分得,一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由,,注意“”號(hào),由原方程可得,因此落到地面( y = R )時(shí)的速度,例. 解初值問題,解: 令,代入方程得,積分得,利用初始條件,,根據(jù),積分得,故所求特

15、解為,得,例 已知曲線,它的方程y=f(x)滿足微分方程,并且與另一條曲線y=ex 相切于點(diǎn)(0,1), 求此曲線的方程.,解 曲線滿足初值問題,. 分離變量、積分, 上式中無滿足初始條件的解，,考慮,滿足初始條件的解為 y=1-x,( 99 考研 ),解,代入原方程,解線性方程, 得,兩端積分,得,原方程通解為,例,一般情況,(5) 湊導(dǎo)數(shù)法(恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程) 例 1 yy”+(y)2+2x =0 解： (yy)= -2x 降階得：yy= -x2 +C1 ydy=( -x2 +C1 )dx,解,將方程寫成,積分后得通解,例 2,,速度,大小為 2v, 方向指向A ,,,提示: 設(shè) t 時(shí)刻 B 位于 ( x, y ), 如圖所示, 則有,去分母后兩邊對(duì) x 求導(dǎo),,,設(shè)物體 A 從點(diǎn)( 0, 1 )出發(fā), 以大小為常數(shù) v,例,的速度沿 y 軸正向運(yùn)動(dòng),,物體 B 從 (1, 0 ) 出發(fā),,試建立物體 B 的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)滿,足的微分方程及初始條件.,其初始條件為,