圓錐曲線知識點與練習.doc

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《圓錐曲線》第1課時——橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì) 班別 姓名 學號 一、橢圓與雙曲線的標準方程與性質(zhì) 橢圓 雙曲線 定義1 到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2 a (2 a > | F1F2| )的動點M的軌跡叫橢圓。 即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a 定點F1、F2叫焦點，| F1F2| 叫焦距。 到兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2 a (2 a < | F1F2| )的動點M的軌跡叫雙曲線。即 | M F1 | -- | M F 2 | = ±2 a 定點F1、F2叫焦點，| F1F2| 叫焦距。 定義2 到一個定點F1的距離和到一條定直線l的距離的比等于常數(shù)( 0 < e < 1)的動點M的軌跡叫橢圓。定點F1叫做橢圓的焦點，定直線l叫做橢圓的準線，e叫做橢圓的離心率。 到一個定點F1的距離和到一條定直線l的距離的比等于常數(shù)( e > 1)的動點M的軌跡叫雙曲線。定點F1叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線，e叫做雙曲線的離心率。 標準方程 (a > b > 0 ) (a > b > 0 ) (a > 0 , b > 0 ) (a > 0 , b > 0 ) 判斷焦點位置方法 誰的分母大，誰就做a 2，焦點在相應(yīng)字母的坐標軸上。（a一定大于b ）（焦點始終在長軸所在的直線上） x 2項的系數(shù)為“+”，則焦點在x軸上，相應(yīng)的項的分母為a 2；y 2項的系數(shù)為“+”，則焦點在y軸上，相應(yīng)的項的分母為a 2。（ a不一定大于b ）（焦點始終在實軸所在的直線上） 圖形 范圍 -- a ≤ x ≤ a -- b ≤ y ≤ b -- b ≤ x ≤ b -- a ≤ y ≤ a x ≤ -- a或x ≥ a y ≤ -- a或y ≥ a 頂點坐標 (±a , 0 ) , (0 , ±b ) (±b , 0 ) , ( 0 , ±a ) (±a , 0 ) (0 , ±a ) 焦點坐標 (±c , 0 ) 焦距長2 c c 2 = a 2 – b 2 ( 0 ,±c ) 焦距長2 c c 2 = a 2 – b 2 (±c , 0 ) 焦距長2 c c 2 = a 2 + b 2 ( 0 , ±c ) 焦距長2 c c 2 = a 2 + b 2 軸 長軸長| A 1 A 2 | = 2 a ， 短軸長| B 1 B 2 | = 2 b 實軸長| A 1 A 2 | = 2 a， 虛軸長| B 1 B 2 | = 2 b 對稱性 關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 離心率 （ 0 < e < 1 ） （ e > 1 ） 準線方程 x = y = x = y = 漸近線 方程 y = y = 通徑長 練習1、橢圓與雙曲線方程特征 1、已知方程，（1）若方程表示的圖形是圓，則k的取值范圍是______________； （2）若方程表示的圖形是橢圓，則k的取值范圍是____________________；（3）若方程表示的圖形是雙曲線，則k的取值范圍是_______________________。 2、若，則“”是“方程表示雙曲線”的( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件. （06年上海春季） 3、若點M到兩定點F 1 (–1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距離之差等于2，則點的軌跡是（ ） (A) 雙曲線 (B) 雙曲線的一支 (C) 兩條射線 (D) 一條射線 4、若點M到兩定點F 1 ( 0 , –1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距離之和等于2，則點的軌跡是（ ） (A) 橢圓 (B) 直線F 1 F 2 (C) 線段F 1 F 2 (D) F 1 F 2的中垂線 5、已知圓錐曲線m x 2 + 4 y 2 = 4 m的離心率e為方程2 x 2 – 5 x + 2 = 0的兩根，則滿足條件的圓錐曲線有（ ）條 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6、已知三點P(5,2）,(－6,0), (6,0），（Ⅰ）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程； （Ⅱ）設(shè)點P、、關(guān)于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。（06年江蘇） 練習2、橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì) 7、已知橢圓，請?zhí)顚懴卤恚? 長軸長 短軸長 焦距 焦點坐標 離心率 準線方程 8、已知橢圓，請?zhí)顚懴卤恚? 長軸長 短軸長 焦距 焦點坐標 離心率 準線方程 9、已知雙曲線，請?zhí)顚懴卤恚? 實軸長 虛軸長 焦距 焦點坐標 離心率 準線方程 漸近線方程 10、已知雙曲線，請?zhí)顚懴卤恚? 實軸長 虛軸長 焦距 焦點坐標 離心率 準線方程 漸近線方程 練習3、雙曲線中與漸近線有關(guān)的問題 （1）由雙曲線方程求漸近線方程步驟：把雙曲線的標準方程右邊常數(shù)1換成0，則并化簡可得到漸近線方程. （2）若已知漸近線方程為，變形得，則可設(shè)雙曲線方程為，其中為待定系數(shù).