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1、1 彎曲變形 4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分 4-5 用疊加法求彎曲變形 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 2 概 述 橋式起重機的大梁 3 概 述 4 概 述 5 4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分 1.基本概念 撓曲線方程： )( xyy 由于小變形，截面形心在 x方向的位移忽略不計 撓度轉角關系為： dx dy t a n 撓曲線 y x x y 撓度 轉角 撓度 y：截面形心 在 y方向的位移 y 向上為正 轉角 ：截面繞中性軸轉過的角度。 逆鐘向為正 6 2.撓曲線的近似微分方程 推導彎曲正應力時，得到： zEI M 1 忽略剪力對變形的影響 zEI xM x )
2、( )( 1 4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分 7 由數(shù)學知識可知： 32 2 2 )(1 1 dx dy dx yd 略去高階小量，得 2 21 dx yd 所以 zEI xM dx yd )( 2 2 2 M ( x ) 0 M ( x ) 0 O d y d x 2 0 x y M ( x ) 0 O d x d y 02 2 y x M ( x ) b。 解 1）由梁整體平衡分析得： l FaF l FbFF ByAyAx ,0 2）彎矩方程 axxlFbxFxM Ay 1111 0, AC 段： lxaaxFxlFbaxFxFxM Ay 222222 ),()( CB 段： m
3、axy a b 1x 2x A CD F x AyF ByF A B y B 4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分 14 3）列撓曲線近似微分方程并積分 1 2 1 1 1 12)( Cxl FbxEI dx dyEI 11131 16 DxCxl FbE I y AC 段： ax 10 )()( 2222 2 2 2 axFxlFbxMdx ydEI 2 2 2 2 2 2 2 )( 22)( 2 Cax Fx l FbxEI dx dyEI 222 3 2 3 2 )(66 2 DxCax Fx l FbE I y CB 段： lxa 2 maxy a b 1x 2x A CD F x
4、AyF ByF A B y B 4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分 15 4）由邊界條件確定積分常數(shù) 0)(, 22 lylx 0)0(,0 11 yx 代入求解，得 位移邊界條件 光滑連續(xù)條件 )()(, 2121 aaaxx )()(, 2121 ayayaxx l FbF b lCC 66 1 3 21 021 DD maxy a b 1x 2x A CD F x AyF ByF A B y B 4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分 16 5）確定轉角方程和撓度方程 )(62 2221 1 bllFbxlFbEI 12231 )(66 1 xbll Fbx l FbE I y AC
5、 段： ax 10 )(6)(22 2222222 bllFbaxFxlFbEI 2 223 2 3 22 )(6)(66 xbll FbaxFx l FbE I y CB 段： lxa 2 maxy a b 1x 2x A CD F x AyF ByF A B y B 4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分 17 6）確定最大轉角和最大撓度 令 得， 0dxd )(6, m a x alE I lF a blx B 令 得， 0dxdy )(39 )(,3 322 m a x 22 E I l blFbyblx 7-3 用積分法求梁的變形 maxy a b 1x 2x A CD F x Ay
6、F ByF A B y B 18 討 論 積分法求變形有什么優(yōu)缺點？ 4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分 19 4-5 用疊加法求梁的變形 )(2 2 xME I y dx ydEI 設梁上有 n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩 為 M(x)，轉角為 ，撓度為 y，則有： )( xMEI y ii 若梁上只有第 i個載荷單獨作用，截面上彎矩 為 ，轉角為 ，撓度為 ，則有： i iy)(xMi 由彎矩的疊加原理知： )()( 1 xMxM n i i 所以， )()( 11 xMyEIyEI n i i n i i 4-5 20 故 )( 1 n i iyy 由于梁的邊界條件不變，因此
7、, 1 n i i n i iyy 1 重要結論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等 于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數(shù)和。 這就是 計算彎曲變形的疊加原理 。 4-5 用疊加法求梁的變形 21 例 3 已知簡支梁受力如圖示， q、 l、 EI均為已知。求 C 截面 的撓度 yC ； B截面的轉角 B 1）將梁上的載荷分解 321 CCCC yyyy 321 BBBB yC1 yC2 yC3 2）查表得 3種情形下 C截面的 撓度和 B截面的轉角 。 EI ql B 24 3 1 EI ql B 16 3 1 EI ql B 3 3 3 EI qly C 3 8 4 5 4 1
8、EI qly C 48 4 2 EI qly C 16 4 3 解 4-5 用疊加法求梁的變形 22 yC1 yC2 yC3 3） 應用疊加法，將簡單載荷 作用時的結果求和 )( 3 8 4 11 16483 8 4 5 4 4443 1 EI ql EI ql EI ql EI ql yy i CiC )( 48 11 31624 3 3333 1 EI ql EI ql EI ql EI ql i BiB 4-5 用疊加法求梁的變形 23 例 4 已知：懸臂梁受力如圖 示， q、 l、 EI均為已知。求 C 截面的撓度 yC和轉角 C 1）首先，將梁上的載荷變成 有表可查的情形 為了利用梁
9、全長承受均 布載荷的已知結果，先將均 布載荷延長至梁的全長，為 了不改變原來載荷作用的效 果，在 AB 段還需再加上集 度相同、方向相反的均布載 荷。 Cy 解 4-5 用疊加法求梁的變形 24 討 論 疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？ 4-5 用疊加法求梁的變形 25 Cy 2Cy 1Cy 2By ,8 41 EIqly C , 2481 28 2 34 222 l EI ql EI ql l yy BBC EI ql C 6 3 1 EI ql C 48 3 2 EI qlyy i CiC 384 41 42 1 3）將結果疊加 EI ql i CiC 48 7 32 1 2）再將處理后的梁分解
