【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第11講 反比例函數(shù)（含答案點(diǎn)撥） 新人教版

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1、 第11講　反比例函數(shù) 考綱要求 命題趨勢(shì) 1．理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式． 2．會(huì)畫反比例函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和解析式探索并理解其基本性質(zhì)． 3．能用反比例函數(shù)解決簡單實(shí)際問題. 　　反比例函數(shù)是中考命題熱點(diǎn)之一，主要考查反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)及解析式的確定，也經(jīng)常與一次函數(shù)、二次函數(shù)及幾何圖形等知識(shí)綜合考查．考查形式以選擇題、填空題為主. 知識(shí)梳理 一、反比例函數(shù)的概念 一般地，形如________________(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)． 1．反比例函數(shù)y＝中的是一個(gè)分式，所以自變量________，函數(shù)與x軸、

2、y軸無交點(diǎn)． 2．反比例函數(shù)解析式可以寫成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函數(shù)中自變量x與其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y之積，總等于已知常數(shù)k. 二、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1．圖象 反比例函數(shù)的圖象是雙曲線． 2．性質(zhì) (1)當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支分別在________象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而________；當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支分別在________象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而________．注意雙曲線的兩支和坐標(biāo)軸無限靠近，但永遠(yuǎn)不能相交．(2)雙曲線是軸對(duì)稱圖形，直線y＝x或y＝－x是它的對(duì)稱軸；雙曲線也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)． 三、反比例函數(shù)的

3、應(yīng)用 1．利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式 由于反比例函數(shù)y＝中只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只要 一對(duì)對(duì)應(yīng)的x，y值，或已知其圖象上一個(gè)______的坐標(biāo)即可求出k，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的解析式． 2．反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 解決反比例函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，首先要找出存在反比例關(guān)系的兩個(gè)變量，然后建立反比例函數(shù)模型，進(jìn)而利用反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以解決． 自主測(cè)試 1．如圖，是我們學(xué)過的反比例函數(shù)圖象，它的函數(shù)解析式可能是(　　) A．y＝x2 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x 2．已知點(diǎn)P(－1,4)在反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象上，則k的值是(

4、　　) A．－ B． C．4 D．－4 3．若點(diǎn)A(1，y1)，B(2，y2)是雙曲線y＝上的點(diǎn)，則y1__________y2(填“＞”“＜”或“＝”)． 考點(diǎn)一、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例1】反比例函數(shù)y＝的圖象在第一、三象限，則m的取值范圍是__________． 解析：∵函數(shù)的圖象在第一、三象限，∴m－1＞0，∴m＞1. 答案：m＞1 方法總結(jié) 1．.由于雙曲線自變量的取值范圍是x≠0的實(shí)數(shù)，故其性質(zhì)強(qiáng)調(diào)在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的變化而變化的情況． 2．反比例函數(shù)圖象的分布取決于k的符號(hào)，當(dāng)k＞0時(shí)，圖象在第一、三象限，當(dāng)k＜0時(shí)，圖象在

5、第二、四象限． 觸類旁通1 若雙曲線y＝的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k的取值范圍是__________． 考點(diǎn)二、反比例函數(shù)解析式的確定 【例2】如圖，直線y＝2x與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限的交點(diǎn)為A，AB垂直于x軸，垂足為B，已知OB＝1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)和這個(gè)反比例函數(shù)的解析式． 解：∵AB垂直x軸于點(diǎn)B，OB＝1，且點(diǎn)A在第一象限，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.又∵直線y＝2x的圖象經(jīng)過A，∴y＝2x＝2×1＝2，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)． ∵y＝的圖象過點(diǎn)A(1,2)，∴2＝.∴k＝2. ∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y＝. 方法總結(jié) 反比例函數(shù)只有一個(gè)基本量k，故只需一個(gè)條件即

6、可確定反比例函數(shù)．這個(gè)條件可以是圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以是x，y的一對(duì)對(duì)應(yīng)值． 觸類旁通2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝－2x的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A(－1，n)． (1)求反比例函數(shù)y＝的解析式； (2)若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且滿足PA＝OA，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 考點(diǎn)三、反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義 【例3】已知點(diǎn)P在函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上，PA⊥x軸，PB⊥y軸，垂足分別為A，B，則矩形OAPB的面積為__________． 解析：矩形OAPB的面積等于|xy|＝|k|＝2. 答案：2 方法總結(jié) 過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y

