人教版九年級上冊《幾何綜合》2020秋廣東茂名一中期末數(shù)學(xué)備考訓(xùn)練　(附解析答案)

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1、天雨軒教育 2020茂名一中九年級上期末數(shù)學(xué)專題測驗(yàn) 幾何綜合 參考答案與試題解析 一．解答題（共8小題） 1．如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點(diǎn)，且AD＝CE，連接BD，AE相交于點(diǎn)F． （1）∠BFE的度數(shù)是　60　； （2）如果＝，那么＝　1?。? （3）如果＝時(shí)，請用含n的式子表示AF，BF的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【分析】（1）易證△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根據(jù)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和即可解題． （2）如圖1中，當(dāng)＝時(shí)，由題意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題； （3）設(shè)AF＝x，BF＝y(tǒng)，AB

2、＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，設(shè)BD＝AE＝m，利用相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)系式即可解決問題； 【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠DAF＝∠ABD， ∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60， 故答案為：60． （2）如圖1中，當(dāng)＝時(shí)，由題意可知：AD＝CD，BE＝CE． ∵△ABC是等邊三角形，BE＝EC，AD＝CD， ∴∠BAE＝∠BAC＝60＝30，∠ABD＝∠ABC＝30，

3、∴∠FAB＝∠FBA， ∴FA＝FB， ∴＝1． 故答案為1． （3）設(shè)AF＝x，BF＝y(tǒng)，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1， ∵△ABD≌△CAE， ∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，設(shè)BD＝AE＝m， ∵∠ADF＝∠BDA， ∴△ADF∽△BDA， ∴＝， ∴＝①， ∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60， ∴△BFE∽△BCD， ∴＝， ∴＝②， ①②得到：＝， ∴＝． 【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題． 2

4、．如圖，∠BAD＝90，AB＝AD，CB＝CD，一個(gè)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的45角繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與BA，DA交于點(diǎn)M，N，與BA，DA的延長線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AC． （1）在∠FCE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠FCA＝∠ECA時(shí)，如圖1，求證：AE＝AF； （2）在∠FCE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠FCA≠∠ECA時(shí)，如圖2，如果∠B＝30，CB＝2，用等式表示線段AE，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【分析】（1）首先證明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45，推出∠FAC＝∠EAC＝135，再證明△ACF≌△ACE（ASA）即可解決問題； （2）由△ACF∽△AEC，推出＝，可得

5、AC2＝AE?AF，求出AC即可解決問題； 【解答】（1）證明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC＝45， ∴∠FAC＝∠EAC＝135， ∵∠FCA＝∠ECA， ∴△ACF≌△ACE（ASA）， ∴AE＝AF． （2）證明：作CG⊥AB于G． ∵BC＝2，∠B＝30， ∴CG＝BC＝1， ∵AG＝AC＝1， ∴AC＝， ∵∠FAC＝∠EAC＝135， ∴∠ACF+∠F＝45， ∵∠ACF+∠ACE＝45， ∴∠F＝∠ACE， ∴△ACF∽△AEC， ∴＝， ∴AC2＝AE?AF， ∴AE?

6、AF＝2． 【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型． 3．已知：如圖，矩形ABCD中，AB＞AD． （1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作弧，交DC于點(diǎn)E，且AE＝AB，聯(lián)結(jié)AE，BE，請補(bǔ)全圖形，并判斷∠AEB與∠CEB的數(shù)量關(guān)系； （2）在（1）的條件下，設(shè)a＝，b＝，試用等式表示a與b間的數(shù)量關(guān)系并加以證明． 【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論； （2）作過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，根據(jù)AB＝AE可知BF＝BE，由∠AFB＝∠C＝90，∠ABE＝∠CEB，得出

7、△ABF∽△BEC，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖1， ∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠CEB． （2）a＝b． 證明：如圖2，作過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F， ∵AB＝AE， ∴BF＝BE， ∵∠AFB＝∠C＝90，∠ABE＝∠CEB， ∴△ABF∽△BEC ∴＝， ∴＝，即a＝b． 【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵． 4．已知：△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱（點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是點(diǎn)C），點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC和線段BD上的點(diǎn)，且點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，連

8、接AF，AE，AE交BD于點(diǎn)G． （1）如圖1，求證：∠EAF＝∠ABD； （2）如圖2，當(dāng)AB＝AD時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接BM，ED，MF，MF的延長線交ED于點(diǎn)N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，試探究FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【分析】（1）如圖1，連接FE、FC，構(gòu)建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），則易證∠BAF＝∠2，F(xiàn)A＝FC；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等量代換可知FE＝FA，∠1＝∠BAF，則∠5＝∠6．然后由四邊形內(nèi)角和是360、三角形內(nèi)角和定理求得∠5+∠6＝∠3+∠4，則∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD； （2）FM＝FN．理由如下：由

