【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)第十一篇第8講二項(xiàng)分布與正態(tài)分布限時(shí)訓(xùn)練新人教A版

上傳人:燈火****19 文檔編號(hào):20385280 上傳時(shí)間:2021-03-15 格式:DOCX 頁(yè)數(shù):12 大?。?5.60KB
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1、 第 8 講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 A 級(jí) 基礎(chǔ)演練 ( 時(shí)間: 30 分鐘 滿分: 55 分 ) 一、選擇題 ( 每小題 5 分,共 20 分 ) 1.(2011 湖北 ) 如圖,用 K、A1、 A2 三類不同的元件連 接成一個(gè)系統(tǒng),當(dāng) K 正常工作且 A1、A2 至少有一個(gè)正 常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作,已知 K、 A1、 A2 正常工作 的概率依次為 0.9,0.8,0.8 ,則系統(tǒng)正常工作的概率為 ( ) . A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576 解析

2、 P=0.9 [1 - (1 -0.8) 2] = 0.864. 答案 B 2. (201 1廣東 ) 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍,乙 隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊(duì)勝每局的概率相同,則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為 ( ) . 3 2 3 1 A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 1 解析 問(wèn)題等價(jià)為兩類:第一類,第一局甲贏,其概率 P1= ;第二類,需比賽 2 局,第 2 1 1 1 3 一局甲負(fù),第二局甲贏,其概率 P2=

3、 2 2= 4. 故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為 P1+ P2=4. 答案 A 3.在 4 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 隨機(jī)事件 A 恰好發(fā)生 1 次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率, 則事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率 p 的取值范圍是 ( ) . A. [0.4,1] B. (0,0.4] C. (0,0.6] D. [0.6,1] 解析 設(shè)事件 A

4、 發(fā)生的概率為 p 1 (1 - 3 2 2 2 p ≥0.4 ,故選 A. ,則 C4 ) ≤C (1 - ) ,解得 p p 4 p p 答案 A 4.設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(2,9) ,若 P( X>c+ 1) = P( X

5、 解析 ∵ μ = 2,由正態(tài)分布的定義, 知其函數(shù)圖象關(guān)于 x= 2 對(duì)稱,于是 c+ 1+ c-1 = 2, 2 ∴ c= 2. 答案 B 1 二、填空題 ( 每小題 5 分,共 10 分 ) 5.(2013 臺(tái)州二模 ) 某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的 5 個(gè)問(wèn)題中,選手若能連續(xù) 正確回答出兩個(gè)問(wèn)題,即停止答題,晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率 都是

6、 0.8 ,且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立,則該選手恰好回答了 4 個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一 輪的概率等于 ________. 解析 由已知條件第 2 個(gè)問(wèn)題答錯(cuò), 第 3、4 個(gè)問(wèn)題答對(duì), 記“問(wèn)題回答正確”事件為 A, 則 P( A) = 0.8 ,P= P[ - - A∪ A AAA] =(1 - P( A)] P( A) P( A) = 0.128. 答案 0.128 6.設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(0,1) ,如果 P( X≤1) = 0.8413 ,則 P( - 1

7、0) = ________. 解析 ∵ P( X≤1) = 0.841 3 , ∴ P( X>1) = 1- P( X≤1) = 1- 0.841 3 = 0.158 7. ∵ X~ N(0,1) ,∴ μ = 0. ∴ P( X<- 1) = P( X>1) = 0.158 7 , ∴ P( -11) = 0.682 6. ∴ P( -1

8、12 分 ) 設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù) X~ N(110,20 2) ,且知試卷滿分 150 分, 這個(gè)班的學(xué)生共 54 人,求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格 ( 即 90 分以上 ) 的人數(shù)和 130 分 以上的人數(shù). 解 由題意得 μ= 110, σ= 20, P( X≥90) = P( X-110≥- 20) = P( X- μ≥- σ ) , ∵ P( X-μ <- σ) + P( - σ≤ X- μ≤ σ ) + P( X- μ >σ) = 2P( X- μ <- σ) + 0.682 6 = 1, ∴ P( X-μ <- σ) = 0.158

9、7 , ∴ P( X≥90) = 1-P( X- μ<- σ ) =1- 0.158 7 = 0.841 3. ∴540.841 3 ≈45( 人 ) ,即及格人數(shù)約為 45 人. ∵ P( X≥130) = P( X-110≥20 ) = P( X- μ ≥ σ) , ∴ P( X-μ ≤- σ) + P( -σ ≤ X- μ≤ σ ) + P( X- μ >σ ) = 0.682 6 + 2P( X- μ ≥ σ) = 1, ∴ P( X-μ ≥ σ ) = 0.158 7. ∴540.158 7 ≈9( 人 ) , 即 130 分以上的人

