廣東廣州高三年級1月調(diào)研測試--數(shù)學(xué)(文)

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1、 廣東廣州 2019 年高三年級 1 月調(diào)研測試 -- 數(shù)學(xué)（文） 數(shù) 學(xué)〔文〕 總分值： 150 分、時間： 120 分鐘、 本卷須知 1. 答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、 座位號填寫在答題卡上 . 用 2B 鉛筆將試卷類型〔 A〕填涂在答題卡相應(yīng)位置上 . 2、選擇題每題選出答案后， 用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上 . 3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答

2、 題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上； 如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液 . 不按以上要求作答的答案無效 . 4、作答選做題時，請先用 2B 鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點，再作答 . 漏涂、錯涂、多涂的，答案無效 . 5、考生必須保持答題卡的整潔 . 考試結(jié)束后， 將試卷和答題卡一并交回. 一、選擇題：本大題共 10 小題，每題 5 分，總分值 50 分、在每題給 出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的 . 1、復(fù)數(shù) 1 i 〔i 為虛數(shù)單位〕的模等于〔 〕 A、 2

3、B 、1 C 、 2 D 、 1 2 2 2、集合 A { 0,1,2,3,4} ，集合 B { x | x 2n, n A} ，那么 A B 〔 〕 A、{ 0} B 、{ 0,4} C 、{ 2,4} D 、{ 0,2,4} 3、函數(shù) log , 0 , 那么 1 的值是〔 〕 f x 2 x x f f

4、 3x , x 0 4 A、9 B 、1 C 、 9 D 、 1 9 9 4、等差數(shù)列 { an } 的前 n 項和為 Sn ，假設(shè) a a 4 a 5 12 ，那么 S7 的 3 值為〔 〕

5、 A、 56 B 、 42 C 、 28 D 、14 5、e 為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù) y x e x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 A . 1, B 、 , 1 C 、 1, D 、 , 1 確的是〔〕 A、 若 m // n, m // , 則 n // B、 若 , , 則 // C、 若 m // , n // , 則 m /

6、/ n D、 若 m , n // , 則 m n 7、如圖 1，程序結(jié)束輸出 s的值是〔〕 A、 30 B、 55 C、 91D、140 8、函數(shù) f x 1 cos 2x cos2 x ， x R，那么 f x 是〔〕 A、最小正周期為 的奇函數(shù) B、最小正周期為 的奇函數(shù) 2 C、最小正周期為 的偶函數(shù) D、最小正周期為 的偶函數(shù) 2 9 、在 區(qū) 間 1, 5 和 2, 4 分 別取 一 個數(shù) , 記為 a, b , 那么方 程 x2 y 2 1 表示

7、焦點在 x 軸上且離心率小于 3 的橢圓的概率為〔〕 a2 b2 2 A、 1 B、 15 C、 17 D、 31 2 32 32 32 10、在 R 上定義運算 : x y x(1 y). 假設(shè)對任意 x 2 ，不等式 x a x a 2 都成立，那么實數(shù) a 的取值范圍是〔〕 A. 1, 7 B. , 3 C. , 7 D. , 1 7, 二、填空題：本大題共 5 小題，考生作答 4 小題，每題 5 分，總

8、分值 20 分. 〔一〕必做題〔 11～13 題〕 11、 f x 是奇函數(shù) , g xf x4 , g 1 2 , 那么 f 1 的值是 . 12、向量 a ， b 基本上單位向量，且 a b 1 ，那么 2a b 的值為 . 2 13、設(shè) f1 ( x) cos x ，定義 f n 1 ( x) 為 f n ( x) 的導(dǎo)數(shù)，即 f n 1 ( x) f n ( x) ， N ， n * 假設(shè) ABC 的內(nèi)角 A 滿足 f1( A) f 2( A) f2013( A) 0 ，那么

9、 sin A 的 值是 . 〔二〕選做題〔 14～15 題，考生只能從中選做一題〕 14. 〔幾何證明選講選做題〕 如圖 2， AB 是⊙ O 的一條弦，點 P 為 AB 上一點， PC OP ，PC 交⊙ O 于 C ，假設(shè) AP 4 ， PB 2，那么 PC 的長是 . C 15、〔坐標系與參數(shù)方程選講選做題〕 A 圓 C 的參數(shù)方程為 x cos , ( 為參數(shù) ), 以原點為極點 , x 軸的正 y sin , 2 

