疲勞與斷裂力學(xué)第5章線彈性斷裂力學(xué)基礎(chǔ)

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1、 強(qiáng) 度 材 料 抵 抗 破 壞 的 能 力斷 裂 力 學(xué) 研 究 材 料 內(nèi) 部 存 在 裂 紋 情 況 下 強(qiáng) 度 問 題 的 科 學(xué) 。 研 究 帶 有 裂 紋 的 連 續(xù) 介 質(zhì) 體 中 裂 紋 如 何 擴(kuò) 展 ， 在什 么 條 件 下 擴(kuò) 展 ， 從 中 提 煉 出 一 些 新 的 強(qiáng) 度 和 韌 度 指標(biāo) 。 為 解 決 存 在 裂 紋 零 部 件 的 安 全 和 壽 命 問 題 提 供 新的 方 法 和 依 據(jù) 。 一 、 斷 裂 力 學(xué) 的 基 本 概 念 斷 裂 力 學(xué) 和 材 料 力 學(xué) 、 彈 塑 性 力 學(xué) 的 相 同 點(diǎn) ： 都 是 宏 觀 的 強(qiáng) 度 理 論 ， 都

2、 研 究 材 料 的 受 力 、 變 形 和 斷裂 。斷 裂 力 學(xué) 和 材 料 力 學(xué) 、 彈 塑 性 力 學(xué) 的 不 同 點(diǎn) ： 材 料 力 學(xué) 、 彈 塑 性 力 學(xué) 的 基 本 假 設(shè) 是 材 料 均 勻 、 連 續(xù) ；而 斷 裂 力 學(xué) 則 假 定 材 料 內(nèi) 部 存 在 著 一 條 或 幾 條 裂 紋 。 斷 裂 力 學(xué) 就 是 裂 紋 體 力 學(xué) 裂 紋 是 斷 裂 力 學(xué) 從 實(shí) 際 材 料 中 存 在 的 各 種 缺 陷 （ 如 氣孔 、 夾 雜 、 疏 松 、 縮 孔 、 白 點(diǎn) 、 應(yīng) 力 腐 蝕 引 起 的 蝕 坑 、 交變 荷 載 下 產(chǎn) 生 的 疲 勞 源 ） 中

3、抽 象 出 來 的 力 學(xué) 模 型 。 斷 裂 力 學(xué) 中 定 義 的 裂 紋 的 最 大 特 點(diǎn) 是 裂 紋 尖 端 曲 率 半 徑 ， 這 種 裂 紋 又 叫 “ 尖 裂 紋 ” 。 斷 裂 力 學(xué) 假 設(shè) 存 在 于 連 續(xù) 介 質(zhì) 中 的 裂 紋 均 為 尖 裂 紋 。0二 、 裂 紋 斷 裂 力 學(xué) 中 處 理 的 裂 紋 可 分 為 二 類 ： 一 類 是 貫 穿 裂 紋 （ 平面 問 題 ） ； 一 類 是 表 面 裂 紋 和 深 埋 裂 紋 （ 空 間 問 題 ） 。三 、 裂 紋 的 分 類 無 論 哪 一 類 裂 紋 ， 依 據(jù) 外 加 應(yīng) 力 與 裂 紋 面 的 取 向

4、關(guān) 系 ，可 以 有 三 種 變 形 方 式 ： 1） 拉 開 裂 紋 這 種 變 形 叫 張 開 型 或 I型 ， 易 于 實(shí) 驗(yàn) 。 2） 滑 開 裂 紋 這 種 變 形 叫 滑 開 型 或 II型 ， 不 易 實(shí) 驗(yàn) 。 3） 撕 開 裂 紋 這 種 變 形 叫 撕 開 型 或 III型 ， 易 于 實(shí) 驗(yàn) 。 對(duì) 于 開 裂 的 一 般 情 況 可 用 三 種 型 式 的 迭 加 來 描 述 ， 這 時(shí)稱 為 復(fù) 合 型 裂 紋 。 I型 是 在 正 應(yīng) 力 作 用 下 裂 紋 張 開 而 伸 展 ， 這 是 最 危 險(xiǎn)的 受 力 狀 態(tài) 。 II、 III型 由 于 實(shí) 際 裂 紋

5、面 存 在 摩 擦 而 降 低 了 裂 尖 的應(yīng) 力 強(qiáng) 度 ， 復(fù) 合 型 裂 紋 也 只 在 裂 紋 確 實(shí) 張 開 的 條 件 下 才 有意 義 。 斷 裂 力 學(xué) 中 重 點(diǎn) 研 究 I型 裂 紋 。 裂 紋 在 應(yīng) 力 作 用 下 會(huì) 發(fā) 生 擴(kuò) 展 ， 裂 紋 的 擴(kuò) 展 有 慢 速 擴(kuò)展 和 失 穩(wěn) 擴(kuò) 展 （ 快 速 擴(kuò) 展 ） 。 慢 擴(kuò) 展 不 可 怕 ， 因 為 人 們 有時(shí) 間 觀 察 它 的 變 化 。 失 穩(wěn) 擴(kuò) 展 速 度 快 ， 導(dǎo) 致 構(gòu) 件 的 突 然 斷裂 ， 危 險(xiǎn) 很 大 ， 斷 裂 力 學(xué) 討 論 的 就 是 失 穩(wěn) 擴(kuò) 展 的 條 件 。 由 于