10、為簡單 載荷作用的情形，計算各自 C截 面的撓度和轉角。 4-5 用疊加法求梁的變形 26 *.剛度條件 , m a xm a x yy 建筑鋼梁的許可撓度： 1000250 ll 機械傳動軸的許可轉角： 3000 1 精密機床的許可轉角： 5000 1 4-5 用疊加法求梁的變形 27 根據(jù)要求，圓軸必須具有足 夠的剛度，以保證軸承 B 處轉角 不超過許用數(shù)值。 B 1） 由撓度表中查得承受集中 載荷的外伸梁 B 處的轉角為： EI F la B 3 解 例 5 已知鋼制圓軸左端受力為 F 20 kN， a l m， l 2 m， E=206 GPa。軸承 B處的許可轉 角 =0.5 。根據(jù)
11、剛度要求 確定軸的直徑 d。 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 Fa F Fa F B 28 例 6 已知鋼制圓軸左端受力為 F 20 kN， a l m， l 2 m， E=206 GPa。軸承 B處的許可轉 角 =0.5 。根據(jù)剛度要求 確定軸的直徑 d。 B 2） 由剛度條件確定軸的直徑： B 11 1m mm10111 5.0102063 18012102064 3 18064 3 4 29 3 4 E F l a d 18 03 EIF la EF laI 3 1 8 0 EFl ad 3 18064 4 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 29 一 .提高梁剛度的措施
12、 1 選擇合理的截面形狀 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 4-6 30 2 改善結構形式，減少彎矩數(shù)值 改 變 支 座 形 式 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 31 2）改善結構形式，減少彎矩數(shù)值 改 變 載 荷 類 型 %5.62 1 2 C C w w 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 32 3 采用超靜定結構 目錄 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 33 3 采用超靜定結構 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 34 1.基本概念： 超靜定梁： 支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁 多余約束： 從維持平衡角度而言 ,多余的約束 超靜定次數(shù)： 多余約束或多余支
13、反力的數(shù)目。 2.求解方法： 解除多余約束，建立相當系統(tǒng) 比較變形，列變 形協(xié)調條件 由物理關系建立補充方程 利用 靜力平衡條件求其他約束反力。 相當系統(tǒng)： 用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng) 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 二 .基本概念： 35 2 a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A F A y A C F CBA F B y F CBA A 解 例 6 求梁的支反力，梁的抗彎 剛度為 EI。 2 a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A F A y A C F CB A F B y F C BA A 1）判定超靜
14、定次數(shù) 2）解除多余約束，建立相當系統(tǒng) (d) A B C F B y A B F C 0)()( ByFBFBB yyy 3）進行變形比較，列出變形協(xié) 調條件 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 36 4）由物理關系，列出補充方程 EI Faaa EI aFy FB 3 14)29( 6 )2()( 32 EI aFy By FB By 3 8)( 3 038314 33 EI aFEIFa By所以 FFBy 47 4）由整體平衡條件求其他約束反力 )(43),(2 FFFaM AyA 2 a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A F A y A C F
15、 CBA F B y F CBA A 2 a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A F A y A C F CB A F B y F C BA A (d) A B C F B y A B F CAM AyF 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 37 例 7 梁 AB 和 BC 在 B 處鉸接， A、 C 兩端固定，梁的抗彎剛度 均為 EI， F = 40kN， q = 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 從 B 處拆開，使超靜定結構變 成兩個懸臂梁。 變形協(xié)調方程為： 21 BB yy BBFF FB MA FA yB1 FB MC FC yB2 物理關系
16、 EI F EI qy B B 3 4 8 4 34 1 EIFEIFy B B3 42436 2 322 解 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 38 FB FB MA FA MC FC yB1 yB2 kN75.848 42046 104023 3 4 2 BF 代入得補充方程： EIFEIFEIFEIq BB 3 42436 23 48 4 3234 確定 A 端約束力 04,0 qFFF BAy kN25.7175.82044 BA FqF 0424,0 BAA FqMM mkN12575.842204 424 BA FqM 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 39 FB
17、FB MA FA MC FC yB1 yB2 0,0 FFFF CBy 確定 B 端約束力 kN75.48 75.840 BC FFF 042,0 BCC FFMM k N . m1 1 540275.84 24 FFM BC 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 40 MA FA MC FC A、 B 端約束力已求出 最后作梁的剪力圖和彎矩圖 )( )( 25.71 75.8 75.48 kN SF )(kN25.71AF )kN (75.48CF )(mkN125 AM )m(kN115 CM )( 125 115 94.1 5.17 )mkN( M )( 4-6 簡單超靜定梁 提高梁的剛度的措施 41 小結 1、明確撓曲線、撓度和轉角的概念 2、掌握計算梁 變形的積分法和疊加法 3、學會用 變形比較法解簡單超靜定問題
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