《幾何圖形初步》全章復習與鞏固(提高)知識講解.doc
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《幾何圖形初步》全章復習與鞏固(提高)知識講解 【學習目標】 1.認識一些簡單的幾何體的平面展開圖及三視圖,初步培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀; 2.掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、性質、表示方法和畫法; 3.初步學會應用圖形與幾何的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實際問題; 4.逐步掌握學過的幾何圖形的表示方法,能根據(jù)語句畫出相應的圖形,會用語句描述簡單的圖形. 【知識網(wǎng)絡】 【要點梳理】 要點一、多姿多彩的圖形 1. 幾何圖形的分類 立體圖形:棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等. 平面圖形:三角形、四邊形、圓等. 幾何圖形 要點詮釋:在給幾何體分類時,不同的分類標準有不同的分類結果. 2.立體圖形與平面圖形的相互轉化 (1)立體圖形的平面展開圖: 把立體圖形按一定的方式展開就會得到平面圖形,把平面圖形按一定的途徑進行折疊就會得到相應的立體圖形,通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機地結合起來. 要點詮釋: ①對一些常見立體圖形的展開圖要非常熟悉,例如正方體的 11種展開圖,三棱柱,圓柱等的展開圖; ②不同的幾何體展成不同的平面圖形,同一幾何體沿不同的棱剪開,可得到不同的平面圖形,那么排除障礙的方法就是:聯(lián)系實物,展開想象,建立“模型”,整體構想,動手實踐. (2)從不同方向看: 主(正)視圖----------從正面看 幾何體的三視圖 左視圖----------------從左邊看 俯視圖----------------從上面看 要點詮釋: ①會判斷簡單物體(直棱柱、圓柱、圓錐、球)的三視圖. ②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或實物原型. (3)幾何體的構成元素及關系 幾何體是由點、線 、面構成的.點動成線,線與線相交成點;線動成面,面與面相交成線;面動成體,體是由面組成. 要點二、直線、射線、線段 1. 直線,射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系 2. 基本性質 (1)直線的性質:兩點確定一條直線. (2)線段的性質:兩點之間,線段最短. 要點詮釋: ①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象. 如:要在墻上固定一個木條,只要兩個釘子就可以了,因為如果把木條看作一條直線,那么兩點可確定一條直線。 ②連接兩點間的線段的長度,叫做兩點間的距離. 3.畫一條線段等于已知線段 (1)度量法:可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段. (2)用尺規(guī)作圖法:用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a,如下圖: 4.線段的比較與運算 (1)線段的比較: 比較兩條線段的長短,常用兩種方法,一種是度量法;一種是疊合法. (2)線段的和與差: 如下圖,有AB+BC=AC,或AC=a+b;AD=AB-BD。 (3)線段的中點: 把一條線段分成兩條相等線段的點,叫做線段的中點.如下圖,有: 要點詮釋: ①線段中點的等價表述:如上圖,點M在線段上,且有,則點M為線段AB的中點. ②除線段的中點(即二等分點)外,類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖,點M,N,P均為線段AB的四等分點. 要點三、角 1.角的度量 (1)角的定義:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角,這個公共端點是角的頂點,這兩條射線是角的兩條邊;此外,角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形. (2)角的表示方法:角通常有三種表示方法:一是用三個大寫英文字母表示,二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示,三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖: 要點詮釋: ①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義; ②當一個角的頂點有多個角的時候,不能用頂點的一個大寫字母來表示. (3)角度制及角度的換算 1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″,以度、分、秒為單位的角的度量制,叫做角度制. 