2019-2020年高中數學 第二章 點、直線、平面之間的關系過關測試卷 新人教A版必修2.doc

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2019-2020年高中數學 第二章 點、直線、平面之間的關系過關測試卷 新人教A版必修2 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1. 已知正方體ABCD－中，O是的中點，直線交平面于點M，則下列結論錯誤的是( ) A．、M、O三點共線 B．M、O、、A四點共面 C．A、O、C、M四點共面 D．B、、O、M四點共面 2. 若為一條直線，α，β，γ為三個互不重合的平面，給出下面三個命題：①α⊥γ，β⊥γ，α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，α⊥β；③∥α， ⊥β，α⊥β.其中正確的命題有( ) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 3.〈深圳模擬〉已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，要使n⊥β，則應增加的條件是( ) A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α 4. 二面角α－α－β的平面角為120°，在平面α內，AB⊥α于B，AB=2，在平面β內，CD⊥于D，CD=3，BD=1，M是棱上的一個動點，則AM+CM的最小值為（ ） A．6 B． C． D． 5. 如圖1，正方體ABCD－中，E，F分別為棱AB，的中點，在平面內且與平面平行的直線( ) A．不存在 B．有1條 C．有2條 D．有無數條 圖1 6. 〈塘沽模擬〉如圖2，邊長為的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形，則下列結論中正確的是( ) ①動點在平面ABC上的射影在線段AF上； ②BC∥平面； ③三棱錐的體積有最大值． A．① B．①② C．①②③ D．②③ 圖2 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 7.〈汕頭質檢〉若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中真命題的序號是 ． ①若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線； ②若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線； ③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥β； ④若m，n在平面α內的射影互相平行，則m，n互相平行． 8. 平面α、β相交，在α、β內各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定_______個平面． 9.〈唐山模擬〉已知正三棱柱ABC－中，＝2AB，M為的中點，則直線BM與平面所成角的正弦值是 ． 10. 如圖3所示，在正四棱柱ABCD－中，E、F、G、H分別是棱、、、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿足條件 時， 圖3 有MN∥面. 三、解答題（11題14分，12、13題每題15分，共44分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 11. 如圖4，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D，E分別是線段BC，PD的中點. （1）若AP=AB=AC=2，BC=，求三棱錐P－ABC的體積； （2）若點F在線段AB上，且AF=AB，證明：直線EF∥平面PAC． 圖4 12. 如圖5所示，在直四棱柱ABCD－中，DB＝BC，DB⊥AC，點M是棱上一點． (1)求證：∥平面； (2)求證：MD⊥AC； (3)試確定點M的位置，使得平面⊥平面，并說明理由. 圖5 13.〈西城模擬〉如圖6，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E，F分別是AB，PD的中點． (1)求證：AF∥平面PEC； (2)求PC與平面ABCD所成的角的正切值； (3)求二面角的正切值． 圖6 參考答案及點撥 一、1. D 點撥：因為O是的中點．由正方體的性質知，O也是的中點，所以點O在直線上，又直線交平面于點M，則、M、O三點共線，又直線與直線外一點確定一個平面，所以B、C正確． 2. C 點撥：①中兩平面都與第三個平面垂直，這兩個平面還可能是平行，也可能是一般的相交，①錯；②中兩平行平面中的一個與第三個平面垂直，則另一個也與第三個平面垂直，②正確；③中∥α，可在α內找到與平行的直線，由⊥β，得此直線必與β垂直，從而α⊥β，③正確，即正確命題的個數為2. 