【備考2014 志鴻優(yōu)化設計】2013版中考數(shù)學總復習 基礎講練 第22講 圖形的相似（含答案點撥） 新人教版

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1、 第22講　圖形的相似 考綱要求 命題趨勢 1．了解比例線段的有關概念及其性質，并會用比例的性質解決簡單的問題． 2．了解相似多邊形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性質和判定并會運用圖形的相似解決一些簡單的實際問題． 3．了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運用其性質. 　　相似多邊形的性質是中考考查的熱點，其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長比的關系考查較多．相似三角形的判定、性質及應用是考查的重點，常與方程、圓、四邊形、三角函數(shù)等相結合，進行有關計算或證明. 知識梳理 一、比例線段 1．比例線段的定義 在四條線段a，b，c，d中，如果其中兩條線段的比等于另

2、外兩條線段的比，即__________________，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱__________． 2．比例線段的基本性質 ＝?ad＝bc. 3．黃金分割 把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的__________，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點.≈0.618AB，BC＝ 二、相似多邊形 1．定義 對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應邊的比叫做________，相似比為1的兩個多邊形全等． 2．性質 (1)相似多邊形的對應角________，對應邊成________；

3、 (2)相似多邊形周長的比等于________； (3)相似多邊形面積的比等于__________． 三、相似三角形 1．定義 各角對應________，各邊對應成________的兩個三角形叫做相似三角形． 2．判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長線)相交，所構成的三角形與________相似； (2)兩角對應________，兩三角形相似； (3)兩邊對應成________且夾角________，兩三角形相似； (4)三邊對應成________，兩三角形相似； (5)斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似． 3．性質 (1)相似三角形的對

4、應角________，對應邊成________； (2)相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于________； (3)相似三角形周長的比等于________； (4)相似三角形面積的比等于____________． 四、位似變換與位似圖形 1．定義 取定一點O，把圖形上任意一點P對應到射線OP(或它的反向延長線)上一點P′，使得線段OP′與OP的______等于常數(shù)k(k＞0)，點O對應到它自身，這種變換叫做位似變換，點O叫做________，常數(shù)k叫做________，一個圖形經過位似變換得到的圖形叫做與原圖形位似的圖形． 2．性質 兩個位似的圖形上每一

5、對對應點都與位似中心在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對應點到位似中心的距離之比等于________． 3．畫位似圖形的步驟 (1)確定位似________； (2)連接圖形各頂點與位似中心的線段(或延長線)； (3)按位似比進行取點； (4)順次連接各點，所得的圖形就是所求圖形． 自主測試 1．若相似△ABC與△DEF的相似比為1:3，則△ABC與△DEF的面積比為(　　) A．1:3 B．1:9 C．3:1 D．1: 2．如圖，點F是ABCD的邊CD上一點，直線BF交AD的延長線于點E，則下列結論錯誤的是(　　) A．＝ B．＝ C

6、．＝ D．＝ 3．如圖，以點O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20cm，則五邊形ABCDE的周長與五邊形A′B′C′D′E′的周長的比值是__________． 4．如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ACB和△DCE的頂點都在格點上，ED的延長線交AB于點F. 求證：(1)△ACB∽△DCE； (2)EF⊥AB. 考點一、相似圖形的性質 【例1】如圖，在長為8 cm、寬為4 cm的矩形中，截去一個矩形，使得留下的矩形(圖中陰影部分)與原矩形相似，則留下矩形的面

7、積是(　　) A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2 解析：根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，得＝2，＝，S陰影＝8 cm2. 答案：C 方法總結 相似多邊形的性質：對應邊成比例，對應角相等，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，利用相似多邊形的性質可求多邊形的邊長、角、周長或面積． 觸類旁通1 如圖所示的兩個四邊形相似，則∠α的度數(shù)是(　　) 　 A．87° B．60° C．75° D．120° 考點二、相似三角形的性質與判定 【例2】如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，C