要點詮釋: ①度、分、秒的換算是60進制,與時間中的小時分鐘秒的換算相同. ②度分秒之間的轉化方法:由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉化)時用乘法逐級進行;由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉化)時用除法逐級進行. ③同種形式相加減:度加(減)度,分加(減)分,秒加(減)秒;超60進一,減一 成60. (4)角的分類 ∠β 銳角 直角 鈍角 平角 周角 范圍 0<∠β<90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° (5)畫一個角等于已知角 (1)借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角,在0~180°之間共能畫出11個角. (2)借助量角器能畫出給定度數(shù)的角. (3)用尺規(guī)作圖法. 2.角的比較與運算 (1)角的比較方法: ①度量法;②疊合法. (2)角的平分線: 從一個角的頂點出發(fā),把這個角分成相等的兩個角的射線,叫做這個角的平分線,例如:如下圖,因為OC是∠AOB的平分線,所以∠1=∠2=∠AOB,或∠AOB=2∠1=2∠2. 類似地,還有角的三等分線等. 3.角的互余互補關系 余角補角 (1)若∠1+∠2=90°,則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角,∠2是∠1的余角. (2)若∠1+∠2=180°,則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角,∠2是∠1的補角. (3)結論: 同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的補角相等. 要點詮釋: ①余角(或補角)是兩個角的關系,是成對出現(xiàn)的,單獨一個角不能稱其為余角(或補角). ②一個角的余角(或補角)可以不止一個,但是它們的度數(shù)是相同的. ③只考慮數(shù)量關系,與位置無關. ④“等角是相等的幾個角”,而“同角是同一個角” . 4.方位角 以正北、正南方向為基準,描述物體運動的方向,這種表示方向的角叫做方位角. 要點詮釋: (1)方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的.所以在應用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉方向是向東還是向西,三要確定旋轉角度的大小. (2)北偏東45 °通常叫做東北方向,北偏西45 °通常叫做西北方向,南偏東45 °通常叫做東南方向,南偏西45 °通常叫做西南方向. (3)方位角在航行、測繪等實際生活中的應用十分廣泛. 【典型例題】 類型一、概念或性質的理解 1.下列判斷錯誤的有( ) ①延長射線OA;②直線比射線長,射線比線段長;③如果線段PA=PB,則點P是線段AB的中點;④連接兩點間的線段,叫做兩點間的距離. A.0個 B.2個 C.3個 D.4個 【答案】D 【解析】①由于射線向一方無限延伸,因此,不能延長射線;②由于直線向兩方無限延伸,射線向一方無限延伸,因此它們都是不能度量的,所以它們不存在相等或不相等的關系,而線段是可以度量的,可以比較線段的長短;③線段PA=PB,只有當點P在線段AB上時,才是線段AB的中點,否則就不是;④兩點間的距離是表示大小的量,而線段是圖形,二者的本質屬性不同. 【總結升華】本題考查的是基本概念,要抓住概念間的本質區(qū)別. 舉一反三: 【變式】下列說法正確的個數(shù)有( ) ①若∠1+∠2+∠3=90°,則∠1,∠2,∠3互余.②互補的兩個角一定是一個銳角和一個鈍角.③因為鈍角沒有余角,所以,只有當角為銳角時,“一個角的補角比這個角的余角大”這個說法才正確. A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 【答案】B 提示:③正確 類型二、立體圖形與平面圖形的相互轉化 1. 展開與折疊問題 2.如圖所示,它們的平面展開圖是由5個大小相同的正方形組成,其中沿正方形的邊不能折成無蓋小方盒的是( ). 【答案】B 【解析】圖形B無論怎樣折疊都有一個側面重合,這樣就缺少一個側面,所以圖形B不能折成無蓋小方盒. 【總結升華】解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形. 舉一反三: 【變式】已知O為圓錐的頂點,M為圓錐底面圓上一點,點P在OM上.一只蝸牛從P點出發(fā),繞圓錐側面爬行,回到P點時,所爬過的最短路線的痕跡如圖所示.若沿OM將圓錐側面剪開并展平,所得側面展開圖(如圖)是( ). 【答案】D 2.從不同方向看 3. (河北)將正方體骰子(相對面上的點數(shù)分別為1和6,2和5,3和4)放置于水平桌面上,如圖1所示.在圖2中,將骰子向右翻滾90°,然后在桌面上按逆時針方向旋轉90°,則完成一次變換.若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài),那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后,骰子朝上一面的點數(shù)是( ). A.6 B.5 C.3 D.2 【答案】B 【解析】第一次變換:將骰子向右翻滾90°,正面向上的應當是5,右面的是3,正面是1,再在桌面上按逆時針方向旋轉90°,面向上的應當是5,右面的是1,正面是4;第二次變換:將骰子向右翻滾90°,正面向上的應當是6,右面的是5,正面是4,再在桌面上按逆時針方向旋轉90°,面向上的應當是6,右面的是4,正面是2;第三次變換:將骰子向右翻滾90°,正面向上的應當是3,右面的是6,正面是2,再在桌面上按逆時針方向旋轉90°,正面向上的應當是3,右面的是2,正面是1,就回到了初始狀態(tài).