中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題七 數(shù)學(xué)思想方法課件.ppt
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1、專題七 數(shù)學(xué)思想方法 浙江專用 數(shù)學(xué)思想方法是指對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識 , 是解決數(shù)學(xué)問題 的根本策略數(shù)學(xué)思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì) , 是溝通基礎(chǔ)知識與能力 的橋梁 , 是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽 象和概括 , 它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中 抓住數(shù)學(xué)思想方法 , 善于迅速調(diào)用數(shù)學(xué)思想方法 , 更是提高解題能力根本之所在 因此 , 在復(fù)習(xí)時(shí)要注意體會(huì)教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和 方法 , 培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓 , 是讀書由厚到薄的升華 , 在復(fù)習(xí)中一定要注重
2、培養(yǎng) 在解題中提煉數(shù)學(xué)思想的習(xí)慣 , 中考常用到的數(shù)學(xué)思想方法有:整體思想、轉(zhuǎn)化思 想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等 解題方法 1 整體思想 :整體是與局部對應(yīng)的 , 按常規(guī)不容易求某一個(gè) (或多個(gè) )未知量 時(shí) , 可打破常規(guī) , 根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征 , 把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體 , 從而使問題得到解決 2 轉(zhuǎn)化思想 :在研究數(shù)學(xué)問題時(shí) , 我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題 , 將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題 , 將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題 , 將實(shí)際問 題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 3 分類討論思想 :體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法分 類的原則:分類
3、中的每一部分是相互獨(dú)立的;一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn);分類 討論應(yīng)逐級進(jìn)行正確的分類必須是周全的 , 既不重復(fù) , 也不遺漏 4 方程思想 :用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式 、 定理中的已知 結(jié)論構(gòu)造方程 (組 ) 這種思想在代數(shù) 、 幾何及生活實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用 5 函數(shù)思想 :用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn) , 集合與對應(yīng)的思想 , 去分析和研究數(shù)學(xué) 問題中的數(shù)量關(guān)系 , 建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù) , 運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問 題 、 轉(zhuǎn)化問題 , 從而使問題獲得解決 運(yùn)用函數(shù)思想要善于抓住事物在運(yùn)動(dòng)過程 中那些保持不變的規(guī)律和性質(zhì) 6 數(shù)形結(jié)合思想 :從幾何直觀的角度 , 利用幾何
4、圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系 , 尋求代數(shù)問題的解決方法 (以形助數(shù) ), 或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì) , 解決幾何問題 (以數(shù)助形 ) 數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來 , 使問題得以解決 1 (2016雅安 )已知 a2 3a 1, 則代數(shù)式 2a2 6a 1的值為 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 B 2 ( 2016 黔南州 ) 王杰同學(xué)在解決問題 “ 已知 A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(3 , 2) 、 B(6 , 5) 求直線 AB 關(guān)于 x 軸的對稱直線 AB 的解析式 ” 時(shí) , 解法如下: 先是建立平面直角坐標(biāo)系 ( 如圖 ) , 標(biāo)出
5、A 、 B 兩點(diǎn) , 并利用軸對稱性質(zhì)求出 A 、 B 的坐標(biāo)分別為 A (3 , 2 ) , B (6 , 5 ) ;然后設(shè)直線 AB 的解析式為 y kx b(k 0) , 并將 A(3 , 2 ) 、 B(6 , 5 ) 代入 y kx b 中 , 得方程組 3k b 2 , 6k b 5 , 解 得 k 1 , b 1 , 最后求得直線 AB 的解析式為 y x 1. 則在解題過程中他運(yùn)用到 的數(shù)學(xué)思想是 ( ) A 分類討論與轉(zhuǎn)化思想 B 分類討論與方程思想 C 數(shù)形結(jié)合與整體思想 D 數(shù)形結(jié)合與方程思想 D 3 (
6、2016六盤水 )為了加強(qiáng)愛國主義教育 , 每周一學(xué)校都要舉行莊嚴(yán)的升旗儀式 , 同學(xué)們凝視著冉冉上升的國旗 , 下列哪個(gè)函數(shù)圖象能近似地刻畫上升的國旗離 旗桿頂端的距離與時(shí)間的關(guān)系 ( ) A 4 ( 2016 濟(jì)南 ) 若代數(shù)式 6 x 2 與 4 x 的值相等 , 則 x ____ 5 ( 2016 河南 ) 如圖 , 在扇形 AOB 中 , AOB 90 , 以點(diǎn) A 為圓心 , OA 的長為半徑作 OC 交 AB 于點(diǎn) C , 若 OA 2 , 則陰影部分的面積為 4 3 13 【例 1 】 ( 2016 福州 )
7、若 x y 10 , xy 1 , 則 x 3 y xy 3 的值是 ____ 【點(diǎn)評】 本題考查了因式分解和代數(shù)式的變形 , 代數(shù)式右的字母表示的 數(shù)沒有明確告知 , 且求出字母的值較為困難 , 則對求值式可采用如下變形: x 3 y xy 3 xy(x 2 y 2 ) xy (x y) 2 2xy , 再將 x y 與 xy 的值整體代入即 可此題求解過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與整體思想的應(yīng)用 對應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 2016 樂山 ) 先化簡再求值: (x 3x x 1 ) x 2 x 2 2x 1 , 其中 x 滿足 x 2 x 2 0.