6、所 研 究 的 工 程 問 題 是 確 保 在 工 作 條 件 （ 靜 態(tài) ， 準(zhǔn)靜 態(tài) ） 下 ， 裂 紋 不 擴(kuò) 展 或 隨 荷 載 增 長 而 緩 慢 增 長 ， 但 不 發(fā)生 快 速 擴(kuò) 展 。 因 此 ， 斷 裂 力 學(xué) 著 重 研 究 靜 態(tài) （ 包 括 準(zhǔn) 靜 態(tài) ）問 題 。 當(dāng) 外 加 應(yīng) 力 在 彈 性 范 圍 內(nèi) ， 而 裂 紋 前 端 的 塑 性 區(qū) 很 小時(shí) ， 這 種 斷 裂 問 題 可 以 用 線 性 彈 性 力 學(xué) 處 理 ， 這 種 斷 裂 力學(xué) 叫 線 彈 性 斷 裂 力 學(xué) （ LEFM） 。 適 用 于 高 強(qiáng) 低 韌 金 屬 材 料的 平 面 應(yīng) 變

7、斷 裂 和 脆 性 材 料 如 玻 璃 、 陶 瓷 、 巖 石 、 冰 等 材料 的 斷 裂 情 況 。 四 、 斷 裂 力 學(xué) 的 處 理 方 法 對(duì) 延 性 較 大 的 金 屬 材 料 ， 其 裂 紋 前 端 的 塑 性 區(qū) 已 大 于LEFM能 夠 處 理 的 極 限 ， 這 種 斷 裂 問 題 要 用 彈 塑 性 力 學(xué) 處 理 ，這 種 斷 裂 力 學(xué) 叫 彈 塑 性 斷 裂 力 學(xué) (EPFM)。 最 后 ， 有 一 類 裂 紋 完 全 埋 在 廣 大 的 塑 性 區(qū) 中 ， 稱 為 全面 屈 服 斷 裂 ， 目 前 只 能 用 工 程 方 法 （ 實(shí) 驗(yàn) 曲 線 -經(jīng) 驗(yàn) 公 式

8、 ）處 理 。 線 彈 性 斷 裂 力 學(xué) 認(rèn) 為 ， 材 料 和 構(gòu) 件 在 斷 裂 以 前 基 本 上 處于 彈 性 范 圍 內(nèi) ， 可 以 把 物 體 視 為 帶 有 裂 紋 的 彈 性 體 。研 究 裂 紋 擴(kuò) 展 有 兩 種 觀 點(diǎn) ： 一 種 是 能 量 平 衡 的 觀 點(diǎn) ， 認(rèn) 為 裂 紋 擴(kuò) 展 的 動(dòng) 力 是 構(gòu) 件 在裂 紋 擴(kuò) 展 中 所 釋 放 出 的 彈 性 應(yīng) 變 能 ， 它 補(bǔ) 償 了 產(chǎn) 生 新 裂 紋 表面 所 消 耗 的 能 量 ， 如 Griffith理 論 ； 一 種 是 應(yīng) 力 場(chǎng) 強(qiáng) 度 的 觀 點(diǎn) ， 認(rèn) 為 裂 紋 擴(kuò) 展 的 臨 界 狀 態(tài)

9、是裂 紋 尖 端 的 應(yīng) 力 場(chǎng) 強(qiáng) 度 達(dá) 到 材 料 的 臨 界 值 ， 如 Irwin理 論 。 線 彈 性 斷 裂 力 學(xué) 的 基 本 理 論 包 括 ： Griffith理 論 ， 即 能 量 釋 放 率 理 論 ； Irwin理 論 ， 即 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 理 論 。 1913年 ， Inglis研 究 了 無 限 大 板 中 含 有 一 個(gè) 穿 透 板 厚 的 橢 圓孔 的 問 題 ， 得 到 了 彈 性 力 學(xué) 精 確 分 析 解 ， 稱 之 為 Inglis解 。 1920年 ， Griffith研 究 玻 璃 與 陶 瓷 材 料 脆 性 斷 裂 問 題 時(shí) ， 將

10、Inglis解 中的 短 半 軸 趨 于 0， 得 到 Griffith裂 紋 。一 、 G riffith理 論 G riffith研 究 了 如 圖 所 示 厚 度 為 B的 薄 平 板 。 上 、 下 端 受到 均 勻 拉 應(yīng) 力 作 用 ， 將 板 拉 長 后 ， 固 定 兩 端 。 由 Inglis解 得 到由 于 裂 紋 存 在 而 釋 放 的 彈 性 應(yīng) 變 能 為 2 2 22 211U a BEU a BE 平 面 應(yīng) 變平 面 應(yīng) 力 另 一 方 面 ， G riffith認(rèn) 為 ， 裂 紋 擴(kuò) 展 形 成 新 的 表 面 ， 需要 吸 收 的 能 量 為 2 4S A a

11、 B 其 中 ： 為 單 位 面 積 上 的 表 面 能 。可 以 得 到 如 下 表 達(dá) 式 d ( ) 0d U SA 臨 界 狀 態(tài) d ( ) 0d U SA 裂 紋 穩(wěn) 定 d ( ) 0d U SA 裂 紋 不 穩(wěn) 定 對(duì) 于 平 面 應(yīng) 力 問 題 ， d 2 dA B a ， 則2ddU aA E d 2dSA 根 據(jù) 臨 界 條 件 ， 有2 2c aE 2 2caE 或 得 臨 界 應(yīng) 力 為 122( )c Ea 表 示 無 限 大 平 板 在 平 面 應(yīng) 力 狀 態(tài) 下 ， 長 為 2a裂 紋 失穩(wěn) 擴(kuò) 展 時(shí) ， 拉 應(yīng) 力 的 臨 界 值 ， 稱 為 剩 余 強(qiáng) 度

