倒數第7天數列、不等式、推理與證明

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1、 數列、不等式、推理與證明 [知識排查 ] 1．等差數列中的重要性 ，若 m＋n＝p＋q， am＋ an＝ap＋aq；等比數列中的 重要性 ：若 m＋ n＝ p＋ q， aman＝apaq. 2．已知數列的前 n 和 Sn 求 an ，易忽 n＝ 1 的情況，直接用 Sn－ Sn－1 表示 S1， n＝ 1， an； 注意 an，Sn 的關系中是分段的，即 an＝ Sn－ Sn－1，n≥2. 3．易忽 等比數列的性 ， 致增解、漏解 象，如忽 等比數列的奇數 或 偶數 符號相同而造成增解；在等比數列求和 中忽 公比

2、 1 的情況 a1（1－qn） a1－ anq 致漏解，在等比數列中， Sn＝1－q ＝ 1－q ， q≠ 1， na1，q＝1. 4．數列求通 有幾種常用方法？數列求和有幾種常用的方法？ 5．用基本不等式求最 (或 域 ) ，易忽略 “一正二定三相等” 一條件． 6．兩個不等式相乘 ， 必 注意同向同正 才能相乘， 同 要注意“同號可倒”， 1 1 即 a>b>0? ab.11 7．在解含參數的不等式 ，怎 行 ？ (特 是指數和 數的底數 ) 完 之后，要寫出： 上所述，原不等式的解是??

3、 . 1 1 1 1 1 1 1 8．常用放 技巧： n－ ＋ ＝ （ ＋ ）

4、最 生 ． 注意 恒成立與存在性 的區(qū) ，如 ?x∈[a，b]，都有 f(x)≤g(x)成立，即 f(x) － g(x)≤0 的恒成立 ，但 ?x∈[a，b] ，使 f(x)≤ g(x)成立， 存在性 ，即 f(x)min ≤g(x)max， 特 注意兩函數中的最大 與最小 的關系． [保溫特訓 ] （時間： 45 分鐘） 1． 0

5、 b C．a< ab

6、8 C．22 D．44 11（a1＋ a11） 解析 S8－ 3＝ 4＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＝ 6＝ ，∴ 6＝ ，∴ 11＝ ＝ S a a a a a 5a 10 a 2 S 2 11a6＝ 22. 答案 C ( )． 3．在等比數列 {a } 中， a ＝6，前 3 項和 S ＝18，則公比 q 的值為 n 3

7、 3 A ．1 B．－ 1 1 2 1 C．1，或－ 2 D．－ 1，或－ 2 解析 依題意知： S3 ＝a1＋a2＋ a3 6 6 ，即 2＋ － ＝ ，解得 q ＝ 2＋ ＋ ＝ q q 6 18 2q q 1 0 1 ＝1，或 q＝－ 2.

8、 答案 C x≥－ 1， 4．若變量 x，y 滿足約束條件 y≥x， 則 z＝ 2x＋y 的最大值為 ( )． 3x＋ 2y≤5， A ．1 B．2 C．3 D．4 解析 作出滿足約束條件的可行域如圖所示． 將目標函數 z＝ 2x＋y 化為 y＝－ 2x＋z，平移直線 y＝－ 2x，經過點 A 時， z 取得最大． y＝x， 得 A(1，1)． 由

9、 3x＋ 2y＝5， ∴zmax＝21＋1＝3. 答案 C ，則 S ＝ ( )． 5．已知數列 {a } 的前 n 項和為 S ，a ＝1，S ＝2a n n 1 n n＋ 1 n － 3 n－ 1 2 n－ 1 1 A ．2n

10、 1 B. 2 C. 3 D. 2n－1 解析 Sn＝ n＋1＝ n＋1－ n ，整理得 n＋1 ＝ n＋1 ＝3，又 a1 ＝ 1＝ 2a n，即 S 2(SS ) 2S 3S Sn 2 S 3 1 1 3 2 3 4

11、 3 2 3， a3＝ S ＝ 2a 2a2，解得 a2＝ ， ＝a1＋a2＝ 1＋ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，所以 2 S 2 2a 4 S 2a 1 2 1 2 2 Sn＝ 3 n－ 1 2 . 答案 B 6．設等差數列 { a } 的前 n 項和為 S ，若

12、S ＝ 9，S ＝36，則 a ＋ a ＋a ＝ ( )． n n 3 6 7 8 9 A ．63 B．45 C．36 D． 27 S ＝3a ＋ 3d＝9， 3 1 解析 設公差為 d，則 65 1 7 8 解得 a ＝1，d＝2，則 a ＋ a S6＝6a1＋ 2 d＝36， ＋a9＝ 3a8＝ 3(a1＋7d)＝45.