10、 B P O 圖 2 半軸為極軸建立極坐標系， 直線 l 的極坐標方程為 sin cos 1 , 那么直線 l 截圓 C 所得的弦長是 . 【三】解答題：本大題共 6

11、 小題，總分值 80 分、解承諾寫出文字說 明、證明過程或演算步驟 . 16、〔本小題總分值 12 分〕函數(shù) . f ( x) sin xsin x 2 〔1〕求函數(shù) y f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間； 〔2〕假設(shè) ) 2 ，求 的值 . f( f (2 ) 4 3 4 17、〔本小題總分值 12 分〕某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個班級各選出 7 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儭部偡种?100 分〕的莖葉圖 如圖 3，其中甲班學(xué)生的平均分

12、是 85，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是 83. 〔 1〕求 x 和 y 的值； 〔 2〕計算甲班 7 位學(xué)生成績的方差 s2 ； 〔 3〕從成績在 90 分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生， 求甲班至少有 一名學(xué)生的概率 . 參 考 公 式 ： 方 差 1 2 2 2 ， 其 中 s2 x1 x x2 x xn x n x xx .

13、 甲 乙 x 1 2 n n 8 9 7 6 18、( 本小題總分值 14 分) 四棱錐 P ABCD 的正視圖是一個底邊5長x為0 8 1 1 y 4 、腰長為 3的等腰三角形，圖 4、圖 5 分別是四棱錐 P 6 2 9 1 1 6 ABCD 的側(cè) 視圖和俯視圖 .

14、 圖3 〔1〕求證： AD PC ； 〔2〕求四棱錐 P ABCD 的側(cè)面 PAB 的面積 . 19、〔本小題總分值 14 分〕數(shù)列 { an } 的前 n 項和為 Sn ，數(shù)列 { Sn 1} 是 公比為 2 的等比數(shù)列， a2 是 a1 和 a3 的等比中項 . 〔 1〕求數(shù)列 { an } 的通項公式； 〔 2〕求數(shù)列 nan 的前 n 項和 Tn . 20.〔本小題總分值 14

15、分〕 f x 是二次函數(shù)，不等式 f x 0 的解集 是 0, 5 ，且 f x 在點 1, f 1 處的切線與直線 6x y 1 0平行 . 〔1〕求 f x 的解析式； 〔2〕是否存在 t N* ，使得方程 37 在區(qū)間 t, t 1 內(nèi)有兩 f x 0 x 個不等的實數(shù) 根？假設(shè)存在，求出 t 的值；假設(shè)不存在，說明理由 . 21.〔本小題總分值 14 分〕橢圓 : x 2 y 2 的右焦點與拋物 C1 2 2

16、 1 a b 0 a b 線 C2 : y2 4x 的焦點 F 重合 , 橢圓 C1 與拋物線 C 2 在第一象限的交點為 P , 5 . PF 3 (1) 求橢圓 C1 的方程； (2) 假設(shè)過點 A 1, 0 的直線與橢圓 C1 相交于 M 、 N 兩點，求使 FM FN FR成立的動點 R 的軌跡方程； (3) 假設(shè)點 R 滿足條件〔 2〕，點 T 是圓 2 2 上的動點，求 x 1y 1 RT 的最大值 . 參考答案

17、 明： 1、參考答案與 分 準指出了每道 要考 的要 知 和能力，并 出了一種或幾種解法供參考， 假如考生的解法與參考答案不同， 可 依照 要 考 的知 點和能力比照 分 準 以相 的分數(shù)、 2、 解答 中的 算 ，當考生的解答在某一步出 ，假如 后 部分的解答未改 的內(nèi)容和 度， 可 妨礙的程度決定后 部分的得分，但所 分數(shù)不得超 部分正確解承 得分數(shù)的一半； 假如后 部分的解答有 峻的 ，就不再 分、 2018-1-10 3、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到

18、一步 得的累加分數(shù)、 4、只 整數(shù)分數(shù)， 和填空 不 中 分、 【一】 號  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 答案  A  D  B  C  A  D  C  C  B  C 【二】填空 11、 2 12. 3 13. 114. 2 2 15.