12、 。 臨 界 裂 紋 長 度 22c Ea 對(duì) 于 平 面 應(yīng) 變 有 2 222(1 )2(1 )cc Ea E a G riffith判 據(jù) 如 下 ：(1)當(dāng) 外 加 應(yīng) 力 超 過 臨 界 應(yīng) 力 c(2)當(dāng) 裂 紋 尺 寸 a 超 過 臨 界 裂 紋 尺 寸 ca 脆 性 物 體 斷 裂 二 、 O rowan與 Irwin對(duì) G riffith理 論 的 解 釋 與 發(fā) 展 O rowan在 1948年 指 出 ， 金 屬 材 料 在 裂 紋 的 擴(kuò) 展 過 程 中 ，其 尖 端 附 近 局 部 區(qū) 域 發(fā) 生 塑 性 變 形 。 因 此 ， 裂 紋 擴(kuò) 展 時(shí) ，金 屬 材 料

13、釋 放 的 應(yīng) 變 能 ， 不 僅 用 于 形 成 裂 紋 表 面 所 吸 收 的表 面 能 ， 同 時(shí) 用 于 克 服 裂 紋 擴(kuò) 展 所 需 要 吸 收 的 塑 性 變 形 能（ 也 稱 為 塑 性 功 ） 。 設(shè) 金 屬 材 料 的 裂 紋 擴(kuò) 展 單 位 面 積 所 需 要 的 塑 性 功 為 pU ， 則 剩 余 強(qiáng) 度 和 臨 界 裂 紋 長 度 可 表 示 為 22 ( )(1 )2 ( )Pc PE UaE Ua 平 面 應(yīng) 變平 面 應(yīng) 力2 2 22 ( )(1 )2 ( )Pc PE Ua E U 平 面 應(yīng) 變平 面 應(yīng) 力 Irwin在 1948年 引 入 記 號(hào) G

14、1 ( )2G W Ua 外 力 功 釋 放 出 的 應(yīng) 變 能 能 量 釋 放 率 能 量 釋 放 率 也 稱 為 裂 紋 擴(kuò) 展 能 力 G 準(zhǔn) 則 cG G cG 臨 界 值 ,由 試 驗(yàn) 確 定 Irwin的 理 論 適 用 于 金 屬 材 料 的 準(zhǔn) 脆 性 破 壞 破 壞 前 裂 紋尖 端 附 近 有 相 當(dāng) 范 圍 的 塑 性 變 形 。 該 理 論 的 提 出 是 線 彈 性斷 裂 力 學(xué) 誕 生 的 標(biāo) 志 。 三 、 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 理 論裂 紋 尖 端 存 在 奇 異 性 ,即 : 1( , ) ( 0)iy r rr 基 于 這 種 性 質(zhì) ， 1957年 Ir

15、win提 出 新的 物 理 量 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 K， 即 ： 0lim 2 ( ,0)yyrK r r 1960年 Irwin用 石 墨 做 實(shí) 驗(yàn) ， 測(cè) 定 開 始 裂 紋 擴(kuò) 展 時(shí) 的 cK K斷 裂 判 據(jù) ( K 準(zhǔn) 則 ) cK K 一 、 裂 紋 尖 端 附 近 的 應(yīng) 力 場(chǎng) 、 位 移 場(chǎng) 1、 型 裂 紋問 題 的 描 述 ： 無 限 大 板 ， 有 一 長 為 的 穿 透 裂 紋 ,在 無 限 遠(yuǎn)處 受 雙 向 拉 應(yīng) 力 的 作 用 。 確 定 裂 紋 尖 端 附 近 的 應(yīng) 力 場(chǎng) 和 位移 場(chǎng) 。 2a Irwin應(yīng) 用 Westergaurd的 方 法

16、進(jìn) 行 分 析(1) Westergaurd應(yīng) 力 函 數(shù) 彈 性 力 學(xué) 平 面 問 題 的 求 解 ， 歸 結(jié) 為 要 求 求 一 個(gè) 應(yīng) 力 函 數(shù) 。該 函 數(shù) 邊 界 條 件 及 雙 調(diào) 和 方 程 。1939年 ， Westergaurd應(yīng) 力 函 數(shù)Re ImZ y Z 其 中 ： 為 解 析 函 數(shù) ; 為 一 次 積 分 和 二 次 積 分 。Z ,Z Z 首 先 證 明 : 4 0 滿 足 雙 調(diào) 和 方 程 4 2 2 2 2( ) ( )x y x y 因 為 : 2 2 2Re ( Im )Z y Z 解 析 函 數(shù) 的 性 質(zhì) :(1)解 析 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 和

17、 積 分 仍 為 解 析 函 數(shù)(2)解 析 函 數(shù) 的 實(shí) 部 和 虛 部 均 滿 足 調(diào) 和 方 程 2 Re 0Z 2 22 2 2 2( Im ) ( Im ) ( Im )y Z y Z y Zx y 2 2Im ( Im Im )Z yy y Z Zx y y y 2 22 2Im ImIm ImZ Zy Z y Zx y y y 2 ImIm 2 Zy Z y 柯 西 黎 曼 條 件 Re ImImZ ZZy x Im ReReZ ZZy x 有 Im2 2ReZ Zy 2 2 2(2Re ) 0Z 即 函 數(shù) 是 平 面 問 題 的 應(yīng) 力 函 數(shù) .則 應(yīng) 力 分 量 :2