13、 答案 B 2 1 m 恒成立，則 m 的最大值為 ( )． 7．已知 a>0， b>0，若不等式 a＋b≥ ＋ 2a b A ．10 B．9 C．8 D． 7 2 1 2b 2a 2b 2a 解析 ∵a>0，b>0，∴2a＋b>0，∴m≤ a＋ b (2a＋b)＝5＋ a ＋ b ，而 a ＋ b ≥ 4(當且僅當 a＝ b 時取等號 )，∴m≤ 9. 答案 B 8．設等

14、比數列 {an} 的前 n 項和為 Sn，若 8a2＋a5 ＝0，則下列式子中數值不能確 定的是 an＋ 1 Sn＋1 ( )． 5 5 a S C. an D. Sn A.a3 B.S3 a5 S5 解析 由 8a2＋ 5＝ ，得 2＋ 2 3＝ ，∵ 2≠ ，∴ ＝－ ，∴ ＝ 2＝ ； ＝

15、 a 0 8a a q 0 a 0 q 2 a3 q 4 S3 5 n＋1 n＋1 n＋1 1－q 11 1－ q a S 1－q3＝ 3 ； an ＝ q＝－ 2； Sn ＝ 1－qn ，其值與 n 有關． 答案 D x＋2y－ 3≤ 0， 9．已知變量 x，

16、y 滿足條件 x＋3y－ 3≥ 0，若目標函數 ＝ ＋ y( 其中 ＞ 僅在 z ax a 0) y－1≤0， 點 (3，0)處取得最大值，則 a 的取值范圍是 ( )． A. －∞，－ 1 B. －1，0 2 2 1 1 C. 0， 2

17、 D. 2，＋∞ 解析 畫出 x，y 滿足條件的可行域如圖所 示，要使目標函數 z＝ax＋ y 僅在點 (3，0) 處取得最大值，則直線 y＝－ ax＋z 的斜率 應小于直線 x＋2y－3＝0 的斜率，即－ a＜ 1 1 －2，∴a＞2.答案 D 10．將正整數排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ?? 數表中的數字 2 014 出 在 A ．第 44 行第 7

18、8 列 B．第 C．第 44 行第 77 列 D．第 解析 第 n 行有 2n－ 1 個數字，前  45 行第 78 列 45 行第 77 列 n 行的數字個數  ( )． 1＋3＋5＋?＋ (2n－ 1) 2 2 2 ＝n ，∵44 ＝1 936，45 ＝2 025，且 1 936<2 014，2 025>2 014，∴2 014 在第 ∴2 014 在第 89－ 11＝78 列． 答案 B 11．已知等差數列 {an} 的公差 d≠0，它的第 1， 5， 17 次成等比

19、數列， 個等比數列的公比是 ________． 解析 2 2 5 5 2 依 意知 a5 ＝ 117，即 5 5 ＝0，∵d a a a ＝(a －4d) (a ＋12d)，∴8a d－48d 5 a5 a5 6d ≠0，∴a ＝6d，∴q＝ ＝ ＝ ＝3. a1 a5－ 4d 6d－4d 答案 3

20、 x＋ y≥ 2， ．若 數 x ， y 足不等式 2x－y≤4， 2x＋3y 的最小 是 ________． 12 x－ y≥ 0， 解析 如 所示，當直 2x＋3y＝0 平行移 點 A(2，0) ， 2x＋3y 取得最小 ， 最小 2 2＋ 3 0＝4. 答案 4 13． 察下列等式： 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋ 10＝49

21、 ?? 照此 律，第 n 個等式 ________． 答案 n＋(n＋1)＋ (n＋2)＋?＋ (3n－2)＝ (2n－ 1)2 1 2 ＋ bln(x＋ 2)在( －1 ，＋∞ )上是減函數， b 的取 范 是 14．若 f(x) ＝－ 2x ________． 解析 依 意知： f′(x)＝－ x＋ b ≤0，在 (－1，＋ ∞ )上恒成立，即 b≤x2＋ x＋2 2x，令 g(x)＝ x2 ＋2x，在 (－ 1，＋ ∞)上 g(x)>－1

22、，所以 b≤－ 1. 答案 (－∞，－ 1] 15．數列 {an} 的前 n 和 Sn ，a1＝ t，點 (Sn， an＋1)在直 y＝2x＋1 上， n∈ N* . (1)當 數 t 何 ，數列 { an} 是等比數列？ 1 (2)在(1)的 下， bn＝log3an＋ 1， Tn 是數列 bn bn ＋1 的前 n 和，求 T2 013 的 ． 解 (1)由 意得 an＋ 1＝ 2Sn＋ 1， an＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減得 an＋ 1－an＝ 2a ，即 a ＝3a (n≥ 2)，所以當 n≥2

23、，數列 {a } 是等比數列，要使 n≥1 n n＋ 1 n n ，數列 { an} 是等比數列，只需 2 a ＝2t＋ 1＝ 3，從而 t＝1. a t 1 n n－ 1，bn＝ 3 n＋ 1＝ n. (2)由(1)得： a ＝3 log a 1

24、 1 1 1 n n＋ 1＝ ＝n－ n＋1 b b n（n＋1） 1 1 1 1 1 1 T2 013 ＝ 1 2 ＋ 23 ＋ ? ＋ 2 013 2 014 ＝ 1－ 2 ＋ 2－3 ＋ ? ＋ b b b b b b 1 1 1 1 1 2 013 2 012－ 2 013 ＋ 2 013－2 014 ＝1－2 014＝2 014.