若能判斷焦點的位置時，可進一步設(shè)雙曲線方程為（焦點在x軸上）或（焦點在y軸上）. （3）與共漸近線雙曲線的方程可設(shè)為. 11、與雙曲線有共同漸近線，并且過點M (–3 , 2)的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 12、焦點為F ( 0 , 10 )，漸近線為4 x + 3 y = 0的雙曲線方程為________ 13、焦距為10，漸近線為x±2 y = 0的雙曲線方程為_____________ 練習4、求橢圓與雙曲線的離心率。 14、(03年北京)直線過橢圓的左焦點和一個頂點B，該橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 15、在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ ）(A) (B)2 (C) (D)2 16、過雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_________． 17、設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）(05年全國卷III) （A） （B） （C） （D） 18、雙曲線的中心在原點，實軸長為4，一條準線方程是x =，則雙曲線的離心率是________ 19、已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為（ ）（06年全國卷II） （A） (B) (C) (D) 20、已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于（ ）A. B. C. 2 D.4 （2006年廣東卷） 21、已知a > b > 0，e1 , e2分別為圓錐曲線和的離心率，則lg e1 +lg e2的值 （ ）(A) 一定是正數(shù) (B) 一定是負數(shù) (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正確 練習5、利用橢圓的第一定義，求焦點三角形的邊長、周長和面積 22、已知△ABC的頂點B、C在橢圓 ＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（ ） （2006年全國卷II） （A）2 （B）6 （C）4 （D）12 22、已知雙曲線的實軸長為2 a，AB為左支上過焦點F 1的弦，| AB| = m ，F(xiàn)2為雙曲線的另一個焦點，則△ABF2的周長是___________ 23、如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交 橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點， 則__________ （06年四川卷） 24、若雙曲線(a > 0 , b > 0 )與橢圓( m > n > 0 )有相同的焦點F 1 , F 2，P是兩曲線的一個交點，則| P F 1 |·| P F 2 | 等于（ ） (A) m – a (B) ( m – a ) (C) m 2 – a 2 (D) 25、橢圓的焦點F 1, F 2在x軸上，焦距為2，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為8， （1）求橢圓的標準方程； （2）設(shè)點M在橢圓上，且求△F1MF2的面積。 26、已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為（ ） （A） （B） （C） （D）(05年全國卷III) 答案：（C） 《圓錐曲線》第1課時——橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì) 班別 姓名 學號 一、橢圓與雙曲線的標準方程與性質(zhì) 橢圓 雙曲線 定義1 到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2 a (2 a > | F1F2| )的動點M的軌跡叫橢圓。 即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a 定點F1、F2叫焦點，| F1F2| 叫焦距。 到兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2 a (2 a < | F1F2| )的動點M的軌跡叫雙曲線。即 | M F1 | -- | M F 2 | = ±2 a 定點F1、F2叫焦點，| F1F2| 叫焦距。 定義2 到一個定點F1的距離和到一條定直線l的距離的比等于常數(shù)( 0 < e < 1)的動點M的軌跡叫橢圓。定點F1叫做橢圓的焦點，定直線l叫做橢圓的準線，e叫做橢圓的離心率。 到一個定點F1的距離和到一條定直線l的距離的比等于常數(shù)( e > 1)的動點M的軌跡叫雙曲線。定點F1叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線，e叫做雙曲線的離心率。 標準方程 (a > b > 0 ) (a > b > 0 ) (a > 0 , b > 0 ) (a > 0 , b > 0 ) 判斷焦點位置方法 誰的分母大，誰就做a 2，焦點在相應(yīng)字母的坐標軸上。（a一定大于b ）（焦點始終在長軸所在的直線上） x 2項的系數(shù)為“+”，則焦點在x軸上，相應(yīng)的項的分母為a 2；y 2項的系數(shù)為“+”，則焦點在y軸上，相應(yīng)的項的分母為a 2。