3. B 點撥：已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，增加條件n⊥m，由平面與平面垂直的性質定理可得n⊥β，B正確，故選B. 4. C 點撥：將二面角α－－β展開成一個平面，當AM+CM變成矩形的一條對角線時，AM+CM最小，最小值為. 5. D 點撥：平面與平面有公共點，由平面的基本性質中的公理知必有過該點的公共線，在平面內與平行的直線有無數條，且它們都不在平面內，由線面平行的判定定理知它們都與平面平行. 6. C 點撥：①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴點A′在平面ABC上的射影在線段AF上．②由BC∥DE知BC∥平面A′DE.③當平面A′DE⊥平面ABC時，三棱錐A′－FED的體積達到最大（此時底面積不變，高最大）． 二、7. ② 點撥：①為假命題，②為真命題，在③中，n可以平行于β，也可以在β內，故是假命題，在④中，m，n也可能異面，故為假命題． 8. 1或4 點撥：分類，如果這四點在同一平面內，那么確定1個平面；如果這四點不共面，那么任意三點可確定1個平面，所以可確定4個平面． 答圖1 9. 點撥：如答圖1，取AB，的中點D，，連接，取的中點N，連接MN，BN，則MN⊥平面.故∠MBN即為直線BM與平面所成的角．設＝2AB＝2，則MN＝，BM＝.故sin∠MBN＝＝. 10. M∈線段HF 點撥：由題意知，HN∥面，FH∥面.∵HN∩FH＝H，∴面NHF∥面.∴當M在線段HF上運動時，有MN∥面. 三、11.（Ⅰ）解：在△ABC中，AB=AC=2，BC=， 點D是線段BC的中點，∴AD⊥BC，∴AD=1， ∴， ∵PA⊥底面ABC， ∴． （Ⅱ）證法一：如答圖2，取CD的中點H，連接FH，EH， 答圖2 ∵E為線段PD的中點， ∴△PDC中，EH∥PC， ∵EH平面PAC，PC平面PAC， ∴EH∥平面PAC， ∵AF=AB， ∴△ABC中，FH∥AC， ∵FH平面PAC，AC平面PAC， ∴FH∥平面PAC， ∵FHEH=H，∴平面EHF∥平面PAC， ∵ＥF平面EHF，∴EF∥平面PAC. 證法二：如答圖3，分別取AD，AB的中點M，N，連接EM，MF，DN， ∵點E、M分別是線段PD、AD的中點， ∴EM∥PA， ∵EM平面PAC，PA平面PAC， ∴EM∥平面PAC， ∵AN=AB，AF=AB， ∴點F是線段AN的中點， 答圖3 ∵在△ADN中，AF=FN，AM=MD， ∴MF∥DN， ∵在△ABC中，AN=NB，CD=DB， ∴ DN∥AC， ∴MF∥AC， ∵MF平面PAC，AC平面PAC，∴ MF∥平面PAC， ∵EMMF=M，∴平面EMF∥平面PAC，∵EF平面EMF，∴EF∥平面PAC. 12. (1) 證明：由直四棱柱，得∥，＝， ∴四邊形是平行四邊形， ∴∥BD. 而BD平面，平面， ∴∥平面. (2) 證明：∵⊥平面ABCD，AC平面ABCD， ∴BB1⊥AC. 又∵DB⊥AC，且DB∩BB1＝B， ∴AC⊥平面BB1D1D. 而MD平面BB1D1D，∴MD⊥AC. (3) 解：當點M為棱BB1的中點時， 平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中點N，D1C1的中點N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，BN，如答圖4所示． ∵N是DC的中點，BD＝BC， ∴BN⊥DC. 又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線， 而平面ABCD⊥平面DCC1D1， ∴BN⊥平面DCC1D1. 又可證得O是NN1的中點， ∴BM∥ON且BM＝ON， 即四邊形BMON是平行四邊形． ∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D. 答圖4 ∵OM平面DMC1， ∴平面DMC1⊥平面CC1D1D. 13.(1) 證明：如答圖5，取PC的中點O， 連接OF，OE，則FO∥DC，且FO＝DC， ∵底面ABCD是矩形，∴AB∥DC，且AB=DC. ∴FO∥AE. 又E是AB的中點， ∴FO＝AE. ∴四邊形AEOF是平行四邊形， 答圖5 ∴AF∥OE. 又OE平面PEC， AF平面PEC， ∴AF∥平面PEC. (2) 解：如答圖5，連接AC. ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角． 在Rt△PAC中， tan∠PCA＝＝＝， 即直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為. (3) 解：如答圖5，作AM⊥CE，交CE的延長線于M. 連接PM，易得ME⊥平面PAM，∴PM⊥CE， ∴∠PMA是二面角P－EC－D的平面角． 由△AME∽△CBE可得AM＝， ∴tan∠PMA＝＝. ∴二面角P－EC－D的正切值為.