8、D邊上的點，連接BE，AF，它們相交于點G，延長BE交CD的延長線于點H，則圖中相似三角形共有(　　) A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 解析：依據(jù)題中的條件，平行四邊形的對邊平行，由AD∥BC，可得△HED∽△HBC，由AB∥CD，可得△HED∽△BEA，△HFG∽△BAG.根據(jù)相似的傳遞性，可得△HBC∽△BEA，一共有四對相似三角形． 答案：C 方法總結 判定兩個三角形是否相似首先看是否存在平行線或能否作出相關的平行線，再看是否存在兩組對應角相等，若只有一對對應角相等，再看夾這個角的兩邊是否成比例；若無內角相等，就考慮三組對應邊是否成比例

9、． 觸類旁通2 已知如圖(1)，(2)中各有兩個三角形，其邊長和角的度數(shù)已在圖上標注，圖(2)中AB，CD交于O點，對于各圖中的兩個三角形而言，下列說法正確的是(　　) A．都相似 B．都不相似 C．只有(1)相似 D．只有(2)相似 考點三、位似圖形 【例3】如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點B′的坐標是(　　) A．(3,2) B．(－2，－3) C．(2,3

10、)或(－2，－3) D．(3,2)或(－3，－2) 解析：分兩種情況計算，即矩形OABC和矩形OA′B′C′在原點的同側和兩側． 答案：D 方法總結 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形，利用位似的方法，可以把一個多邊形放大或縮?。凰茍D形所有對應點的連線相交于位似中心． 觸類旁通3 如圖，△ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(－1,0)．以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．設點B的對應點B′的橫坐標是a，則點B的橫坐標是(　　) A．－a B．－(a＋1)

11、 C．－(a－1) D．－(a＋3) 考點四、相似三角形的應用 【例4】問題背景：在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對校園中的一些物體進行了測量，下面是他們通過測量得到的一些信息： 甲組：如圖(1)，測得一根直立于平地，長為80 cm的竹竿的影長為60 cm. 乙組：如圖(2)，測得學校旗桿的影長為900 cm. 丙組：如圖(3)，測得校園景燈(燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計)的高度為200 cm，影長為156 cm. 任務要求： (1)請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度； (2)如圖(3)，設太陽光線NH與⊙O相切于

12、點M.請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．(提示：如圖(3)，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562＋2082＝2602) 解：(1)如題圖，△ABC∽△DEF，∴＝. ∵AB＝80 cm，AC＝60 cm，DF＝900 cm，∴＝. ∴DE＝1 200 cm，即DE＝12 m. 故學校旗桿的高度是12 m. (2)如題圖(3)，連接OM，設⊙O的半徑為r cm. 與(1)類似得＝，即＝. ∴GN＝208 cm. 在Rt△NGH中，根據(jù)勾股定理得NH2＝1562＋2082＝2602，∴NH＝260 cm. ∵NH切⊙O于M， ∴OM⊥NH.

13、則∠OMN＝∠HGN＝90°.又∠ONM＝∠HNG， ∴△OMN∽△HGN.∴＝. 又∵ON＝OI＋IN＝OI＋(GN－GI)＝r＋8， ∴＝，解得r＝12. ∴景燈燈罩的半徑是12 cm. 方法總結 應用相似三角形解決實際問題，首先要建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題，然后利用相似三角形對應邊成比例或相似三角形的性質建立等量關系求解． 觸類旁通4 一個鋁質三角形框架三條邊長分別為24 cm,30 cm,36 cm，要做一個與它相似的鋁質三角形框架，現(xiàn)有長為27 cm,45 cm的兩根鋁材，要求以其中的一根為一邊，從另一根上截下兩段(允許有余料)作為另外兩邊．截法有(　　)

14、 A．0種 B．1種 C．2種 D．3種 1．(2012貴州銅仁)如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2:1，則下列結論正確的是(　　) A．∠E＝2∠K B．BC＝2HI C．六邊形ABCDEF的周長＝六邊形GHIJKL的周長 D．S六邊形ABCDEF＝2S六邊形GHIJKL 2．(2012山東聊城)如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，則下列結論不正確的是(　　) A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC C．＝ D．S△ABC＝3S△ADE 3．(2012山東泰安)

15、如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點，若AB＝5，CD＝3，則EF的長是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4．(2012重慶)已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，則△ABC與△DEF的面積之比為__________． 5．(2012湖南婁底)如圖，在一場羽毛球比賽中，站在場內M處的運動員林丹把球從N點擊到了對方內的B點，已知網高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，則林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM＝__________米． 6．(2012湖南張家界)已知△ABC與△DEF相似且面積比為4:25，則△A