（ a不一定大于b ）（焦點始終在實軸所在的直線上） 圖形 范圍 -- a ≤ x ≤ a -- b ≤ y ≤ b -- b ≤ x ≤ b -- a ≤ y ≤ a x ≤ -- a或x ≥ a y ≤ -- a或y ≥ a 頂點坐標 (±a , 0 ) , (0 , ±b ) (±b , 0 ) , ( 0 , ±a ) (±a , 0 ) (0 , ±a ) 焦點坐標 (±c , 0 ) 焦距長2 c c 2 = a 2 – b 2 ( 0 ,±c ) 焦距長2 c c 2 = a 2 – b 2 (±c , 0 ) 焦距長2 c c 2 = a 2 + b 2 ( 0 , ±c ) 焦距長2 c c 2 = a 2 + b 2 軸 長軸長| A 1 A 2 | = 2 a ， 短軸長| B 1 B 2 | = 2 b 實軸長| A 1 A 2 | = 2 a， 虛軸長| B 1 B 2 | = 2 b 對稱性 關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 離心率 （ 0 < e < 1 ） （ e > 1 ） 準線方程 x = y = x = y = 漸近線 方程 y = y = 通徑長 練習1、橢圓與雙曲線方程特征 1、已知方程，（1）若方程表示的圖形是圓，則k的取值范圍是______________； （2）若方程表示的圖形是橢圓，則k的取值范圍是____________________；（3）若方程表示的圖形是雙曲線，則k的取值范圍是_______________________。 答案：（1） （2）1 < k < 2 且k≠ （3）k < 1或k > 2 2、若，則“”是“方程表示雙曲線”的( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件. （2006年上海春卷）答案： A 3、若點M到兩定點F 1 (–1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距離之差等于2，則點的軌跡是（ ） (A) 雙曲線 (B) 雙曲線的一支 (C) 兩條射線 (D) 一條射線 答案：(D) 4、若點M到兩定點F 1 ( 0 , –1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距離之和等于2，則點的軌跡是（ ） (A) 橢圓 (B) 直線F 1 F 2 (C) 線段F 1 F 2 (D) F 1 F 2的中垂線 答案：(C) 5、已知圓錐曲線m x 2 + 4 y 2 = 4 m的離心率e為方程2 x 2 – 5 x + 2 = 0的兩根，則滿足條件的圓錐曲線有（ ）條 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答案：(C) 解：易知e = 2或 ，由e = 2得焦點在x軸上的雙曲線一條，由得焦點在x軸上的橢圓一條或焦點在y軸上的橢圓一條，∴選(C) 6、已知三點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （Ⅰ）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程； （Ⅱ）設(shè)點P、、關(guān)于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。（06年江蘇） 解：（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標準方程為(a>b>0),其半焦距c=6 ∴,b2=a2-c2=9. 所以所求橢圓的標準方程為 （2）點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點分別為點P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6). 設(shè)所求雙曲線的標準方程為由題意知，半焦距c1=6 ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標準方程為 練習2、橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì) 7、已知橢圓，請?zhí)顚懴卤恚? 長軸長 短軸長 焦距 焦點坐標 離心率 準線方程 10 8 6 ( 0 , ±3 ) y =± 8、已知橢圓，請?zhí)顚懴卤恚? 長軸長 短軸長 焦距 焦點坐標 離心率 準線方程 10 8 6 (±3 , 0) x =± 9、已知雙曲線，請?zhí)顚懴卤恚? 實軸長 虛軸長 焦距 焦點坐標 離心率 準線方程 漸近線方程 8 10 2 (0 ,± ) 10、已知雙曲線，請?zhí)顚懴卤恚? 實軸長 虛軸長 焦距 焦點坐標 離心率 準線方程 漸近線方程 8 10 2 (±, 0) 練習3、雙曲線中與漸近線有關(guān)的問題 （1）由雙曲線方程求漸近線方程步驟：把雙曲線的標準方程右邊常數(shù)1換成0，則并化簡可得到漸近線方程. （2）若已知漸近線方程為，變形得，則可設(shè)雙曲線方程為，其中為待定系數(shù).若能判斷焦點的位置時，可進一步設(shè)雙曲線方程為（焦點在x軸上）或（焦點在y軸上）. （3）與共漸近線雙曲線的方程可設(shè)為. 11、與雙曲線有共同漸近線，并且過點M (–3 , 2)的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是（ ） (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 答案： (C)（《晨練題》十二練習4） 12、焦點為F (, 0 )，漸近線為y =±3 x的雙曲線方程為_____________答案：（05年上海） (《同步》44頁練習6) 解：設(shè)所求的雙曲線方程為，即 ，∴λ+ 9λ= 10 ， ∴λ= 1 ∴ 所求的雙曲線方程為 12、焦點為F ( 0 , 10 )，漸近線為4 x + 3 y = 0的雙曲線方程為________ 答案：（《晨練題》十二練習1） 解：設(shè)所求的雙曲線方程為，即 ，∴ 16λ+ 9λ= 100 ， ∴λ= 4 ∴ 所求的雙曲線方程為 即 13、焦距為10，漸近線為x±2 y = 0的雙曲線方程為_____________ 答案：或 解：（1）當焦點在x軸上時，設(shè)所求的雙曲線方程為，即 ∴ 4λ+λ= 25 ， ∴λ= 5 ∴ 所求的雙曲線方程為，即 （2）當焦點在y軸上時，設(shè)所求的雙曲線方程為，即 ∴ 4λ+λ= 25 ， ∴ λ= 5 ∴ 所求的雙曲線方程為，即 練習4、求橢圓與雙曲線的離心率。 