18、22 2 (Re Im )x Z y Zy y Re Im( Im )Z ZZ yy y y ( Im Im Re )Z Z y Zy ReRe ZZ y y Re ImZ y Z 即 Re Imx Z y Z Re Imy Z y Z 0z (平 面 應(yīng) 力 ) ( ) 2 Rez x y Z (平 面 應(yīng) 變 ) Re xy y Z 物 理 方 程 : yxx E E y xy E E xyxy G (平 面 應(yīng) 力 ) 21 (1 ) (1 ) x x yE 21 (1 ) (1 ) y y xE xyxy G (平 面 應(yīng) 變 ) 幾 何 方 程 : x ux y uy 得 1 (1

19、)Re (1 ) Im u Z y ZE 1 2Im (1 ) Re v Z y ZE 平 面 應(yīng) 力1 (1 2 )Re (1 ) Re u Z y ZE 1 2(1 )Im Re v Z y ZE 平 面 應(yīng) 變 (2) 求 解 雙 向 拉 伸 型 裂 紋 邊 界 條 件 : 0y x a 0y xy z , 0 x y xy 選 取 型 裂 紋 的 函 數(shù) Z2 2zZ z a 驗(yàn) 證 : 0y z xa: , 時(shí) 2 2xZ x a Re 0Z 又 0y 0y xy b: 2 2lim lim zz zZ z a 2 32 2 2lim lim 0( )z z aZ z a , 0 x

20、 y xy 采 用 新 的 坐 標(biāo) ,z a ire ( )( ) ( 2 )a fZ a （ + ）( )( ) 2af a 令 0 0lim ( ) lim ( ) 2 2K af Z K a -應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 Z ( ) (cos sin )2 22 2K KZ ir 321 3 3( ) (cos sin )2 22 2KZ ir 3Re Im cos (1 sin sin )2 2 22x KZ y Z r 3cos (1 sin sin )2 2 22 y K r 3cos sin cos2 2 22xy K r 0 xz yz ( )z x y 平 面 應(yīng) 變 0z 平

21、面 應(yīng) 力 3(2 1)cos cos 4 2 2 2K ru kG 3(2 1)sin sin 4 2 2 2K rv kG 0w 平 面 應(yīng) 變 ( ) x yw dzE 平 面 應(yīng) 力 3 431k 平 面 應(yīng) 變平 面 應(yīng) 力 2、 型 裂 紋 3sin (2 cos cos )2 2 22x K r 3cos sin cos2 2 22y K r 3cos (1 sin sin )2 2 22xy K r 0 xz yz ( )z x y 平 面 應(yīng) 變 0z 平 面 應(yīng) 力 3(2 3)sin sin 4 2 2 2K ru kG 3(2 2)cos cos 4 2 2 2K rv

22、 kG 0w 平 面 應(yīng) 變 ( )x yw dzE 平 面 應(yīng) 力 3、 撕 開 型 ( 型 ) 問 題 描 述 :無 限 大 板 ,中 心 裂 紋(穿 透 ) ,無 限 遠(yuǎn) 處 受 與 方 向 平 行 的 作 用 .2a z反 平 面 (縱 向 剪 切 )問 題 , 其 位 移 ( , ), 0w w x y u v 根 據(jù) 幾 何 方 程 和 物 理 方 程 :1 xz xzwr x G 1yz yzwr y G 0 x y xy z 單 元 體 的 平 衡 方 程 : 20 0yzxz wx y 位 移 函 數(shù) 滿 足 Laplace方 程 ， 所 以 為 調(diào) 和 函 數(shù) . 解 析

23、函 數(shù) 性 質(zhì) ： 任 意 解 析 函 數(shù) 的 實(shí) 部 和 虛 部 都 是 解 析 的1( , ) Im ( )w x y Z zG Im Imxz ZwG Zx x Im Reyz ZwG Zy y 邊 界 條 件 :0, , 0yzy x a , 0,xz yzz 選 取 函 數(shù) 2 2( ) zZ z z a 滿 足 邊 界 條 件 取 新 坐 標(biāo) z a ( )( ) ( 2 )aZ a 令 0lim 2K Z a 假 設(shè) 裂 紋 閉 合 3cos ( sin sin )2 2 22y K Hr 當(dāng) , 時(shí) 0 r x 2y K x 3(2 1)sin sin 4 2 2 2K rv

24、kG 當(dāng) , 時(shí) r a x (2 2)4 2K a xv kG 二 、 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 與 能 量 釋 放 率 的 關(guān) 系 在 閉 合 時(shí) ,應(yīng) 力 在 那 段 所 做 的 功 為 a 0 a yB vdx 20 01 4 1(2 2)4 2 42a ay K KB a x kG vdx k dx KB a a G Gx 平 面 應(yīng) 力 23 ,1 Kk G E 平 面 應(yīng) 變 2 213 4k G KE 2KG E 21E E EE 平 面 應(yīng) 力平 面 應(yīng) 變同 理 2KG E 21G KE 計(jì) 算 值 的 幾 種 方 法 K1、 數(shù) 學(xué) 分 析 法 ： 復(fù) 變 函 數(shù) 法 、