7、軸的垂線，所得矩形的面積為|k|；過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形的面積S＝|k|. 觸類旁通3 一個(gè)反比例函數(shù)的圖象如圖所示，若A是圖象上任意一點(diǎn)，AM⊥x軸于M，O是原點(diǎn)，如果△AOM的面積是3，那么這個(gè)反比例函數(shù)的解析式是__________． 1．(2012浙江臺(tái)州)點(diǎn)(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是(　　) A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 2．(2012湖南常德)對(duì)于函數(shù)y＝，下列說法

8、錯(cuò)誤的是(　　) A．它的圖象分布在第一、三象限 B．它的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 C．當(dāng)x＞0時(shí)，y的值隨x的增大而增大 D．當(dāng)x＜0時(shí)，y的值隨x的增大而減小 3.(2012貴州銅仁)如圖，正方形ABOC的邊長為2，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則k的值是(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 4．(2012蘭州)如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝上，點(diǎn)B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，點(diǎn)C和點(diǎn)D在x軸上．若四邊形ABCD為矩形，則矩形ABCD的面積為__________． 5．(2012四川成都)如圖，一次函數(shù)y＝－2x＋b(b為常數(shù))的圖

9、象與反比例函數(shù)y＝(k為常數(shù)，且k≠0)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,4)． (1)分別求出反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式； (2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)． 6．(2012四川攀枝花)據(jù)媒體報(bào)道，近期“手足口病”可能進(jìn)入發(fā)病高峰期，某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》，為預(yù)防“手足口病”，對(duì)教室進(jìn)行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒機(jī)釋放過程中，室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y(毫克)與燃燒時(shí)間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示(即圖中線段OA和雙曲線在A點(diǎn)及其右側(cè)的部分)，根據(jù)圖象所示信息，解答下列問題： (1)寫出從藥物釋放開始，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中

10、每立方米的含藥量低于2毫克時(shí)，對(duì)人體無毒害作用，那么從消毒開始，至少在多長時(shí)間內(nèi)，師生不能進(jìn)入教室？ 1．某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－1,6)，則下列各點(diǎn)中，此函數(shù)圖象也經(jīng)過的點(diǎn)是(　　) A．(－3,2) B．(3,2) C．(2,3) D．(6,1) 2．若函數(shù)y＝的圖象在其象限內(nèi)y的值隨x值的增大而增大，則m的取值范圍是(　　) A．m＞－2 B．m＜－2 C．m＞2 D．m＜2 3．對(duì)于反比例函數(shù)y＝，下列說法正確的是(　　) A．圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，－1) B．圖象位于第二、四象限 C．圖象是中心對(duì)稱圖形 D．當(dāng)x

11、＜0時(shí)，y隨x的增大而增大 4．已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函數(shù)y＝－的圖象上的三點(diǎn)，且x1＜x2＜0，x3＞0，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是(　　) A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 5．反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一、三象限，其中第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，請(qǐng)?jiān)诘谌笙迌?nèi)的圖象上找一個(gè)你喜歡的點(diǎn)P，你選擇的點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________． 6．在直角坐標(biāo)系中，有如圖所示的Rt△ABO，AB⊥x軸于點(diǎn)B，斜邊AO＝10，sin∠AOB＝，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經(jīng)

12、過AO的中點(diǎn)C，且與AB交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________． 7．如圖，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，AM⊥x軸于點(diǎn)M，且△AOM的面積是1，則反比例函數(shù)的解析式為__________． 8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B，A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C，D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2. (1)求該反比例函數(shù)的解析式； (2)求直線AB的解析式． 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識(shí) 自主測(cè)試 1．B　因?yàn)閳D象的兩個(gè)分支在第一、三象限，所以k＞0，A，D選項(xiàng)不是反比例函數(shù)，故選B. 2．D　k＝xy＝－1

