高考數(shù)學復習 第五章 第二節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應用課件 理.ppt

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第二節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應用,知識點一 平面向量的數(shù)量積 1.兩個向量的夾角 (1)定義,∠AOB,[0，π],a⊥b,2.平面向量的數(shù)量積 (1)平面向量的數(shù)量積的定義 ______________叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b＝______________.可見，a·b是實數(shù)，可以等于正數(shù)、負數(shù)、零.其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. (2)向量數(shù)量積的運算律 ①a·b＝____ (交換律) ②(a＋b)·c＝________(分配律) ③(λa)·b＝_____＝a·(λb)(數(shù)乘結合律),|a||b|cos,|a||b|cos,b·a,a·c＋b·c,λ(a·b),3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2),a1b1＋a2b2,知識點二 向量的應用 1.向量數(shù)量積在幾何中的應用 (1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0). (2)證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件： a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夾角問題.,2.向量在三角函數(shù)中的應用 與三角函數(shù)相結合考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型.解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式、向量模、向量夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識. 3.向量在解析幾何中的應用 向量在解析幾何中的應用，是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述.它主要強調(diào)向量的坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答，坐標的運算是考查的主體.,【名師助學】 1.本部分知識可用如下圖表進行記憶：,2.利用數(shù)量積及坐標運算法則，可以使有關幾何問題(如長度、夾角、垂直等)轉化為代數(shù)問題(如函數(shù)問題、方程問題、不等式問題等)，使問題簡化，降低了思維難度. 3.兩個向量的數(shù)量積，可以從代數(shù)、幾何坐標等多個角度進行思考，從而使問題更簡捷的解答.,方法1 數(shù)量積的運算,解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，,[點評] 解決本題的關鍵是準確的記憶與向量有關的公式.,方法2 數(shù)量積的應用,應用向量解決問題的關鍵是要構造合適的向量，觀察條件和結論，選擇使用向量的哪些性質(zhì)解決相應的問題，如用數(shù)量積解決垂直、夾角問題，用三角形法則、模長公式解決平面幾何線段長度問題，用向量共線解決三點共線問題等.總之，要應用向量，如果題設條件中有向量，則可以聯(lián)想性質(zhì)直接使用，如果沒有向量，則更需要有向量工具的應用意識，強化知識的聯(lián)系，善于構造向量解決問題.,答案 A [點評] 解決本題的關鍵是充分利用選擇項中給出的向量模的關系，判斷向量夾角的范圍.,方法3 用向量方法解決平面幾何問題 用向量方法解決平面幾何問題可分三步： (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題； (2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題； (3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.,【例3】 (2013·湖南卷改編)已知a，b是單位向量，a·b＝0①.若向量c滿足|c－a－b|＝1②，則|c|的最大值為________. [解題指導]突破1：根據(jù)條件①轉化到平面直角坐標系中. 突破2：把條件②坐標化. 突破3：把坐標化后的式子配方整理可得到圓的方程. 突破4：利用圓的知識求|c|max.,[點評] 平面向量中有關最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關知識來解決.本題采用了“形化”與“數(shù)化”的結合，利用坐標運算將問題轉化為圓的知識解決.,