25、積 分 變 換 ；2、 近 似 計(jì) 算 法 ： 邊 界 配 置 法 、 有 限 元 法 ；3、 實(shí) 驗(yàn) 標(biāo) 定 法 ： 柔 度 標(biāo) 定 法 ；4、 實(shí) 驗(yàn) 應(yīng) 力 分 析 法 ： 光 彈 性 法 。 一 、 三 種 基 本 裂 紋 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 的 計(jì) 算1、 無 限 大 板 型 裂 紋 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 的 計(jì) 算 0lim 2K Z 計(jì) 算 的 基 本 公 式 K1） 在 “ 無 限 大 ” 平 板 中 具 有 長 度 為 的 穿 透 板 厚 的 裂紋 表 面 上 ,距 離 處 各 作 用 一 對(duì) 集 中 力 P 2ax bRe Im x Z y Z Re Imy Z y

26、Z Rexy y Z 邊 界 條 件 ： , 0 x y xyz ,z a 除 去 處 裂 紋 為 自 由 表 面 上 z b0, 0y xy 如 切 出 坐 標(biāo) 系 內(nèi) 的 第 一 象 限 的 薄 平 板 ， 在 軸 所 在截 面 上 內(nèi) 力 總 和 為 P xy x以 新 坐 標(biāo) 表 示 : 2 22 22 ( )( ) ( 2 )p a a bZ a b a 2 20 2lim 2 ( ) ( )p aK Z a b 選 取 復(fù) 變 解 析 函 數(shù) ： 2 22 22 ( )pz a bZ z b 2） 在 無 限 大 平 板 中 ,具 有 長 度 為 的 穿 透 板 厚 的 裂 紋 表

27、面 上 ,在 距 離 的 范 圍 內(nèi) 受 均 布 載 荷 q作 用 2a1x a 利 用 疊 加 原 理 集 中 力 qdx 2 22( )q adK dxa x 2 20 2( )a q aK dxa x 令 2 2cos cosx a a x a cosdx a d 1 1 1sin ( ) 10 cos2 2 sin ( )cosa a a aa a aK q d qa 當(dāng) 整 個(gè) 表 面 受 均 布 載 荷 時(shí) 12 sin ( )aaaK q q a 3） 受 二 向 均 布 拉 力 作 用 的 無 限 大 平 板 ， 在 軸 上 有 一 系 列長 度 為 ， 間 距 為 的 裂 紋

28、 x2a 2b單 個(gè) 裂 紋 時(shí) 2 2zZ z a 邊 界 條 件 是 周 期 的 :, y xz 0, , 2 2y a x a a b x a b 0, 0y xy 2 2sin 2(sin ) (sin )2 2zbZ z ab b 采 用 新 坐 標(biāo) : z a 2 2sin ( )2( )(sin ) (sin )2 2abZ a ab b 當(dāng) 時(shí) ，0 sin ,cos 12 2 2b b b sin ( ) sin cos cos sin2 2 2 2 2a a ab b b b b cos sin2 2 2a ab b b 2 2 2 2sin ( ) ( ) cos 2 c

29、os sin (sin )2 2 2 2 2 2 2a a a a ab b b b b b b 2 2sin ( ) (sin ) 2 cos sin2 2 2 2 2a a a ab b b b b 0 sin 22 cos sin2 2 2abZ a ab b b 0 sin 2lim 2 2 tan 21 cos sin2 2 2a abK Z b ba ab b b 2 tan 2b aa a b 2 tan 2 w b aM a b取 -修 正 系 數(shù) ,大 于 1,表 示 其 他 裂 紋 存 在 對(duì) 的 影 響 K 若 裂 紋 間 距 離 比 裂 紋 本 身 尺 寸 大 很 多

30、（ ） 可 不考 慮 相 互 作 用 ,按 單 個(gè) 裂 紋 計(jì) 算 。 2 12 5ab 2、 無 限 大 平 板 、 型 裂 紋 問 題 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 的 計(jì) 算1） 型 裂 紋 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 的 普 遍 表 達(dá) 形 式 (無 限 大 板 ): 0lim ( ) 2K Z 2） 無 限 大 平 板 中 的 周 期 性 的 II型 裂 紋 ， 且 在 無 限 遠(yuǎn) 的 邊 界 上 處于 平 板 面 內(nèi) 的 純 剪 切 力 作 用 2 2sin 2( ) (sin ) (sin )2 2zbZ z z ab b 2 2sin ( )2( ) sin ( ) (sin )2 2a

31、bZ aab b 0 2lim 2 ( ) tan 2b aK Z a a b 3） 型 裂 紋 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 的 普 遍 表 達(dá) 形 式 (無 限 大 板 )0lim 2 ( )K Z 4） 型 周 期 性 裂 紋 2 tan 2b aK a a b 1950年 ， 格 林 和 斯 內(nèi) 登 分 析 了 彈 性物 體 的 深 埋 的 橢 圓 形 裂 紋 鄰 域 內(nèi) 的 應(yīng)力 和 應(yīng) 變 ， 得 到 橢 圓 表 面 上 任 意 點(diǎn) 沿 y方 向 的 張 開 位 移 為 12 2 20 2 2(1 )x zy y a c 其 中 : 20 2(1 ) ay E 第 二 類 橢 圓 積 分