19、 2 【三】解答 16、( 本小 要 考 三角函數(shù)性 、同角三角函數(shù)的差不多關(guān)系、 二倍角公式等知 , 考 化 與 化的數(shù)學(xué)思想方法和運算求解能 力 ) （1）解： f( x) sin x sin x 2 cos x sin x ????? 1 分 2 2 2 sin xcos x 2 2 . ????? 3 分 2 sin x 4 由 ????? 4 分 2k x 4 2k , 2 2 解得 3 2k , k 2kx

20、 4 4  Z. ????? 5 分 ∴ y f ( x) 的 增區(qū) 是 3 Z. ???? 6 [ 2k ,2k ], k 4 4 分 〔2〕解：由〔 1〕可知 2 sin( x ， f (x) ) 4 ∴ ) 2 ，得 1 . ????? 8 分 f ( 2 sin sin 3 4 3 ∴ ????? 9 分 f (2 ) 2 sin 2

21、 4 2 2 cos 2 ????? 10 分 2 1 2 sin 2 ????? 11 分 7 2 9  . ????? 12 分 17、( 本小 要 考 莖葉 、 本均 、 本方差、概率等知 , 考 或然與必定的數(shù)學(xué)思想方法， 以及數(shù)據(jù) 理能力、 運算求解能力 和 用意 ) 〔1〕解：∵甲班學(xué)生的平均分是 85， ∴ 92 96 80 80 x 85 79 78 85  . ????? 1 分 7 ∴ x 5 . ???

22、?? 2 分∵乙班學(xué)生成 的中位數(shù)是 83， ∴ y 3 . ????? 3 分 〔2〕解：甲班 7 位學(xué)生成 的方差 2 2 2 2 40 . ?? 5 分 s 1 6 7 5 02 02 72 112 7 〔 3 〕 解 ：甲 班成 績 在 90 分 以上 的 學(xué)生 有兩名 ，分 別記為 A, B ????? 6 分 乙班成 在 90 分以上的學(xué)生有三名， 分 C , D , E ????? 7 分 從 五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有 10 種情況：

23、 A, B , A,C , A, D , A, E , B, C , B, D , B, E , C, D , C, E , D, E . ????? 9 分 其中甲班至少有一名學(xué)生共有 7 種情況： A, B , A, C , A, D , A, E , B,C , B, D , B, E . ????? 11 分 “從成 在 90 分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，甲班至少有一 名學(xué)生” 事 件 M ，那么 7 . P M 10 答：從成 在 90 分以上的學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，甲校至少有一 名學(xué)生的概率 7 .

24、????? 12 分 10 18、〔本小 要 考 空 面位置關(guān)系、三 、幾何體的 面 等知 ，考 數(shù)形 合、化 與 化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空 想象 能力、推理 能力和運算求解能力〕 〔1〕 明：依 意，可知點 P 在平面 ABCD 上的正射影是 段 CD 的 中點 E ， 接 PE ， 那么 PE 平面 ABCD . ????? 2 分 ∵ ∴ ∵  AD 平面 ABCD ， AD PE . ????? 3 分 AD CD ， CD

25、 PE E, CD 平面 PCD ， PE 平面 PCD ， ∴ AD 平面 PCD . ????? 5 分 ∵ PC 平面 PCD ， ∴ AD PC . ????? 6 分 〔2〕解：依 意，在等腰三角形 PCD 中，PC PD 3 ，DEEC 2 ， 在 Rt△ PED 中， PEPD 2 DE 2 5 ，????? 7 分 P 過 E 作 EF AB ，垂足 F ， 接 PF ， ∵ PE 平面 ABCD ， AB 平面 ABCD ， ∴ AB PE .

26、 ????? 8 分 ∵ EF 平面 PEF ， PE 平面 PEF ， EF PE E ， ∴ AB 平面 PEF . ????? 9 分 ∵ PF 平面 PEF ， ∴ AB PF . ????? 10 分  D C E A F B 依 意得 EF AD 2 . ????? 11 分 在 Rt△ PEF 中， PF PE 2 EF 2 3 ，????? 12 分 ∴△ PAB的面 1 AB PF . S 6 2 ∴四棱 P ABCD 的 面 PA

27、B 的面 6 . ????? 14 分 19、( 本小 要 考 數(shù)列、數(shù)列求和等知 , 考 化 與 化、分 與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理 能力、運算求 解能力和 新意 ) 〔1〕解：∵ { Sn 1} 是公比 2 的等比數(shù)列， ∴ S 1 (S 1) 2n 1 ( a 1) 2n 1 . ????? 1 分 n 1 1 ∴ S (a 1 1) 2n 1 1. n 從而