10、數(shù)約為 9 人. 8. (13 分)(2012 重慶 ) 甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球.約定甲先投且先投中者獲 2 3 次時(shí)投籃結(jié)束. 設(shè)甲每次投籃投中的概率為 1 勝,一直到有人獲勝或每人都已投球 3,乙 1 每次投籃投中的概率為 2,且各次投籃互不影響. (1) 求甲獲勝的概率; (2) 求投籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù) ξ 的分布列與期望. 解 設(shè) Ak , Bk 分別表示甲、乙在第 k 次投籃投中,則 1 1 P( A ) = 3, P( B ) = 2( k= 1,2,3)

11、. k k (1) 記“甲獲勝”為事件 C,由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知 P( C) = P( A ) + P( A B A ) + P( A B A B A ) = P( A ) + P( A ) P( B ) P( A ) + 1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 2 ( ) ( B ) ( A ) ( B ) ( ) P A P P P P A

12、 1 1 2 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 = 3+ 3 2 3+ 3 2 3 1 1 1 13 = 3+ 9+ 27= 27. (2) ξ 的所有可能值為 1,2,3 由獨(dú)立性,知 1 2 1 2 P( ξ =1) = P( A1) +P( A1 B1) = 3+

13、3 2= 3, P( ξ =2) = P( A1 B1 A2) +P( A1 B1 A2 B2) 2 1 1 2 2 1 2 2 = 3 2 3+ 3 2 = 9, P( ξ =3) = P( A B A B ) = 2 2 1 2 1 3 2 = 9. 1 1 2 2 綜上知, ξ 的分布列為 ξ 1

14、 2 3 P 2 2 1 3 9 9 2 2 1 13 從而 E( ξ ) =1 3+2 9+3 9= 9 ( 次 ) . B 級(jí) 能力突破 ( 時(shí)間: 30 分鐘 滿分: 45 分 ) 一、選擇題 ( 每小題 5 分,共 10 分 ) 3 1.(2013 金華模擬 ) 已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù) φi

15、 ( x) = 1 x-μ 2 i 的圖象如圖所 e- 2 ( x∈ R, i = 1,2,3) 2π σ i 2σ i 示,則 ( ) . A. μ 1< μ2= μ 3, σ1=σ 2> σ 3 B. μ 1> μ2= μ 3, σ1=σ 2< σ 3 C. μ 1= μ2< μ 3, σ1<σ 2= σ 3 D. μ 1< μ2= μ 3, σ1=σ 2< σ 3 解析 正態(tài)分布密度函數(shù) φ2( x) 和 φ 3( x) 的圖象都是關(guān)于同一條直線對(duì)稱,所以其平均

16、 數(shù)相同,故 μ 2= μ 3,又 φ2( x) 的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值比 φ 1( x) 的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值大, 故有 μ 1 <μ = μ . 又 σ 越大,曲線越“矮胖”, σ 越小,曲線越“瘦高”,由圖象可 2 3 知,正態(tài)分布密度函數(shù) φ ( x) 和 φ ( x) 的圖象一樣“瘦高”, φ ( x) 明顯“矮胖”,從 1 2

17、 3 而可知 σ 1= σ 2< σ 3. 答案 D 2.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn) P 按下述規(guī)則移動(dòng):質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位;移動(dòng)的方向?yàn)橄? 1 上或向右,并且向上、向右移動(dòng)的概率都是 2. 質(zhì)點(diǎn) P移動(dòng)五次后位于點(diǎn) (

18、2,3) 的概率是 ( ) . 1 5 2 1 5 A. 2 B. C5 2 3 1 3 2 3 1 5 C. C 2

19、 D. C C 2 5 5 5 解析 由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位, 移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥? 移動(dòng)五次后位于點(diǎn) (2,3) , 所以質(zhì)點(diǎn) P 必須向右移動(dòng)兩次,向上移動(dòng)三次,故其概率為 3 1 3 1 2 3 1 5 2 1 5 ,故選 B. C 2 2 = C 2

20、 = C 2 5 5 5 答案 B 二、填空題 ( 每小題 5 分,共 10 分 ) 1 3.(2013 湘潭二模

21、 ) 如果 X~B(20 , p) ,當(dāng) p= 2且 P( X= k) 取得最大值時(shí), k=________. 解析 當(dāng) 1 = k 1 k 1 20 -k k 1 20 ,顯然當(dāng) k = 10 時(shí), ( = ) 取得 = 時(shí), ( ) = C20 = C20 p 2 P X k 2 2 2 P X k

22、 最大值. 答案 10 4.(2013 九江一模 ) 將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的 4 入口處,小 1 球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^(guò)程中,將 3 次遇到黑色障礙物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左、右兩邊下落的概率都是 1 2,則小 球落入 A 袋中的概率為 ________. 解析 記“小球落入 A 袋中”為事件 A,“小球落入 B 袋中”為事件 B,則事件 A 的對(duì)立 事件為 ,

23、若小球落入 B 袋中,則小球必須一直向左落下或一直向右落下,故 ( ) = 1 B P B 2 3 1 3 1 1 3 + 2 = 4,從而 P( A) = 1- P( B) = 1- 4=4. 答案  3 4 三、解答題 ( 共 25 分) 5.(12 分)(2012 湖南 ) 某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī) 收集了在該超市購(gòu)物的 100 位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.