32、 二 、 深 埋 裂 紋 的 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 的 計(jì) 算 122 2 220 sin ( ) cos a dc 1962年 ， Irwin利 用 上 述 結(jié) 果 計(jì) 算 在 這 種 情 況 下 的 應(yīng) 力 強(qiáng)度 因 子 原 裂 紋 面 1 1cos , sinz x 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 12 2 1x z c x a z a ca c 2 2 2 2sin cosacc a 假 設(shè) ： 橢 圓 形 裂 紋 擴(kuò) 展 時(shí) r f 2 2 2 2sin cosr rf c aac 邊 緣 上 任 一 點(diǎn) 有 ( , )p x z 1( )sin (1 ) sin (1

33、)x r f f x 1( )cos (1 )z r f z 1 1( , ), ( , )p x z p x z 均 在 的 平 面 內(nèi) 0y 2 2 2 2 4 2 2 2 2(1 )c x a z f a c a c f 1 新 的 裂 紋 面 仍 為 橢 圓 長 軸 (1 )c f c 短 軸 (1 )a f a 2 20 02(1 ) 2(1 ) (1 ) (1 )a f ay f yE E 原 有 裂 紋 面 : 2 2 22 2 0( ) 1x z ya c y 擴(kuò) 展 后 裂 紋 面 : 2 2 22 2 0( ) 1x z ya c y 以 ， 代 入 1x x 1z z 原

34、 有 裂 紋 面 的 邊 緣 向 位 移 y y 2 2 2 2sin cosrf c aac 22 2 2 2 202 sin cosryy c aac 2 2 2 22 1 1 1 12 2 2 2 2 2 20 1 1 (1 ) (1 )x z x zyy a c f a f c 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2 21 (1 2 ) (1 2 ) 1 2 ( )x z x z x zf f fa c a c a c 2 f= 2 2 2 2 20 0 02 2 (1 ) 2y fy f f y fy 設(shè) 各 邊 緣 的 法 向 平 面 為 平 面 應(yīng) 變 ,

35、有 :3(2 1)sin sin 4 2 2 2K rv kG 3 4k 當(dāng) 時(shí) ， 24(1 ) 2rv KE 2 2 22 2 2 2 20 22 16(1 )sin cos 2Iry rc a Kac E 2 2 2 2 2 2 2021 E( ) sin cos4 1IK y c aac 20 2(1 ) ay E 141 2 2 2 22( ) ( sin cos )I aK c ac 在 橢 圓 的 短 軸 方 向 上 ， 即 ， 有 2 I ImaxK K -橢 圓 片 狀 深 埋 裂 紋 的 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 當(dāng) 時(shí) ， 2 a c 2IK a -圓 片 狀 深 埋 裂

36、紋 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 三 、 半 橢 圓 表 面 裂 紋 的 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 計(jì) 算1、 表 面 淺 裂 紋 的 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 歐 文 假 設(shè) ： 半 橢 圓 片 狀 表 面 淺 裂 紋 與深 埋 橢 圓 裂 紋 的 之 比 等 于 邊 裂紋 平 板 與 中 心 裂 紋 平 板 的 值 之 比 IKIK IKIKI II IK KK K表 邊埋 中 1220.1sin(1 )tanII AK WAK W 邊中又 有 裂 紋 長 度 板 寬 度 當(dāng) 時(shí) ， 2 2sin A AW W tan A AW W 1.2 1.1IIKK 邊中 1.1IIKK 表埋 1.161.1

37、 II aK K 埋表 -橢 圓 片 狀 表 面 裂 紋 A處 的 值 IK 1WA 2、 表 面 深 裂 紋 的 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子深 裂 紋 ： 引 入 前 后 二 個(gè) 自 由 表 面 使 裂 紋 尖 端 的 彈 性 約 束 減 少 裂 紋 容 易 擴(kuò) 展 增 大 IK( ) I IK Me K 表 面 （ 埋 藏 ）彈 性 修 正 系 數(shù) ， 由 實(shí) 驗(yàn) 確 定 一 般 情 況 下 1 2Me M M 前 自 由 表 面 的 修 正 系 數(shù) 后 自 由 表 面 的 修 正 系 數(shù) 巴 里 斯 和 薛0ac 時(shí) ， 接 近 于 單 邊 切 口 試 樣 1 1.12M 1ac 時(shí) ， 接

38、 近 于 半 圓 形 的 表 面 裂 紋 1 1M 利 用 線 性 內(nèi) 插 法 1 1 0.12(1 )aM c 利 用 中 心 穿 透 裂 紋 彈 性 體 的 厚 度 校 正 系 數(shù) 122 2( tan )2B aM a B 板 厚 裂 紋 深 度 淺 裂 紋 不 考 后 自 由 表 面 的 影 響 柯 巴 亞 希 .沙 .莫 斯 21 1 0.12(1 )2aM c 122 2( tan )2B aM a B 表 面 深 裂 紋 的 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 （ 應(yīng) 為 最 深 點(diǎn) 處 ） I aK Me 四 、 確 定 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 的 有 限 元 法 不 同 裂 紋 體 在

39、不 同 的 開 裂 方 式 下 的 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 是 不 同的 。 一 些 實(shí) 驗(yàn) 方 法 和 解 析 方 法 都 有 各 自 的 局 限 性 ， 而 有 限 元等 數(shù) 值 解 法 十 分 有 效 地 求 解 彈 塑 性 體 的 應(yīng) 力 和 位 移 場(chǎng) ， 而 應(yīng)力 和 位 移 場(chǎng) 與 K密 切 相 關(guān) ， 所 以 ， 可 以 通 過 有 限 元 方 法 進(jìn) 行應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 的 計(jì) 算 。1、 位 移 法 求 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 型 : 3( , ) (2 1)cos cos 4 2 2 2K ru r kG 3( , ) (2 1)sin sin 4 2 2 2K r