16、BC與△DEF的相似比為__________． 1．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(　　) 2．如圖，邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，則四邊形BCED的面積為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知△ABC與△DEF相似且對應中線的比為2:3，則△ABC與△DEF的周長比為__________． 4．如圖，在△ABC中，DE∥AB，CD:DA＝2:3，DE＝4，則AB的長為__________． (第4題圖) 5．如圖，為了測量某棵樹的高度，小明用長為2 m的竹竿做測量工具，

17、移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點相距6 m，與樹相距15 m，則樹的高度為__________ m. (第5題圖) 6．如圖所示，正方形ABCD和正方形OEFG中，點A和點F的坐標分別為(3,2)，(－1，－1)，則兩個正方形的位似中心的坐標是__________． 7．如圖，∠1＝∠2，添加一個條件使得△ADE∽△ACB__________. 8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，點E在AD邊上且AE＝8，EF⊥BE交CD于點F. (1)求證：△ABE∽△DEF. (2)求EF的長． 參考答案 導學必備知識

18、 自主測試 1．B　2．C　3．1:2 4．證明：(1)∵＝，＝＝，∴＝． 又∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB∽△DCE. (2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC. 又∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°. ∴∠EFA＝90°，∴EF⊥AB. 探究考點方法 觸類旁通1．A 觸類旁通2．A 觸類旁通3．D 觸類旁通4．B　(1)假設以27 cm為一邊，把45 cm截成兩段，設這兩段分別為x cm，y cm(x＜y)．則可得：＝＝①或＝＝②(注：27 cm不可能是最小邊)，由①解得x＝18，y＝22.5，符合題意；由②解得x＝，y＝，x＋y＝＋＝＝

19、54＞45，不合題意，舍去． (2)假設以45 cm為一邊，把27 cm截成兩段，設這兩段分別為x cm，y cm(x＜y)．則可得：＝＝(注：只能是45是最大邊)，解得x＝30，y＝，x＋y＝30＋37.5＝67.5＞27，不合題意，舍去．綜合以上可知，截法只有一種． 品鑒經典考題 1．B　∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL， ∴∠E＝∠K，故A錯誤； ∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2:1， ∴BC＝2HI，故B正確； ∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2:1， ∴六邊形ABCDEF的周長＝六邊形GHIJKL的周長×2，故C錯誤；

20、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2:1， ∴S六邊形ABCDEF＝4S六邊形GHIJKL，故D錯誤． 故選B. 2．D　∵在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點， ∴DE∥BC，BC＝2DE，故A正確； ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正確； ∵△ADE∽△ABC，∴＝，故C正確； ∵DE是△ABC的中位線，∴AD:AB＝1:2， 又∵△ADE∽△ABC，∴S△ABC＝4S△ADE，故D錯誤． 3．D　連接DE并延長交AB于H. ∵CD∥AB， ∴∠C＝∠A，∠CDE＝∠AHE. ∵E是AC中點，∴EC＝AE， ∴△DCE≌△HA

21、E， ∴DE＝HE，DC＝AH. ∵F是BD中點， ∴EF是△DHB的中位線， ∴EF＝BH. ∵BH＝AB－AH＝AB－DC＝2，∴EF＝1. 故選D. 4．9:1　∵△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，∴三角形的相似比是3:1， ∴△ABC與△DEF的面積之比為9:1. 5．3.42　根據(jù)題意得AO⊥BM，NM⊥BM， ∴AO∥NM，∴△ABO∽△NBM，∴＝. ∵OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米， ∴BM＝OB＋OM＝4＋5＝9(米)，∴＝， 解得NM＝3.42(米)， ∴林丹起跳后擊球點N離地面的距離NM為3.42米． 故答案為3.42. 6．2:5 研習預測試題 1．A　2．B　3．2:3　4．10　5．7　6．(1,0)或(－5，－2) 7．略． 8．(1)證明：如圖，∵EF⊥BE， ∴∠EFB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. 在矩形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DEF. (2)解：在△ABE中，∠A＝90°，AB＝6，AE＝8， ∴BE＝＝＝10. 又∵DE＝AD－AE＝12－8＝4， 由(1)得△ABE∽△DEF. ∴＝. ∴EF＝＝＝. 10