14、(03年北京)直線過橢圓的左焦點和一個頂點B，該橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 15、在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ ） (A) (B)2 (C) (D)2 (06年山東文科)（《五年》131頁練習2） 答案：(C) 解： 由①得 ③ 由②得 ==> ④ ③×④得 16、過雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_________． (05年浙江)（《五年》131頁練習12） 答案：2 解：易知△MNA為等腰直角三角形，且∠MAN為直角 ∴ ==> b 2 = a 2 + a c ==> c 2 – a 2 = a 2 + a c ==> c 2 – a c – 2 a 2 = 0 ==> e 2 – e – 2 = 0 ==> ( e – 2 ) ( e + 1 ) = 0 ==> e = 2 17、設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）(05年全國卷III)答案：（D） （A） （B） （C） （D） 18、雙曲線的中心在原點，實軸長為4，一條準線方程是x =，則雙曲線的離心率是________ 答案：4 19、已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為（ ）（06年全國卷II）答案： (A ) （A） (B) (C) (D) 20、已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于（ ） A. B. C. 2 D.4 （2006年廣東卷）答案：C 21、已知a > b > 0，e1 , e2分別為圓錐曲線和的離心率，則lg e1 +lg e2的值 （ ） (A) 一定是正數(shù) (B) 一定是負數(shù) (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正確 答案：(B) 解：∵ ， ∴ ∴ lg e1 +lg e2 = lg e1 e2 < 0 ∴選(B) 練習5、利用橢圓的第一定義，求焦點三角形的邊長、周長和面積 22、已知△ABC的頂點B、C在橢圓 ＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（ ） （2006年全國卷II）答案：(C ) （A）2 （B）6 （C）4 （D）12 22、已知雙曲線的實軸長為2 a，AB為左支上過焦點F 1的弦，| AB| = m ，F(xiàn)2為雙曲線的另一個焦點，則△ABF2的周長是___________ 答案：4 a + 2 m 23、如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交 橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點， 則________________ （06年四川卷）答案：35 24、若雙曲線(a > 0 , b > 0 )與橢圓( m > n > 0 )有相同的焦點F 1 , F 2，P是兩曲線的一個交點，則| P F 1 |·| P F 2 | 等于（ ） (A) m – a (B) ( m – a ) (C) m 2 – a 2 (D) 答案：(A) 25、橢圓的焦點F 1, F 2在x軸上，焦距為2，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為8， （1）求橢圓的標準方程； （2）設(shè)點M在橢圓上，且求△F1MF2的面積。（10分） 解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為( a > b > 0 ) （1分） 由題意知，a = 4（2分） , c =（3分） , 則 b 2 = a 2 – c 2 = 16 – 15 = 1（4分） ∴ 橢圓的標準方程為（5分） （2）解法1：設(shè)M ( x , y )， F 1 ( , 0 )，F(xiàn) 2 ( , 0 ) 則= (，–y ) , = (，–y ) （6分） ·= ()() + y 2 = x 2 – 15 + y 2 = 0（7分） （8分） ==> （9分） ∵ | F 1 F 2 | = 2 ∴ △F1MF2的面積S = = 1（10分） （2）解法2：∵ ∴ MF 1⊥MF 2（6分） ∵ MF 1+ MF 2 = 8 （7分） ∴ MF 12 + MF 22 + 2 MF 1 MF 2 = 64 ∵ MF 12 + MF 22 = （8分） ∴ 60 + 2 MF 1 MF 2 = 64 ∴ MF 1 MF 2 = 2 （9分） ∴ △F1MF2的面積S = MF 1 MF 2 = 1 （10分） 26、已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為（ ） （A） （B） （C） （D）(05年全國卷III) 答案：（C） 17