40、v r kG 有 限 元 法 裂 紋 尖 端 位 移 2 2 ( , )1GK v rk r 2、 應(yīng) 力 法 求 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 型 : ( , ) ( )2iy iyKr fr 有 限 元 法 ( ,0) 2y yr K r 利 用 剛 度 法 求 應(yīng) 力 時(shí) ， 應(yīng) 力 場(chǎng) 比位 移 場(chǎng) 的 精 度 低 (因 應(yīng) 力 是 位 移 對(duì) 坐 標(biāo)的 偏 導(dǎo) 數(shù) )。 五 、 疊 加 原 理 及 其 應(yīng) 用1、 的 疊 加 原 理 及 其 應(yīng) 用 K 線 彈 性 疊 加 原 理 ： 當(dāng) n個(gè) 載 荷 同 時(shí) 作 用 于 某 一 彈 性 體 上時(shí) ， 載 荷 組 在 某 一 點(diǎn) 上 引 起

41、 的 應(yīng) 力 和 位 移 等 于 單 個(gè) 載 荷 在 該點(diǎn) 引 起 的 應(yīng) 力 和 位 移 分 量 之 總 和 。 疊 加 原 理 適 用 于 K 證 明 : 00lim 2 |yrK r 1T (1) (1) (1)0 00,| lim 2 |y yrK r 2T (2) (2) (2)0 00,| lim 2 |y yrK r 由 疊 加 原 理 有 (1) (2)0 0 0| | |y y y (1) (2)K K K 實(shí) 例 ： 鉚 釘 孔 邊 雙 耳 裂 紋 疊 加 原 理 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( )2a b c d a b cK K K K

42、 K K K 其 中 : ( ) ( )2b aK a D 圓 孔 直 徑 板 有 寬 度 : ( ) seca aF W W - 板 寬 的 修 正 (a) (b) (c) (d) 2f Da a 有 效 裂 紋 長 度 ( ) ( )2( ) sec2b DaaK a D W 確 定 :無 限 板 寬 中 心 貫 穿 裂 紋 受 集 中 力 作 用 ( )cK ppK a 1 ( 2 )2pK D a 有 限 板 寬 : ( 2 )( ) sec 2a D aF W W ( ) (2 ) ( 2 )sec sec2 2( ) ( )2 2c p a D W D aK W WD Da a (

43、 ) ( 2 )sec ( ) 2 2 ( )2 2a D a a WK a DW D a 2、 應(yīng) 力 場(chǎng) 疊 加 原 理 及 其 應(yīng) 用 0T :無 裂 紋 時(shí) 外 邊 界 約 束 在 裂 紋 所 處 位 置 產(chǎn) 生 的 內(nèi) 應(yīng) 力 場(chǎng) 應(yīng) 力 場(chǎng) 疊 加 原 理 ： 在 復(fù) 雜 的 外 界 約 束 作 用 下 ,裂 紋 前 端的 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 等 于 沒 有 外 界 約 束 ， 但 在 裂 紋 表 面 上 反 向 作用 著 無 裂 紋 時(shí) 外 界 約 束 在 裂 紋 處 產(chǎn) 生 的 內(nèi) 應(yīng) 力 所 致 的 應(yīng)力 強(qiáng) 度 因 子 。 0T 小 范 圍 屈 服 ： 屈 服 區(qū) 較

44、小 時(shí) (遠(yuǎn) 遠(yuǎn) 小 于 裂 紋 尺 寸 ) 線 彈 性 斷 裂 力 學(xué) 仍 可 用 一 、 塑 性 區(qū) 的 形 狀 和 大 小 1、 屈 服 條 件 的 一 般 形 式 屈 服 條 件 ： 材 料 超 過 彈 性 階 段 而 進(jìn) 入 塑 性 階 段 的 條 件單 向 拉 壓 : 1 2 薄 壁 圓 筒 扭 轉(zhuǎn) : s 復(fù) 雜 情 況 : ( , , , , , )x y z xy xz yzf c 1 2 3( , , )f c 2、 根 據(jù) 屈 服 條 件 確 定 塑 性 區(qū) 形 狀 大 小 利 用 米 塞 斯 (von Mises)屈 服 條 件 當(dāng) 復(fù) 雜 應(yīng) 力 狀 態(tài) 下 的 形

45、狀 改 變 能 密 度 等 于 單 向 拉 伸 屈服 時(shí) 的 形 狀 改 變 能 密 度 時(shí) ， 材 料 發(fā) 生 屈 服 ， 即 2 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) 2 s 對(duì) 于 型 裂 紋 的 應(yīng) 力 公 式 1 22 ( )2 2x y x y xy 12 cos 1 sin 2 22K r 3 0 平 面 應(yīng) 力 2 2 22 cos 1 3sin 2 2 2sKr -平 面 應(yīng) 力 下 , 型 裂 紋 前 端 屈 服 區(qū) 域 的 邊 界 方 程 當(dāng) 時(shí) , 0 20 1 ( )2 sKr 3 1 2( )z 平 面 應(yīng) 變 2 2 2 22 cos (1 2