8、 98 解:原式 x2 x, x2 x 2 0, x2 x 2, 則原式 2. 【 例 2】 (2016山西 )解方程: 2(x 3)2 x2 9. 解:方程變形得: 2(x 3)2 (x 3)(x 3) 0, 分解因式得: (x 3)(2x 6 x 3) 0. 解得: x1 3, x2 9. 【 點(diǎn)評 】 本題考查了解一元二次方程解一元二次方程的基本思想是 “ 轉(zhuǎn)化思 想 ” , 把一元二次方程通過降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解 對應(yīng)訓(xùn)練 2 圖 所示的正方體木塊棱長為 6 cm , 沿其相鄰三個(gè)面的對角線 ( 圖中 虛線 ) 剪掉一角 , 得到如圖 的幾何體 , 一只螞蟻
9、沿著圖 的幾何體表面從頂 點(diǎn) A 爬行到頂點(diǎn) B 的最短距離為 cm . (3 2 3 6 ) 【例 3 】 ( 2015 茂名 ) 如圖 , Rt ABC 中 , ACB 90 , AC 6 cm , BC 8 cm . 動(dòng)點(diǎn) M 從點(diǎn) B 出發(fā) , 在 BA 邊上以每秒 3 cm 的速度向定點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng) , 同時(shí)動(dòng)點(diǎn) N 從點(diǎn) C 出發(fā) , 在 CB 邊上以每秒 2 cm 的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng) , 運(yùn)動(dòng) 時(shí)間為 t 秒 (0 t 10 3 ) , 連結(jié) MN. (1) 若 BMN 與 ABC 相似 , 求 t 的值; (2) 連結(jié) AN ,
10、CM , 若 AN CM , 求 t 的值 解: ( 1 ) 由題意知 , BM 3t cm , CN 2t cm , BN ( 8 2t ) cm , BA 6 2 8 2 10 ( cm ) , 當(dāng) BMN BAC 時(shí) , BM BA BN BC , 3t 10 8 2t 8 , 解得 t 20 11 ;當(dāng) BMN BCA 時(shí) , BM BC BN BA , 3t 8 8 2t 10 , 解得 t 32 23 , BMN 與 ABC 相似時(shí) , t 的值為 20 11 或 32 23 (2) 過點(diǎn) M 作 MD CB 于點(diǎn) D
11、, 由題意得: DM BM sin B 3t 6 10 9 5 t( cm ) , BD BM cos B 3t 8 10 12 5 t( cm ) , BM 3t cm , CN 2t cm , CD (8 12 5 t) cm , AN CM , ACB 90 , CAN ACM 90 , MCD ACM 90 , CAN MCD , MD CB , MDC ACB 90 , CAN DCM , AC CN CD DM , 6 2t 8 12 5 t 9 5 t , 解得 t 13 12 對
12、應(yīng)訓(xùn)練 3 (2016龍東 )甲、乙兩車從 A城出發(fā)前往 B城 , 在整個(gè)行程中 , 兩車離開 A城 的距離 y與 t的對應(yīng)關(guān)系如圖所示: (1)A, B兩城之間距離是多少千米? (2)求乙車出發(fā)多長時(shí)間追上甲車? (3)直接寫出甲車出發(fā)多長時(shí)間 , 兩車相距 20千米 解: (1)由圖象可知 A, B兩城之間距離是 300千米 ( 2 ) 設(shè)乙車出發(fā) x 小時(shí)追上甲車 由圖象可知 , 甲的速度 300 5 60 千米 / 小時(shí) 乙的速度 300 3 100 千米 / 小時(shí) 由題意 60 ( x 1 ) 10 0 x 解得 x 1.5 小時(shí) (3) 設(shè) y 甲
13、 kx b , 則 5k b 0 , 10k b 300 , 解得 k 60 , b 300 , y 甲 60 x 300 , 設(shè) y 乙 kx b , 則 6k b 0 , 9k b 300 , 解得 k 100 , b 600 , y 乙 100 x 600 , 兩車相距 20 千米 , y 甲 y 乙 20 或 y 乙 y 甲 20 或 y 甲 20 或 y 甲 280 , 即 60 x 300 (10 0 x 60 0) 20 或 100 x 600 (60 x 30 0 )
