圓錐曲線中的范圍問題.doc

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解析幾何中的參數(shù)取值范圍問題 例1：選題意圖：利用三角形中的公理構(gòu)建不等式 x y 設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，若在直線上存在點P，使線段的中垂線過點,求橢圓離心率的取值范圍. 解法一：設(shè)P，F(xiàn)1P的中點Q的坐標為，則kF1P＝，kQF2＝． 由kF1P·kQF2＝－1， 得y2＝． 因為y2≥0，但注意b2＋2c2≠0， 所以2c2－b2＞0，即3c2－a2＞0． 即e2＞．故＜e＜1． 當b2－2c2＝0時，y＝0，此時kQF2不存在，此時F2為中點，－c＝2c，得e＝．綜上得，≤e＜1． 解法二：設(shè)準線與x軸的交點為Q，連結(jié)PF2， ∵PF1的中垂線過點F2， ∴|F1F2|=|PF2|，可得|PF2|=2c， 且|PF2|≥|QF2|， 例2：選題意圖：利用橢圓自身范圍構(gòu)建不等式 x y P G 設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上的點，且到右準線的距離為，若,求橢圓離心率的取值范圍. 例3：選題意圖：利用函數(shù)關(guān)系構(gòu)建不等式 已知橢圓：的兩個焦點分別為,斜率為的直線過左焦點F1且與橢圓的交點為A、B，與軸交點為C，若B為線段CF1的中點，若，求橢圓離心率e的取值范圍． 解：,焦點F1(-c,0).∴直線L：y=k(x+c).===>點C(0,kc),再由中點公式得B(-c/2,kc/2).又因點B在橢圓上,∴[c2/(4a2)]+[k2c2/(4b2)]=1.整理可得：k2=(a2-c2)(4a2-c2)/(a2c2)≥7/2.===>(a2-2c2)(8a2-c2)≥0.===>a2≥2c2.===>0＜e≤(√2)/2. 例4、已知橢圓的左右焦點分別為，若橢圓上存在點P使,求該橢圓的離心率的取值范圍. 要求離心率的取值范圍，要求我們能找到一個關(guān)于離心率或的不等關(guān)系，我們從唯一的已知等式入手，在中有，因此有，是橢圓上的點到焦點的距離，于是想到焦半徑公式，設(shè)，則，，從而有。根據(jù)題意，，因此不等關(guān)系就是，即，解得，又橢圓中，故。 例5、橢圓與直線交于兩點，且,其中為坐標原點. （1）求的值； （2）若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸的取值范圍. 解析：（1）設(shè)?? 由得……………………………2分 又，故 由韋達定理得??………………………………….4分 （2）?????? ………………………………………. ????…………………………又，故.……………………………….12分 例6、設(shè)是橢圓上的不同兩點，點，且滿足,若，求直線的斜率的取值范圍. （1）由已知得，所以橢圓的方程為? ………4分 （2）∵,∴三點共線,而,且直線的斜率一定存在，所以設(shè)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得 ???????????????????????????? 由，得.????????????????????…………………6分 設(shè)，???????????① 又由得:????∴??????????②. 將②式代入①式得: ??? 消去得:????????????????…………………9分 當時,?是減函數(shù),?, ∴,解得, 又因為，所以,即或 ∴直線AB的斜率的取值范圍是???? …………12分 例7、已知等腰形ABCD中，,點在有向量上，且,雙曲線過三點，且以為焦點，當時，求雙曲線的離心率的取值范圍. 如圖建系:設(shè)雙曲線方程為:? 則B(c,0), C(,A(-c,0) ,代入雙曲線方程得: ,? 例8、已知圓是圓上一動點，的垂直平分線交于點，設(shè)點的軌跡為. (1) 求軌跡的方程； (2) 過點的直線交軌跡于兩個不同的點,的面積,若弦的中點為，求直線斜率的取值范圍. 解：（1）由題意， 所以軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，…（2分） 即軌跡E的方程為．…（4分） （2）解：記A（x1，y1），B（x2，y2）， 由題意，直線AB的斜率不可能為0， 故可設(shè)AB：x=my+1， 由，消x得：（4+m2）y2+2my-3=0， 所以…（7分） ．…（9分） 由，解得m2=1，即m=±1．…（10分） 故直線AB的方程為x=±y+1， 即x+y-1=0或x-y-1=0為所求．…（12分） 例10、已知橢圓的左頂點和上頂點分別為，設(shè)是橢圓上的兩個不同點，,直線與軸、軸分別交于兩點，且,求的取值范圍. 取值范圍問題的求解策略： 1、總方針：充分利用已知條件構(gòu)建不等式 2、具體方法： ①利用三角形中的公理構(gòu)建不等式 ②利用圓錐曲線自身范圍構(gòu)建不等式 ③利用函數(shù)關(guān)系構(gòu)建不等式 ④利用構(gòu)建不等式 解析幾何中的定值問題 1.已知橢圓：的焦點為，P是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，且的周長為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線的方程是圓O：上動點處的切線，與橢圓交于不同的兩點，，證明：的大小為定值． 2.（2012湖北七市聯(lián)考）已知橢圓長軸上有一頂點到兩個焦點之間的距離分別為：. （1)求橢圓的方程； (2）如果直線與橢圓相交于A,B，若，證明直線CA與直線 BD的交點K必在一條確定的雙曲線上； (3）過點作直線l(與軸不垂直）與橢圓交于M,N兩點，與軸交于點R，若，求證：為定值． 3.橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為. （Ⅰ）求該橢圓的標準方程; （Ⅱ）設(shè)動點滿足,其中是橢圓上的點,直線與的斜率之積為.問：是否存在兩個定點，使得為定值.若存在，求的坐標；若不存在，說明理由. 4. 在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線相交于兩點.是否存在垂直于軸的定直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由. 5. 已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，長軸長為，離心率為，經(jīng)過其左焦點的直線交橢圓于、兩點。（1）求橢圓的方徎；（2）在軸上是否存在一點，使得·恒為常數(shù)？若存在，求出點的坐標和這個常數(shù)；若不存在，說明理由。 6. 已知橢圓的右焦點為,點在橢圓上. （1）求橢圓方程； （2）點在圓上，在第一象限，過作圓的切線交橢圓于兩點，問是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由.