漸開線與擺線

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1、四 漸 開 線 與 擺 線參 數(shù) 方 程 中 曲 線 欣 賞 -漸 開 線 與 擺 線教 學(xué) 目 標 :1.了 解 圓 的 漸 開 線 的 參 數(shù) 方 程2.了 解 擺 線 的 生 成 過 程 及 它 的 參 數(shù) 方 程3.學(xué) 習(xí) 用 向 量 知 識 推 導(dǎo) 運 動 軌 跡 曲 線 的 方 法 和 步 驟 1、 漸 開 線 的 定 義探 究 ： 把 一 條 沒 有 彈 性 的 細 繩 繞 在 一 個 圓 盤 上 ， 在 繩 的外 端 系 上 一 支 鉛 筆 ， 將 繩 子 拉 緊 ， 保 持 繩 子 與 圓 相 切而 逐 漸 展 開 ， 那 么 鉛 筆 會 畫 出 一 條 曲 線 。 這 條

2、曲 線 的 形 狀 怎 樣 ？ 能 否 求 出 它 的 軌 跡 方 程 ？動 點 （ 筆 尖 ） 滿 足 什 么 幾 何 條 件 ？ AB MO設(shè) 開 始 時 繩 子 外 端 （ 筆 尖 ） 位 于 點 A， 當 外 端 展 開 到 點 M時 ， 因 為 繩 子 對 圓 心 角 的 一 段 弧 AB，展 開 后 成 為 切 線 ， 所 以 切 線 BM的 長 就 是 AB的 長 ，這 是 動 點 （ 筆 尖 ） 滿 足 的 幾 何 條 件 。我 們 把 筆 尖 畫 出 的 曲 線 叫 做 圓 的 漸 開 線 ，相 應(yīng) 的 定 圓 叫 做 漸 開 線 的 基 圓 。 AB MO xy2、 漸 開

3、 線 的 參 數(shù) 方 程 以 基 圓 圓 心 O為 原 點 ， 直 線 OA為 x軸 ， 建 立 平 面直 角 坐 標 系 。設(shè) 基 圓 的 半 徑 為 r， 繩 子 外 端 M的 坐 標 為 （ x， y） 。顯 然 ， 點 M由 角 唯 一 確 定 。 B 取 為 參 數(shù) ， 則 點 的 坐 標 為 （ rcos ,rsin ） ,從 而( cos , sin ),| | .BM x r y r BM r 1 (cos ,sin )e OB 由 于 向 量 是 與 同 方 向 的 單 位 向 量 ，2 (sin , cos )e BM 因 而 向 量 是 與 向 量 同 方 向 的 單 位

4、 向 量 。2| | ( ) ,BM r e 所 以 即| | ( cos , sin ) (sin , cos )BM x r y r r (cos sin ) ( )(sin cos )x ry r 解 得 是 參 數(shù) 。這 就 是 圓 的 漸 開 線 的 參 數(shù) 方 程 。 3、 漸 開 線 的 參 數(shù) 方 程 AB MO xy(cos sin ) ( )(sin cos )x ry r 是 參 數(shù) 。漸 開 線 的 應(yīng) 用 ：由 于 漸 開 線 齒 行 的 齒 輪 磨 損 少 ， 傳 動 平 穩(wěn) ， 制 造 安 裝 較 為 方 便 ，因 此 大 多 數(shù) 齒 輪 采 用 這 種 齒 形

5、。設(shè) 計 加 工 這 種 齒 輪 ， 需 要 借 助 圓 的 漸 開 線 方 程 。 在 機 械 工 業(yè) 中 ， 廣 泛 地 使 用 齒 輪 傳 遞 動 力 。 4、 擺 線 的 定 義思 考 ： P43 如 果 在 自 行 車 的 輪 子 上 噴 一 個 白 色 印 記 ， 那 么 自 行 車 在 筆 直的 道 路 上 行 使 時 ， 白 色 印 記 會 畫 出 什 么 樣 的 曲 線 ？同 樣 地 ， 我 們 先 分 析 圓 在 滾 動 過 程 中 ， 圓 周 上 的 這 個 動 點 滿 足 的 幾 何 條 件 。 我 們 把 點 M的 軌 跡 叫 做 平 擺 線 ， 簡 稱 擺 線 ，

6、又 叫 旋 輪 線 。 上 述 問 題 抽 象 成 數(shù) 學(xué) 問 題 就 是 ： 當 一 個 圓 沿 著 一 條 定 直 線 無 滑 動 地 滾 動 時 ， 圓 周上 一 個 定 點 的 軌 跡 是 什 么 ？ O ABM OA MA OA r線 段 的 長 等 于 的 長 ， 即 。 擺 線 在 它 與 定 直 線的 兩 個 相 鄰 交 點 之 間的 部 分 叫 做 一 個 拱 。 xyO D A EBM C5、 擺 線 的 參 數(shù) 方 程O ABM 根 據(jù) 點 M滿 足 的 幾 何 條 件 ， 我 們 取 定 直 線 為 X軸 ， 定 點 M滾 動 時 落 在 定直 線 上 的 一 個 位

7、置 為 原 點 ， 建 立 直 角 坐 標 系 。 設(shè) 圓 的 半 徑 為 r。M x A B設(shè) 開 始 時 定 點 在 原 點 ， 圓 滾 動 了 角 后 與 軸 相 切 于 點 ， 圓 心 在 點 。M AB x C D從 點 分 別 做 ， 軸 的 垂 線 ， 垂 足 分 別 是 ， 。( , ),M x y M設(shè) 點 的 坐 標 為 取 為 參 數(shù) ， 根 據(jù) 點 滿 足 的 幾 何 條 件 ， 有sin ,x OD OA DA OA MC r r cos .y DM AC AB CB r r 所 以 ， 擺 線 的 參 數(shù) 方 程 為 ：( sin ),( )(1 cos ).x ry r 為 參 數(shù) xyO D A EBM C6、 擺 線 的 參 數(shù) 方 程O ABM ( sin ),( )(1 cos ).x ry r 為 參 數(shù)擺 線 的 參 數(shù) 方 程 為 ：思 考 ： P44 在 擺 線 的 參 數(shù) 方 程 中 ， 參 數(shù) 的 取 值 范 圍 是 什 么 ？一 個 拱 的 寬 度 與 高 度 各 是 什 么 ？ 小 結(jié) ：1、 圓 的 漸 開 線 ， 漸 開 線 的 參 數(shù) 方 程2、 平 擺 線 、 擺 線 的 參 數(shù) 方 程