14、 20 或 60 x 300 20 或 60 x 300 280 解得 x 7 或 8 或 16 3 或 29 3 , 7 5 2 , 8 5 3 , 16 3 5 1 3 , 29 3 5 14 3 甲車出發(fā) 2 小時(shí)或 3 小時(shí)或 1 3 小時(shí)或 14 3 小時(shí) , 兩車相距 20 千米 【 例 4】 (2016遵義 )上網(wǎng)流量、語音通話是手機(jī)通信消費(fèi)的兩大主體 , 目前 , 某 通信公司推出消費(fèi)優(yōu)惠新招 “ 定制套餐 ” , 消費(fèi)者可根據(jù)實(shí)際情況自由定制每月 上網(wǎng)流量與語音通話時(shí)間 , 并按照二者的階梯資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)繳納通信費(fèi)下表是流量與 語音的階梯定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)
15、 流量階梯定價(jià) 標(biāo)準(zhǔn) 使用范圍 階梯單價(jià) (元/MB) 1 100 MB a 101 500 MB 0.07 501 20 GB b 語音階梯定價(jià) 標(biāo)準(zhǔn) 使用范圍 階梯資費(fèi) (元 /分鐘 ) 1 500分鐘 0.15 501 1000分鐘 0.12 1001 2000分 鐘 m 小提示:階梯定價(jià)收費(fèi)計(jì)算方法 , 如 600分鐘語音通話費(fèi) 0.15 500 0.12 (600 500) 87元 (1)甲定制了 600 MB的月流量 , 花費(fèi) 48元;乙定制了 2 GB的月流量 , 花費(fèi) 120.4元 , 求 a, b的值 (注: 1 GB 1024 MB) (2)甲的套餐費(fèi)用為 199元
16、 , 其中含 600 MB的月流量;丙的套餐費(fèi)用為 244.2元 , 其中包含 1 GB的月流量 , 二人均定制了超過 1000分鐘的每月通話時(shí)間 , 并且丙的 語音通話時(shí)間比甲多 300分鐘 , 求 m的值 解: (1) 依題意得: 100a ( 500 100 ) 0. 07 ( 600 500 ) b 48 , 100a ( 500 100 ) 0. 07 ( 1024 2 500 ) b 12 0.4 , 解得: a 0.15 , b 0.05 , a 的值為 0. 15 元 / MB , b 的值為 0.05 元 / MB . (2)設(shè)甲的
17、套餐中定制 x(x 1000)分鐘的每月通話時(shí)間 , 則丙的套餐中定制 (x 300)分鐘的每月通話時(shí)間 , 丙定制了 1 GB的月流量 , 需花費(fèi) 100 0.15 (500 100) 0.07 (1024 500) 0.05 69.2(元 ), 依題意得: 48 500 0.15 (1000 500) 0.12 (x 1000)m 199, 69.2 500 0.15 (1000 500) 0.12 (x 300 1000)m 244.2, 解得: m 0.08.答: m的值為 0.08元 /分鐘 【 點(diǎn)評 】 本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用 , 解題關(guān)鍵是: (1)根據(jù)數(shù)量關(guān)系列 出
18、關(guān)于 a, b的二元一次方程組; (2)根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于 x, m的二元一次方程組 , 本題屬于中檔題 , 難度不大 , 解決該題型題目時(shí) , 根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程 (或方 程組 )是關(guān)鍵 對應(yīng)訓(xùn)練 4 (2016樂山 )如圖 , 禁止捕魚期間 , 某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏 , 上午某一時(shí) 刻在 A處接到指揮部通知 , 在他們東北方向距離 12海里的 B處有一艘捕魚船 , 正在沿 南偏東 75 方向以每小時(shí) 10海里的速度航行 , 稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí) 14 海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā) , 在 C處成功攔截捕魚船 , 求巡邏船從出發(fā)到成 功攔截捕魚船所用的時(shí)間 解:設(shè)巡
