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1、綜合仿真練(六)(理獨)
1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答
A．[選修4－2：矩陣與變換]
已知矩陣A＝，B＝.
(1)求AB；
(2)若曲線C1：＋＝1在矩陣AB對應的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程．
解：(1)因為A＝，B＝，
所以AB＝＝.
(2)設Q(x0，y0)為曲線C1上的任意一點，
它在矩陣AB對應的變換作用下變?yōu)镻(x，y)，
則＝，即所以
因為點Q(x0，y0)在曲線C1上，則＋＝1，
從而＋＝1，即x2＋y2＝8.
因此曲線C1在矩陣AB對應的變換作用下得到曲線C2：x2＋y2＝8.
B．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
2、
在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為x2＋(y－2)2＝4.以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，且在兩坐標系下長度單位相同．M為曲線C1上異于極點的動點，點N在射線OM上，且|ON||OM|＝20，記點N的軌跡為C2.
(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；
(2)根據(jù)極坐標方程，判斷曲線C1，C2的位置關系．
解：(1)曲線C1的直角坐標方程是x2＋(y－2)2＝4，
即x2＋y2＝4y.
將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得ρ2＝4ρsin θ.
故曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ.
設N(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，由|ON||OM|＝20，
3、
即ρρ1＝20，得ρ1＝.
又ρ1＝4sin θ，所以＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.
故曲線C2的極坐標方程為ρsin θ＝5.
(2)由得sin2θ＝，無實數(shù)解，因此曲線C1和曲線C2沒有公共點，易知曲線C1是圓，曲線C2是直線，所以C1與C2相離．
C．[選修4－5：不等式選講]
(2019南師附中、天一中學四月聯(lián)考)已知a，b，c是正實數(shù)，且a2＋2b2＋3c2＝6，求證：a＋b＋c≤.
證明：(a2＋2b2＋3c2)＝[a2＋(b)2＋(c)2]，
由柯西不等式得[a2＋(b)2＋(c)2]12＋2＋2≥(a＋b＋c)2，即11≥(a＋b＋c)2，
因為a，
4、b，c是正實數(shù)，所以a＋b＋c≤，當且僅當＝＝，即a＝2b＝3c，即a＝，b＝，c＝時等號成立．
2.(2019南師附中等四校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，過點P(m,0)(m≠0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設＝λ，＝μ (λ，μ∈R)．
(1)當Q為拋物線C的焦點時，直線l的方程為y＝x＋1，求拋物線C的標準方程；
(2)求證：λ＋μ為定值．
解：(1)當Q為拋物線C的焦點時，直線l的方程為y＝x＋1，令x＝0，得y＝1，即Q(0,1)，∴＝1，p＝2，
∴拋物線C的標準方程為x2＝4y.
(2)證明：設A(x1，
5、y1)，B(x2，y2)，
由＝λ，＝μ (λ，μ∈R)，
得∴
∴λ＋μ＝＋＝，
易知直線AB的斜率存在且不為0，
設直線AB：y＝k(x－m)，
聯(lián)立，得得x2－2pkx＋2pkm＝0，Δ>0，解得x＝pk，
x1＋x2＝2pk，x1x2＝2pkm，故λ＋μ＝＝＝1，故λ＋μ為定值1.
3．(2019南師附中模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＝＋＋…＋(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)對任意正整數(shù)n，an小數(shù)點后第一位數(shù)字是多少？請說明理由．
解：(1)a1＝，a2＝，a3＝
(2)a1，a2小數(shù)點后第一位數(shù)字均為5，a3小數(shù)點后第一位數(shù)字為6
下
6、證：對任意正整數(shù)n(n≥3)，均有0.60
故對任意正整數(shù)n(n≥3)，有an≥a3>0.6
下用數(shù)學歸納法證明：對任意正整數(shù)n(n≥3)，有an≤0.7－
①當n＝3時，有a3＝＝0.7－＝0.7－≤0.7－，命題成立；
②假設當n＝k(k∈N*，k≥3)時，命題成立，即ak≤0.7－
則當n＝k＋1時，ak＋1＝ak＋≤0.7－＋
∵－－＝－>0
∴－>
∴ak＋1≤0.7－＋≤0.7－
∴n＝k＋1時，命題也成立；
綜合①②，任意正整數(shù)n(n≥3)，an≤0.7－.
由此，對正整數(shù)n(n≥3)，0.6
（江蘇專用）2020高考數(shù)學二輪復習 綜合仿真練（六） 理