28、 a2 S2 S1 a1 1， a3 S3 S2 2a1 2 . ????? 3 分 ∵ a2 是 a1 和 a3 的等比中 ∴ ( a1 1) 2 a1 (2a1 2) ，解得 a1 1或 a1 1 . ????? 4 分 當 a1 1 ， S1 1 0 ，{ Sn 1} 不是等比數(shù)列????? 5 分 ∴ a1 1. ∴ Sn 2n 1 . ????? 6 分 當 n 2 ， an Sn Sn 1 2n 1 . ????? 7 分 ∵ a1 1 符

29、合 an 2n 1 ， ∴ an 2n 1 . ????? 8 分 〔2〕解：∵ na n 2n 1 ， n ∴ T 1 1 2 21 3 22 n 2n 1 . ①????? 9 分 n 2 T 1 21 2 22 3 23 n 2n . ②????? 10 分 n ① ②得 T 1 2 22 2n 1 n 2n ????? 11 分

30、 n 1 2 n ????? 12 分 n 2n 1 2 1 n 2n 1. ????? 13 分 ∴ T n 1 2n 1 . ????? 14 分 n 20. 〔本小 分 14 分〕 ( 本小 要 考 二次函數(shù)、 函數(shù)的性 、方程的根等知 , 考 函數(shù) 與方程、分 與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理 能

31、力、運算求解能力和 用意 ) 〔1〕解法 1：∵ f x 是二次函數(shù)，不等式 f x 0 的解集是 0, 5 ， ∴可 f x ax x 5 ， a 0 . ????? 1 分 ∴ f / ( x) 2ax 5a ????? 2 分 ∵函數(shù) f x 在點 1, f 1 的切 與直 6x y 1 0 平行， ∴ f / 1 6 . ????? 3 分

32、 ∴ 2a 5a 6 ，解得 a 2 . ????? 4 分 ∴ f x 2x x 5 2x2 10 x ????? 5 分 解法 2： f x ax2 bx c ， ∵不等式 f x 0 的解集是 0, 5 ， ∴方程 ax2 bx c 0 的兩根 0, 5 . ∴ c 0, 25a 5b 0 . ①????? 2 分 ∵ f

33、 / ( x) 2ax b . 又函數(shù) f x 在點 1, f 1 的切 與直 6x y 1 0 平行， ∴ f / 1 6 . ∴ 2a b 6. ②????? 3 分 由①② , 解得 a 2 , b 10 . ????? 4 分 ∴ f x 2x2 10x . ????? 5 分 〔2〕解：由〔1〕知，方程 f 3

34、7 等價于方程 2x3 10 x2 37 0 . x 0 x ????? 6 分 設(shè) h x 2x3 10x2 37 ， 那么 h/ x 6x2 20x 2x 3x 10 . ????? 7 分 當 10 ， h/ x 0 ，函數(shù) h x 在 , 10 上 減；??? x 0, 0 3 3 8 分 當 10 ， h/ x 0 ，函數(shù) h x

35、 在 10 , x , 3 3  上 增 . ?9 分 ∵  h 31 0, h 10 1 ????? 12 分 0, h 45 0 3 27 ∴方程 h x0 在區(qū) , 10 ， 10 , 4 內(nèi)分 有唯一 數(shù)根，在區(qū) 3 3 3 0, 3 , 4, 內(nèi)沒有 數(shù)根 . ????? 13 分

36、 ∴存在唯一的自然數(shù) t 3 ，使得方程 f 37 在區(qū) t, t 1 內(nèi) x 0 x 有且只有兩個不等的 數(shù)根????? 14 分 21.( 本小 要 考 求曲 的 跡方程、 直 、 、拋物 等知 , 考 數(shù)形 合、化 與 化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理 能力、運算求解能力和 新意 ) (1) 解法 1：拋物 C2 : y2 4x 的焦點 F 的坐 1,0 ，準 x 1

37、 ， 點 P 的坐 x , y ，依據(jù)拋物 的定 ，由 5 ，得 1 x0 5 ， 0 0 PF 3 3 解得 2 . x0 3 ????? 1 分 ∵點 P 在拋物 C2 上，且在第一象限， ∴ 2 4x0 2 ，解得 2 6 . y0 4 y0 3 3 ∴點 P 的坐 . ????? 2 分 2 , 2 6 3 3 ∵點 P 在 x2