19、邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為 x 小時(shí); 如圖所示 , 由題意得: ABC 45 75 120 , AB 12 , BC 10 x , AC 14x , 過點(diǎn) A 作 AD CB 的延長線于點(diǎn) D , 圖略 , 在 Rt ABD 中 , AB 12 , ABD 60 , BD AB cos 60 1 2 AB 6 , AD AB sin 60 6 3 , CD 1 0 x 6. 在 Rt ACD 中 , 由勾股定理得: (14 x) 2 (10 x 6) 2 (6 3 ) 2 , 解得: x 1 2 , x 2 3 4
20、 ( 不合題意舍去 ) 答:巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為 2 小時(shí) 【 例 5】 (2016黔東南州 )凱里市某文具店某種型號的計(jì)算器每只進(jìn)價(jià) 12元 , 售 價(jià) 20元 , 多買優(yōu)惠 , 優(yōu)惠方法是:凡是一次買 10只以上的 , 每多買一只 , 所買的全 部計(jì)算器每只就降價(jià) 0.1元 , 例如:某人買 18只計(jì)算器 , 于是每只降價(jià) 0.1 (18 10) 0.8(元 ), 因此所買的 18只計(jì)算器都按每只 19.2元的價(jià)格購買 , 但是每只計(jì)算器的 最低售價(jià)為 16元 (1)求一次至少購買多少只計(jì)算器 , 才能以最低價(jià)購買? (2)求寫出該文具店一次銷售 x(x 10)只時(shí)
21、 , 所獲利潤 y(元 )與 x(只 )之間的函數(shù)關(guān) 系式 , 并寫出自變量 x的取值范圍; (3)一天 , 甲顧客購買了 46只 , 乙顧客購買了 50只 , 店主發(fā)現(xiàn)賣 46只賺的錢反而 比賣 50只賺的錢多 , 請你說明發(fā)生這一現(xiàn)象的原因;當(dāng) 10 x50時(shí) , 為了獲得最大 利潤 , 店家一次應(yīng)賣多少只?這時(shí)的售價(jià)是多少? 解: (1) 設(shè)一次購買 x 只 , 則 20 0.1(x 10) 16 , 解得: x 50. 答:一次至少買 50 只 , 才能以最低價(jià)購買; (2) 當(dāng) 10 x 50 時(shí) , y 20 0.1(x 10) 12x 0.1x 2
22、 9x , 當(dāng) x 50 時(shí) , y (16 12)x 4x ; 綜上所述: y 0.1x 2 9x ( 10 50 ); (3)y 0.1x 2 9x 0. 1(x 45) 2 202.5 , 當(dāng) 10 x 45 時(shí) , y 隨 x 的 增大而增大 , 即當(dāng)賣的只數(shù)越多時(shí) , 利潤更大 當(dāng) 45 x 50 時(shí) , y 隨 x 的 增大而減小 , 即當(dāng)賣的只數(shù)越多時(shí) , 利潤變小且當(dāng) x 46 時(shí) , y 1 20 2.4 , 當(dāng) x 50 時(shí) , y 2 20 0.y 1 y 2 . 即出現(xiàn)了賣 46 只賺的錢比賣 50 只賺的錢多
23、的現(xiàn)象當(dāng) x 45 時(shí) , 最低售價(jià)為 20 0.1(4 5 10) 16 .5 ( 元 ) , 此時(shí)利 潤最大 【點(diǎn)評】 本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用 , 根據(jù)題意得出 y 與 x 的函數(shù)關(guān) 系是解題關(guān)鍵 , 解答時(shí)注意函數(shù)思想的應(yīng)用 對應(yīng)訓(xùn)練 5 (2015溫州 )某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室 , 一面靠現(xiàn)有墻 (墻足夠長 ), 中間 用一道墻隔開 , 并在如圖所示的三處各留 1 m寬的門已知計(jì)劃中的材料可建墻體 (不包括門 )總長為 27 m, 則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為 ____m2. 75 【例 6 】 ( 2016 湖州 ) 已知點(diǎn) P 在一次函數(shù) y kx b(