9、△AFG∽△BFA，易得∠AGF＝∠BAF，所以結(jié)合已知條件和圖形得到∠MBG＝∠BMG．易證△AGF∽△DGA，則對應(yīng)邊成比例：＝＝．即＝＝． 設(shè)GF＝2a（a＞0），AG＝3a，則GD＝a，F(xiàn)D＝a；利用平行線（BE∥AD）截線段成比例易得＝，則＝＝．設(shè)EG＝2k（k＞0），所以BG＝MG＝3k．如圖2，過點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于點(diǎn)Q．則＝＝＝，又由FQ∥ED，易證得＝＝，所以FM＝FN． 【解答】（1）證明：如圖1，連接FE、FC． ∵點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上， ∴FE＝FC， ∴∠1＝∠2． ∵△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱（點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是點(diǎn)C）， ∴AB＝CB，

10、∠4＝∠3， ∵在△ABF與△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴∠BAF＝∠2，F(xiàn)A＝FC， ∴FE＝FA，∠1＝∠BAF， ∴∠5＝∠6． ∵∠1+∠BEF＝180， ∴∠BAF+∠BEF＝180 ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE＝360， ∴∠AFE+∠ABE＝180． 又∵∠AFE+∠5+∠6＝180， ∴∠5+∠6＝∠3+∠4， ∴∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD； （2）FM＝FN．理由如下： 如圖2，由（1）知，∠EAF＝∠ABD． 又∵∠AFB＝∠GFA， ∴△AFG∽△BFA， ∴∠AGF＝∠BAF． 又∵∠M

11、BF＝∠BAF， ∴∠MBF＝∠AGF． ∵∠AGF＝∠MBG+∠BMG， ∴∠MBG＝∠BMG， ∴BG＝MG． ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝∠EAF． 又∵∠FGA＝∠AGD， ∴△AGF∽△DGA， ∴＝＝． ∵AF＝AD， ∴＝＝． 設(shè)GF＝2a（a＞0），AG＝3a， ∴GD＝a， ∴FD＝a ∵∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB， ∴∠CBD＝∠ADB， ∴BE∥AD， ∴＝， ∴＝＝． 設(shè)EG＝2k（k＞0）， ∴BG＝MG＝3k． 如圖2，過點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于點(diǎn)Q．則＝＝＝， ∴GQ＝QE， ∴GQ＝EG＝k，

12、MQ＝3k+k＝k． ∵FQ∥ED， ∴＝＝， ∴FM＝FN． 【點(diǎn)評】本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和是360度等知識點(diǎn)．難度較大，綜合性較強(qiáng)． 5．以AB為直徑作半圓O，AB＝10，點(diǎn)C是該半圓上一動點(diǎn)，連接AC、BC，并延長BC至點(diǎn)D，使DC＝BC，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)F，連接OF． （1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求∠BAC的度數(shù)； （2）如圖②，當(dāng)DE＝8時(shí)，求線段EF的長； （3）在點(diǎn)C運(yùn)動過程中，若點(diǎn)E始終在線段AB上，是否存在以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請直接

13、寫出此時(shí)線段OE的長；若不存在，請說明理由． 【分析】（1）連接OC．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)可得△OBC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余即可得到∠BAC的度數(shù)； （2）連接DA．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB＝AD＝10，根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系可得AE和BE的長，通過AA證明△AEF∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到EF的長； （3）分兩種情況：①當(dāng)交點(diǎn)E在O、A之間時(shí)；②當(dāng)交點(diǎn)E在O、B之間時(shí)；討論即可求得線段OE的長． 【解答】解：（1）連接OC． ∵C為DB中點(diǎn)， ∴OC＝BC＝OB， ∴△OBC是等邊三角形， ∴∠B＝60

14、， ∵AB為直徑， ∴∠ACB＝90， ∴∠BAC＝30； （2）連接DA． ∵AC垂直平分BD， ∴AB＝AD＝10， ∵DE＝8，DE⊥AB， ∴AE＝6， ∴BE＝4， ∵∠FAE+∠AFE＝90，∠CFD+∠CDF＝90， ∴∠CDF＝∠EAF， ∵∠AEF＝∠DEB＝90， ∴△AEF∽△DEB， ∴＝， ∴EF＝3； （3）①當(dāng)交點(diǎn)E在O、A之間時(shí)， 若∠EOF＝∠BAC，此時(shí)， ∵， ∴， ∴OE＝AE， 則OE＝； 若∠EOF＝∠ABC，此時(shí)， ∴， 則OE＝； ②當(dāng)交點(diǎn)E在O、B之間時(shí)，OE＝． 綜上所述，OE＝或或