所以每完成三次變換即可回到原來的位置,所以第十次變換后的狀態(tài)與第一次變換后的狀態(tài)相同,所以朝上一面的點數(shù)是5. 【總結升華】先找到規(guī)律再從上面看便得答案. 舉一反三: 【變式1】(南昌)沿圓柱體上底面直徑截去一部分后的物體如圖所示,它的俯視圖是( ). 【答案】D 【高清課堂:圖形認識初步章節(jié)復習399079 多姿多彩的圖形例2】 【變式2】如圖,是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖,那么搭成這個幾何體所用的小立方塊的個數(shù)是( ) A. 5個 B. 6個 C. 7個 D. 8個 【答案】D 類型三.互余互補的有關計算 4. (安徽蕪湖)如圖所示的4×4正方形網(wǎng)格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于( ) A.330° B.315° C.310° D.320° 【答案】B 【解析】通過網(wǎng)格的特征首先確定∠4=45°.由圖形可知:∠l與∠7互余,∠2與∠6互余,∠3與∠5互余,所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=90°+90°+90°+45°=315°. 【總結升華】互余的兩個角只與數(shù)量有關,而與位置無關. 舉一反三: 【變式】如圖所示,AB和CD都是直線,∠AOE=90°,∠3=∠FOD,∠1=27°20′,求∠2,∠3. 【答案】 解:因為∠AOE=90°, 所以∠2=90°-∠1=90°-27°20′=62°40′. 又∠AOD=180°-∠1=152°40′,∠3=∠FOD. 所以∠3=∠AOD=76°20′. 答:∠2為62°40′,∠3為76°20′. 類型四.方向角 5. (山東濰坊)用A、B、C分別表示學校、小明家、小紅家,已知學校在小明家的南偏東,小紅家在小明家正東,小紅家在學校北偏東35°,則∠ACB等于( ) A.35° B.55° C.60° D.84° 【思路點撥】根據(jù)方位角的概念,分清方向,正確地畫出圖形,即可求解. 【答案】B 【解析】根據(jù)題意畫出圖形如下: ∵∠ACB與35°互余,∴∠ACB=90°-35°=55° 【總結升華】解答此類題需要從運動的角度,正確畫出方位角,找準中心是解答此類題的關鍵. 舉一反三: 【變式】(張家界模擬)考點辦公室設在校園中心O點,帶隊老師休息室A位于O點的北偏東45°,某考室B位于O點南偏東60°,請在圖(1)中畫出射線OA、OB,并計算∠AOB的度數(shù). 【答案】 解:如圖(2),以O為頂點,正北方向線為始邊向東旋轉45°,得OA;以O為頂點,正南方向線為始邊向東旋轉60°,得OB,則∠AOB=180°-(45°+60°)=75°. 類型五.利用數(shù)學思想方法解決有關線段或角的計算 1.方程的思想方法 6. 如圖所示,B、C是線段AD上的兩點,且,AC=35cm,BD=44cm,求線段AD的長. 【答案與解析】 解:設AB=x cm,則 或 于是列方程,得 解得:x=18,即AB=18(cm) 所以BC=35-x=35-18=17(cm) (cm) 所以AD=AB+BC+CD=18+17+27=62(cm) 【總結升華】根據(jù)題中的線段關系,巧設未知數(shù),列方程求解. 2.分類的思想方法 7. 同一直線上有A、B、C、D四點,已知AD=DB,AC=CB,且CD=4cm,求AB的長. 【思路點撥】先根據(jù)題意畫出圖形,再從圖上直觀的看出各線段的關系及大小. 【答案與解析】 解:利用條件中的AD=DB,AC=CB,設DB=9x,CB=5y, 則AD=5x,AC=9y,分類討論: (1)當點D,C均在線段AB上時,如圖所示: ∵ AB=AD+DB=14x,AB=AC+CB=14y,∴ x=y(tǒng) ∵ CD=AC-AD=9y-5x=4x=4,∴ x=1,∴ AB=14x=14(cm). (2)當點D,C均不在線段AB上時,如圖所示:方法同上,解得(cm). (3)如圖所示,當點D在線段AB上而點C不在線段AB上時,方法同上,解得(cm). (4)如圖所示,當點C在線段AB上而點D不在線段AB上時,方法同上,解得(cm). 綜上可得:AB的長為14cm,cm, cm. 【總結升華】解決沒有圖形的題目時,一要注意滿足條件下的圖形的多樣性;二要注意解決的方法,注意方程法在解決圖形問題中的應用. 在正確答案中,(3)與(4)的答案雖然相同,但作為圖形上的差別應了解. 類型六.鐘表上的角 8. 如圖所示,時鐘的時針由3點整的位置(順時針方向)轉過多少度時,與分針第一次重合. 【答案與解析】 解:設時針轉過的度數(shù)為x°時,與分針第一次重合,依題意有 12x=90+x 解得 答:時針轉過時,與分針第一次重合. 【總結升華】在相同時間里,分針轉過的度數(shù)是時針的12倍,此外此問題可以轉化為追及問題來解決.- 配套講稿:
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