24、k , b 為常數(shù) , 且 k 0 , b 0) 的圖象上 , 將點(diǎn) P 向 左平移 1 個(gè)單位 , 再向上平移 2 個(gè)單位得到點(diǎn) Q , 點(diǎn) Q 也在該函數(shù) y kx b 的圖象上 (1)k 的值是 ____ ; (2) 如圖 , 該一次函數(shù)的圖象分別與 x 軸、 y 軸交于 A , B 兩點(diǎn) , 且與反比 例函數(shù) y 4 x 圖象交于 C , D 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) C 在第二象限內(nèi) ) , 過點(diǎn) C 作 CE x 軸 于點(diǎn) E , 記 S 1 為四邊形 CEO B 的面積 , S 2 為 OAB 的面積 , 若 S 1 S 2 7 9 , 則 b 的值是 ____
25、 2 3 2 解: (1) 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (m , n ) , 則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (m 1 , n 2) , 依題意得: n km b , n 2 k ( m 1 ) b , 解得: k 2. 故答案為: 2. (2) BO x 軸 , CE x 軸 , BO CE , AOB AEC. 又 S 1 S 2 7 9 , S AOB S AEC 9 7 9 9 16 . 令一次函數(shù) y 2x b 中 x 0 , 則 y b , BO b ;令一 次函數(shù) y 2x b 中 y 0 , 則 0 2x b
26、 , 解得: x b 2 , 即 AO b 2 . AOB AEC , 且 S AOB S AEC 9 16 , AO AE BO CE 3 4 . AE 4 3 AO 2 3 b , CE 4 3 BO 4 3 b , OE AE AO 1 6 b. OE CE | 4| 4 , 即 2 9 b 2 4 , 解得: b 3 2 , 或 b 3 2 ( 舍去 ) 故答案為: 3 2 . 對應(yīng)訓(xùn)練 6 ( 2016 菏澤 ) 如圖 , OAC 和 BA D 都是等腰直角三角形 , ACO ADB 90 , 反比例函數(shù)
27、 y 6 x 在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn) B , 則 OAC 與 BAD 的面積之差 S OAC S BAD 為 ( ) A 36 B 12 C 6 D 3 D 點(diǎn)撥:設(shè) OAC 和 BAD 的直角邊長分別為 a , b , 則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( a b , a b ) 點(diǎn) B 在反比例函數(shù) y 6 x 的第一象限圖象上 , ( a b ) ( a b ) a 2 b 2 6. S O AC S BAD 1 2 a 2 1 2 b 2 1 2 ( a 2 b 2 ) 1 2 6 3. 故選 D. 試題
28、如圖 , 在矩形 ABCD中 , AB 4, BC 6, 若點(diǎn) P在 AD邊上 , 連結(jié) BP, PC, BPC是以 PB為腰的等腰三角形 , 則 PB的長為 ________ 錯(cuò)解 5 如圖 , 在矩形 AB CD 中 , AB CD 4 , BC AD 6. 點(diǎn) P 是 BC 的垂直平 分線與 AD 的交點(diǎn) , 則 AP DP 1 2 AD 3. 在 Rt ABP 中 , 由勾股定理得 PB AP 2 AB 2 3 2 4 2 5 剖析 本題要注意分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分類討論: PB PC 和 PB BC 兩種情況解題時(shí)需認(rèn)真審題 , 全面考慮 , 對可能存在的各種情況進(jìn)行討 論 , 做到不重、不漏、條理清晰 正解 5 或 6 如圖 , 在矩形 AB CD 中 , AB CD 4 , BC AD 6. 如圖 , 當(dāng) PB PC 時(shí) , 點(diǎn) P 是 BC 的垂直平分線與 AD 的交點(diǎn) , 則 AP DP 1 2 AD 3. 在 Rt ABP 中 , 由勾股定理得 PB AP 2 AB 2 3 2 4 2 5 ; 如圖 , 當(dāng) BP BC 6 時(shí) , BPC 也是以 PB 為腰的等腰三角形綜上 所述 , PB 的長度是 5 或 6
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