13、×4＝－4. 3．＞　因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，y1＝3；當(dāng)x＝2時(shí)，y2＝， 所以y1＞y2. 探究考點(diǎn)方法 觸類旁通1．k＜　∵圖象經(jīng)過第二、四象限， ∴2k－1＜0，∴k＜. 觸類旁通2．分析：(1)把A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得k的值，即可得到函數(shù)解析式； (2)以A為圓心，以O(shè)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是P. 解：(1)∵點(diǎn)A(－1，n)在一次函數(shù)y＝－2x的圖象上， ∴n＝－2×(－1)＝2.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,2)． ∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝－2. ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－. (2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,0)或(0,4)． 觸類旁通3．y＝　

14、設(shè)反比例函數(shù)為y＝(k≠0)． ∵△AOM的面積可表示為S△AOM＝|k|， 又∵S△AOM＝3，∴|k|＝3.∴|k|＝6. ∵雙曲線在第一、三象限，∴k＞0.∴k＝6. ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝. 品鑒經(jīng)典考題 1．D　因?yàn)閗＝6＞0，所以函數(shù)圖象的的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，各象限內(nèi)y隨x的增大而減小，所以0＜y3＜y2，點(diǎn)(－1，y1)在第三象限，所以y1＜0＜y3，所以y1＜y3＜y2. 2．C　因?yàn)閗＝6＞0，所以函數(shù)圖象的的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，各象限內(nèi)y隨x的增大而減小，圖象是雙曲線，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，所以A，B，D正確，C錯(cuò)誤． 3．D

15、　因?yàn)檎叫蜛BOC的邊長為2，所以面積為4，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，又圖象在第二象限，所以k＝－4. 4．2　延長BA交y軸于點(diǎn)E，則矩形EBCO的面積為3，矩形EADO的面積為1，所以矩形ABCD的面積為3－1＝2. 5．解：(1)把A(－1,4)代入y＝得k＝－4， ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－. 把A(－1,4)代入y＝－2x＋b得－2×(－1)＋b＝4， 解得b＝2. ∴一次函數(shù)解析式為y＝－2x＋2. (2)將y＝－和y＝－2x＋2組成方程組 解得或所以B點(diǎn)坐標(biāo)是(2，－2)． 6．解：(1)藥物燃燒后，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝.把B(25,6)代入得6

16、＝，解得k1＝150. ∴藥物燃燒后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝. 令y＝＝10，解得x＝15.∴A(15,10)． 藥物燃燒時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k2x. 把A(15,10)代入得10＝15k2， 解得k2＝. ∴藥物燃燒時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x(0≤x＜15)，藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝(x≥15)． (2)把y＝2代入y＝，得＝2，解得x＝75， ∴從消毒開始，至少在75分鐘內(nèi)，師生不能進(jìn)入教室． 研習(xí)預(yù)測(cè)試題 1．A　因?yàn)榉幢壤瘮?shù)圖象上所有點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘積相等，－3×2＝－1×6，故選A. 2．B　因?yàn)樵谙笙迌?nèi)y的值隨x值的增大而增大，所以圖象

17、兩分支在第二、四象限，得m＋2＜0，即m＜－2，故選B. 3．C　因?yàn)閗＝1＞0，所以雙曲線兩分支位于第一、三象限，y隨x的增大而減小，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故選C. 4．A　∵k＝－4，∴圖象兩分支在第二、四象限，在每個(gè)象限y隨x增大而增大．∵x1＜x2＜0，∴0＜y1＜y2. ∵x3＞0，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2，故選A. 5．(－1，－2)(答案不唯一)　因?yàn)閳D象過點(diǎn)A(1,2)，所以k＝2，只需點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)且乘積為2即可． 6．　∵AO＝10，sin∠AOB＝，∴AB＝6， ∴OB＝8.∵點(diǎn)C是OA中點(diǎn)，∴OC＝5，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3)，∴k＝12.∵D點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，∴縱坐標(biāo)為＝. 7．y＝－ 8．解：(1)∵OB＝4，OE＝2，∴BE＝2＋4＝6. ∵CE⊥x軸于點(diǎn)E， ∴tan∠ABO＝＝，∴CE＝3. ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2,3)． 設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝(m≠0)． 將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得3＝，m＝－6. ∴該反比例函數(shù)的解析式為y＝－. (2)∵OB＝4，∴B(4,0)． ∵tan∠ABO＝＝，∴OA＝2，∴A(0,2)． 設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b(k≠0)． 將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入，得 解得∴直線AB的解析式為y＝－x＋2. 8