38、 y2 上，∴ 4 8 1 C1 : a2 b2 1 9a2 3b2  . ????? 3 分 又 c 1 ，且 a2 b2 c2 b2 1 ，???? 4 分 解得 a2 4, b2 3 . ∴ C1 的方程 x2 y2 4 1 3  . ????? 5 分 解法 2: 拋物 C2 : y2 4x 的焦點 F 的坐 1,0 ， 點 P 的坐 x , y , x00, y00 . 0 0

39、 ∵ 5 , PF 3 ∴ 1 2 2 25 x y 0 0 9  . ①????? 1 分 ∵點 P 在拋物 C2 : y2 4x 上, ∴ y02 4x0 . ② 解①②得 2 , 2 6 . x0 y0 3 3 ∴點 P 的坐 . ????? 2 分 2 , 2 6 3 3 ∵點 P 在 x2 y2 上，∴ 4 8 1 C1 : a2

40、 b2 1 9a2 3b2  . ????? 3 分 又 c 1 ，且 a2 b2 c2 b2 1 ，????? 4 分 解得 a2 4, b2 3 . ∴ C1 的方程 x2 y2 4 1 3  . ????? 5 分 (2) 解法 1： 點 M x , y 、 N x , y 2 、 R x, y ， 1 1 2 那么 FM x1 1, y1 , FN x2 1, y2

41、 , FR x 1, y . ∴ FM FN x1 x2 2, y1 y2 . ∵ FM FN FR , ∴ x1 x2 2 x 1, y1 y2 y . ①????? 6 分 ∵ M 、 N 在 C1 上，∴ x12 y12 x22 y22 1. 4 3 1, 3 4 上面兩式相減得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 . ②

42、 4 3 把①式代入②式得 x 1 x1 x2 y y1 y2 0 . 4 3 當 x1 x2 ，得 y1 y2 3 x 1 . ③????? 7 分 x1 x2 4 y 設(shè) FR 的中點 Q ，那么 Q 的坐 x 1 , y .

43、 2 2 ∵ M 、 N 、 Q 、 A 四點共 ， ∴ kMN kAQ , 即 y y1 y2 2 y x1 x2 x 1 1 x 3 2  . ④????? 8 分 把④式代入③式，得 y 3 x 1 ， x 3 4 y 化 得 4 y2 3 x2 4x 3 0 . ????? 9 分 當 x1 x2 ，可得點 R 的坐 3,0 ，

44、 ，點 R 3,0 在曲 4y2 3 x2 4x 3 0 上. ∴ 點 R 的 跡方程 4y2 3 x2 4x 3 0 . ????? 10 分 解法 2：當直 MN 的斜率存在 ， 直 MN 的方程 y k x 1 ， 由 y k x 1 , 消去 y ，得 3 4k 2 x 2 8k 2 x 4k 2 12 0 . x2 y 2 1,

45、 4 3 點 M x1 , y1 、 N x2 , y2 、 R x, y ， 那么 x2 8k 2 , x1 3 4k2

46、 y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2 6k . ?6 分 3 4k2 ∵ FM x1 1, y1 , FN x2 1, y2 , FR x 1, y . ∴ FM FN x x 2, y y . 1

47、 2 1 2 ∵ FM FN FR , ∴ x1 x2 2 x 1, y1 y2 y . ∴ 1 x1 x2 8k 2 , ① x 4k 2 3 y 6k 4k 2 3  . ②????? 7 分 ① ②得 3 x 1 ，③????? 8 分 k 4 y 把③代入②化 得 4 y2 3 x2 4x 3 0 .(*) ????? 9

48、分 當直 MN 的斜率不存在 ， 直 MN 的方程 x 1, 依 意 , 可得點 R 的坐 3,0 ， ，點 R 3,0 在曲 4y2 3 x2 4x 3 0 上. ∴ 點 R 的 跡方程 4y 2 3 x 2 4x 3 0 . ????? 10 分 (3) 解: 由(2) 知點 R x, y 的坐 足 4 y2 3 x2 4x 3 0 , 即 4 y2 3 x2 4x 3 ,

49、 由 y2 0 , 得 3 x2 4x 3 0 , 解得 3 x 1 . ????? 11 分 ∵ 2 2 的 心 F 1, 0 , 半徑 r 1 , x 1 y 1 ∴ x 2 y 2 2 3 2 RF 1 x 1 x 4x 3

50、 4 1 10 2 105 . ????? 12 分 x 2 ∴當 x 3 時, RF max 4 , ????? 13 分 如今 , RT max 4 1 5 . ????? 14 分