不等式的性質(zhì)與不等式的證明.doc

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1、不等式的性質(zhì)與不等式的證明 一. 教學內(nèi)容： 不等式的性質(zhì)與不等式的證明 二. 教學重點、難點： 1. 理解不等式的性質(zhì)及其應用。 2. 掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應用。 3. 掌握比較法、分析法、綜合法證明簡單不等式。 三. 知識串講： （一）不等式的意義和性質(zhì) 1. 不等式的意義：對于任意實數(shù)a，b 不等式的意義是不等式的基礎，是比較兩個實數(shù)的大小及作差法證明不等式的（基礎）依據(jù)。 2. 不等式的性質(zhì)

2、 （二）不等式的證明 證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、換元法、放縮法及利用函數(shù)單調(diào)性等方法。而比較法、綜合法和分析法是證明不等式的最基本方法，也是高考命題的重要思想方法。 1. 比較法 比較法是證明不等式的一種最重要、最基本的方法，可分為作差法和作商法。 →結論”。其中變形是作差法的關鍵，常用的變形手段是因式分解或配方。差式若為分式，一般要先通分，

3、再將分子、分母因式分解。 →變形→與1比較大小→結論”，多用在證明冪、指數(shù)形式的不等式的時候。 當“差”或“商”式中含有參數(shù)或符號不能一概而論時，要進行討論。 2. 綜合法 由題設條件以及已知的定義、公理、定理不斷推導出所證命題成立的必要條件（由因?qū)Ч┲敝镣茖С雒}的結論，這種證明方法叫綜合法。 在證明過程中，常用的結論： 平均值不等式： 它們的變形也要熟知： 在使用平均值不等式時，一定要注意它們的成立條件。 3. 分析法

4、 從待證的不等式出發(fā)，尋求該不等式成立的充分條件的方法叫分析法。即為“執(zhí)果索因”。 在證明不等式時，經(jīng)常用分析法探求證明思路，再用綜合法表述證明過程，有些不等式的證明需要一邊分析，一邊綜合，在使用分析法證明時，要注意分析過程的步步可逆及書寫格式。 【典型例題】 例1. 解法1：取差法 解法2：比商法 例2. 解析：

5、 ∴選B 例3. A、B、C、D的大小。 解： 將①、④進行比較： ②、③比較： 本題也可以用圖象法來解： 圖象。 例4. 證明： 例5.

6、 分析： 證明： ∵左端≥右端 ∴原不等式成立 例6. 分析：本題若采用比較法和綜合法難度大，故采用分析法探求證法。 證明： 例7. 在兩個正數(shù)x，y之間插入一個正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列；若另外插入兩個正數(shù)b，c使x，b，c，y成等差數(shù)列。

7、 證明： 例8. （1）解： （2）解： 點評：對于（1）題，如下解法是否正確？ 此種解法是錯誤的。因為在二次運用平均值不

8、等式中，取“＝”的條件是矛盾的，因此“＝”不成立。 對于（2）題，基本思路是借助條件式，化二元函數(shù)為一元函數(shù)再去運算。 例9. 證明：充分性： 必要性： 綜上可知，所證結論成立。 例10. 解：

9、 【模擬試題】 一. 選擇題。 1. 下列命題中： ① ② ③ ④ 其中正確的命題個數(shù)是（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 2. 若，則下列各式中正確的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，則（ ） A. B. C. D. 4.

10、設恒成立的a的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 二. 填空題。 5. 若由小到大的排列順序是____________。 6. 若，則P、Q關系為P______Q（填“＞”，“＜”，“＝”）。 7. 若，則的最大值是____________。 8. 已知，那么（填“＜”或“＞”）。 9. 已知，且，則的最小值是___________。 10. 函數(shù)的圖象的最低點的坐標是_____________。 三. 解答題。 11已知，求證： 12. 已知，且，求證： （1） （2）

11、 13. 求證： 14. 設，且。 求證： 【試題答案】 一. 選擇題。 1. B 2. C 3. D 4. B 二. 填空題。 5. 6. ＞ 7. 1 8. ＜ 9. 16 10. （0，2） 三. 解答題。 11. 略 12. （1）原式左邊 ……（每個因式中利用平均值定理） （2）取差法。注意到。 13. 一邊用均值定理，另一邊用分析法。 14. 由<1><2>知：a、b是方程的兩個根 設 解得：