24、 一次購(gòu)物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 13 至 16 17 件及 件 件 以上 顧客數(shù) ( 人 ) x 30 25 y 10 結(jié)算時(shí)間 ( 分鐘 / 人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這 100 位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò) 8 件的顧客占 55 %. (1) 確定 x, y 的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間 X的分布列與數(shù)學(xué)期望; (2) 若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有 2 位顧客需結(jié)算, 且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立, 求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)

25、間不超過(guò) 2.5 分鐘的概率. ( 注:將頻率視為概率 ) 解 (1) 由已知得 25+ y+10= 55,x+ 30= 45,所以 x=15,y= 20. 該超市所有顧客一次 購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所收集的 100 位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的 一個(gè)容量為 100 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,將頻率視為概率得 15 3 30 3 25 1 20 1 P( X= 1) = 100=20,P( X= 1.5) = 100=10,P( X= 2) = 100= 4,P( X= 2.5) = 100= 5,P( X 10 1 = 3) =100= 10.

26、 X 的分布列為 X 1 1.5 2 2.5 3 P 3 3 1 1 1 20 10 4 5 10 X 的數(shù)學(xué)期望為 3 3 1 1 1 E( X) =1 20+1.5 10+2 4+2.5 5+3 10= 1.9. 5 (2) 記 A 為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò) 2.5 分鐘”, Xi ( i = 1,2) 為該顧客前面 第 i 位顧客的結(jié)算時(shí)間,則 P( A) =P( X1= 1 且 X2= 1) + P( X1= 1 且 X2= 1.5) + P

27、( X1= 1.5 且 X2=1) . 由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,且 X1, X2 的分布列都與 X的分布列相同,所以 P( A) =P( X1=1) P( X2= 1) +P( X1=1) P( X2= 1.5) + P( X1=1.5) P( X2= 1) = 3 3 + 3 3 + 3 3 = 9 . 20 20 20 10 10 20 80 9 故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò) 2.5 分鐘的概率為 80. 6. (13 分)(2012 山東 ) 現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為 3

28、 ,命 4 2 中得 1 分,沒(méi)有命中得 0 分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為 3,每命中一次得 2 分,沒(méi)有命中得 0 分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立. 假設(shè)該射手完成以上三次射擊. (1) 求該射手恰好命中一次的概率; (2) 求該射手的總得分 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E( X) . 解 (1) 記:“該射手恰好命中一次”為事件 A,“該射手射擊甲靶命中”為事件 B,“該 射手第一次射擊乙靶命中”為事件 C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件 D. 3 2 由題意,知

29、P( B) = 4, P( C) = P( D) =3, - - - - - - 由于 A= B C D+ B CD+ B CD, 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性,得 ( ) = ( - -+- - + - - ) P A P BC D B CD B CD - - + P( - - - - = P( BC D) B CD) + P( B CD) =

30、P( B) P( - - - - - - P( D) C) P( D ) + P( B ) P( C) P( D) + P( B ) P( C) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 = 4 1- 3 1- 3 + 1-4 3 1-3 + 1- 4 1-3 3 7 = 36. (2) 根據(jù)題意,知 X 的所有可能取值為 0,1,2,3,4,5. 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性,得 - - - P( X= 0) = P( B C D) = [1 - ( )][1

31、- ( )][1 - ( )] P B P C P D 3 2 2 1 = 1- 4 1- 3 1- 3 =36; 6 - - - - P( X= 1) = P( B C D) = P( B) P( C) P( D) 3 2 2 1 = 4 1- 3 1- 3 = 12; - - - - - - - - P( X= 2) = P( B CD+ B C D) = P( B CD) + P( B CD) 3 2 2 3 2 2 1 =

32、1- 1- + 1- 1- = ; 4 3 3 4 3 3 9 - - - - P( X= 3) = P( BCD + B CD) = P( BCD) +P( B CD) 3 2 2 3 2 2 1 = 4 3 1- 3 +4 1- 3 3= 3; - 3 2 2 1 P( X= 4) = P( B CD) = 1- 4 3 3= 9, ( = 5) = ( ) = 3 22= 1. P X P BCD 4 3

33、3 3 故 X 的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 1 1 1 1 1 1 36 12 9 3 9 3 1 1 1 1 1 1 41 所以 E( X) =0 36+1 12+2 9+3 3+4 9+5 3=12. 特別提醒: 教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考 總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容 . 7

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