15、． 【點(diǎn)評】考查了圓的綜合題，涉及的知識點(diǎn)有直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度． 6．如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)． （1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE丄CD，垂足為E．試說明E是△ABC的自相似點(diǎn)； （2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫

16、出作法并保留作圖痕跡）； ②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)已知條件得出∠BEC＝∠ACB，以及∠BCE＝∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出結(jié)論； （2）①根據(jù)作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似點(diǎn)； ②根據(jù)∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝∠2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，即可得出各內(nèi)角的度數(shù)． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD是AB上的中線， ∴CD＝AB， ∴CD＝BD， ∴∠BCE＝∠ABC， ∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90， ∴∠BEC＝∠ACB，

17、∴△BCE∽△ABC， ∴E是△ABC的自相似點(diǎn)； （2）①如圖所示， 作法：①在∠ABC內(nèi)，作∠CBD＝∠A， ②在∠ACB內(nèi)，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于點(diǎn)P， 則P為△ABC的自相似點(diǎn)； ②∵P是△ABC的內(nèi)心，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)， ∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A， ∴∠A+2∠A+4∠A＝180， ∴∠A＝， ∴該三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)為：，，． 【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定以及三角形的內(nèi)心作法和作一角等于已知角，此

18、題綜合性較強(qiáng)，注意從已知分析獲取正確的信息是解決問題的關(guān)鍵． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥BE交AB于點(diǎn)G， （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系是　EF＝EG　； （2）如圖2，當(dāng)，探究線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系并且證明； （3）如圖3，當(dāng)，線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系是　?。? 【分析】（1）根據(jù)全等三角形的證明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF＝EG； （2）根據(jù)已知首先求出∠ENG＝∠FEM，再得出∠ENG＝∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利

19、用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可． 【解答】解：（1）證明：如圖1，過E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N， ∵∠ACB＝90，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45， ∴AD＝CD， ∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，CD⊥AB，EN⊥DC， ∴EN＝AD， ∴EM＝CD， ∴EN＝EM， ∵∠GEB＝90，∠MEN＝90， ∴∠NEF＝∠GEM， ∴， ∴△EGM≌△EFN，（ASA） ∴EG＝EF （2） 證明如圖（2）：過點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，作EN⊥AB于點(diǎn)N， ∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90． ∵CD⊥AB于點(diǎn)D， ∴∠CDA＝90． ∴EM∥AD

20、．∠A＝∠CEM． ∴△EMC∽△ANE．∴ ∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠1+∠2＝90． ∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90， ∴∠MEF＝∠GEN． ∴△EFM∽△EGN．∴． ∵∠ACB＝90，AC＝BC，∴∠A＝45，∴AN＝EN． ∴， ∴ ∵， ∴． （3）∴ 證明如圖（3）：過點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，作EN⊥AB于點(diǎn)N， ∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90． ∵CD⊥AB于點(diǎn)D， ∴∠CDA＝90． ∴EM∥AD．∠A＝∠CEM． ∴△EMC∽△ANE．∴ ∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠2+∠3＝90． ∵EG⊥BE，∴∠

21、3+∠2＝90， ∴∠MEF＝∠GEN． ∴△EFM∽△EGN．∴． ∵∠ACB＝90，AC＝BC，∴∠A＝45，∴AN＝EN． ∴， ∴ ∵ ∴， 故答案為：（1）EF＝EG，（3） 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用． 8．如圖，已知點(diǎn)P是邊長為4的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．請?jiān)谏渚€BF上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B、M、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似．（請注意：全等圖形是相似圖形的特例） 【分析】此題有兩種情況，（1）當(dāng)△CBM≌△ABP時(shí)，全等圖形是相似圖形的特例，此時(shí)BP和BM為一組

22、對應(yīng)邊且相等，BM＝BP＝3；（2）當(dāng)△MBC∽△ABP時(shí)，有MB：AB＝BC：BP，從而求出BM的值． 【解答】解：在射線BF上截取線段，連接M1C， ?， ?∠ABP＝∠CBM1， ∴△M1BC∽△ABP． 在射線BF上截取線段BM2＝BP＝3，連接M2C， ?△CBM2≌△ABP．（全等必相似） ∴在射線BF上取或BM2＝3時(shí)，M1，M2都為符合條件的M． （說明：其他解法請參照給分） 【點(diǎn)評】此題主要是考查三角形相似的判定，屬中等難度． 聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布 日期：2019/11/25 13:50:53；用戶：金雨教育；郵箱：309593466@；學(xué)號：335385 第16頁（共16頁）