46、) 3sin 2 2 2sKr -平 面 應(yīng) 變 下 , 型 裂 紋 前 端 屈 服 區(qū) 的 邊 界 方 程 當(dāng) 時(shí) , 0 210.16 ( ) ( 0.3)2 sKr 2 21(1 2 ) ( )2 sK 3、 應(yīng) 力 松 弛 的 影 響由 于 塑 性 變 形 引 起 應(yīng) 力 松 弛 應(yīng) 力 松 弛 依 據(jù) ： 單 位 厚 含 裂 紋 平 板 ,在 外 力 作 用 下 發(fā) 生 局 部 屈 服 后 , 其 凈 截 面 的 內(nèi) 力 應(yīng) 當(dāng) 與 外 界 平 衡 . 塑 性 區(qū) 尺 寸 增 大 0| 2y K r (圖 中 虛 線 所 示 ) 此 曲 線 下 的 面 積 為1 ( )yF x dx

47、 =外 力 理 想 塑 性 材 料 應(yīng) 力 松 弛 后 : 2 yF dx =外 力 屈 服 區(qū) 內(nèi) 的 最 大 應(yīng) 力 稱 為 有 效 屈 服 應(yīng) 力 2 2 ( )( )sys s 平 面 應(yīng) 變平 面 應(yīng) 力 21 ( )2ys ysKr ( ) y yx dx dx 又 BD與 CE下 的 面 積 應(yīng) 相 等 2 01 ( )2ys ysKr r (平 面 應(yīng) 力 ) 在 平 面 應(yīng) 力 條 件 下 ,考 慮 應(yīng) 力 松 弛 , 軸 的 屈 服 區(qū) 擴(kuò) 大 1倍 . x 2 201 ( ) 2 ( )8s sK KR r 0 0( ) 2ys ysr rys y Kx dx dxx R

48、 平 面 應(yīng) 變 條 件 下 : 2 2ys s 21 ( )4 2ys sKr 21 ( )2 2 sKR 注 意 ： 上 述 分 析 沒 有 考 慮 材 料 強(qiáng) 化 的 影 響 。 材 料 強(qiáng) 化 ， 裂 紋尖 端 塑 性 區(qū) 的 尺 寸 變 小 ， 對(duì) 于 設(shè) 計(jì) 是 偏 于 安 全 的 。 222 ( ) ys y ysyK Kr R RR r 二 、 有 效 裂 紋 尺 寸 基 本 原 理 :設(shè) 想 裂 紋 的 計(jì) 算 邊 界 由 向 右 移 到 ( )以 便 使 彈性 區(qū) 域 內(nèi) 按 線 彈 性 理 論 所 獲 得 的 應(yīng)力 和 實(shí) 際 應(yīng) 力 曲 線 基 本符 合 。 o o y

49、oo r0|y y 有 效 裂 紋 尺 寸 ya a r 有 效根 據(jù) 上 述 基 本 原 理 有 ： 0,| yy z r r ys 22I2 ysy KrR 平 面 應(yīng) 力 ： 2 21 1( ) , ( )2ys s ys sK KR r 平 面 應(yīng) 變 ： 2 21 1( ) , 2 2 ( )2 2 4 2ys s ys sK KR r 2 y Rr 裂 紋 的 計(jì) 算 邊 界 正 好 在 塑 性 區(qū) 的 中 心 三 、 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 的 計(jì) 算 1、 KI表 達(dá) 式 簡 單 的 可 用 解 析 式 1） 無 限 寬 板 中 心 穿 透 裂 紋線 彈 性 : K a 小 范

50、 圍 屈 服 : ( )yK a r 平 面 應(yīng) 力 : 21 ( )2y sKr 平 面 應(yīng) 變 : 21 ( )4 2y sKr 21 ( )y sKr 22 2 ( ( )sKK a pK M K 211 ( )p sM -增 大 因 子 塑 性 區(qū) 修 正 因 子 3） 表 面 線 裂 紋 1.1 aK 12 21.1 1( ( ) 4 2 sKaK a 12 2 21.1 0.212( ) saK 形 狀 因 子 1.1 aK Q 形 狀 因 子 4） 表 面 深 裂 紋 1 2 aK M M 12 21 2 1( ( ) 4 2 sKK M M a 1 2 122 21 2 2(

51、) ( ) 4 2 sM M aK M M 很 小 令 2 1 2( )4 2M M =0.212 1 2 1 212 2 2 0.212( ) sM M a M M aK Q 裂 紋 的 斷 裂 準(zhǔn) 則 :帶 裂 紋 的 構(gòu) 件 發(fā) 生 斷 裂 的 臨 界 條 件 .一 、 單 一 型 裂 紋 的 斷 裂 準(zhǔn) 則1、 阻 力 曲 線 法 以 平 面 應(yīng) 力 為 例 說 明 1） 裂 紋 擴(kuò) 展 的 推 動(dòng) 力 2 21KG Y aE E 與 試 件 的 類 型 有 關(guān) 2 ( )( )1EE E 平 面 應(yīng) 力平 面 應(yīng) 變 平 面 應(yīng) 力 的 R曲 線 2） 裂 紋 擴(kuò) 展 阻 力 裂 紋 擴(kuò) 展 單 位 長 度 所 需 要 消 耗 的 能 量 . 2 21KR G a YE E 測(cè) 定 ia i計(jì) 算 R R a 阻 力 曲 線 3） 臨 界 條 件 只 有 D點(diǎn) 是 失 穩(wěn) 的 擴(kuò) 展 條 件 G R G Ra a 平 面 應(yīng) 力 的 R曲 線 2、 能 量 判 據(jù) G G C3、 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 因 子 判 據(jù) K K C