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1、34生活中的優(yōu)化問題舉例 1知識與技能了解導數在實際問題中的應用，對給出的實際問題，如使利潤最大、效率最高、用料最省等問題，體會導數在解決實際問題中的作用2過程與方法能利用導數求出某些特殊問題的最值 本節(jié)重點：利用導數知識解決實際中的最優(yōu)化問題本節(jié)難點：將實際問題轉化為數學問題，建立函數模型解決最優(yōu)化問題的關鍵是建立函數模型，因此需先審清題意，細致分析實際問題中各個量之間的關系，正確設定所求最大值或最小值的因變量y與自變量x，把實際問題化為數學問題，即列出函數關系式y(tǒng)f(x)，根據實際問題確定yf(x)的定義域 解應用題的思路和方法解應用題首先要在閱讀材料、理解題意的基礎上把實際問題抽象成數學
2、問題，就是從實際問題出發(fā)，抽象概括，利用數學知識建立相應的數學模型，再利用數學知識對數學模型進行分析、研究，得到數學結論，然后再把數學結論返回到實際問題中去，其思路如下： (1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，找出問題的主要關系；(2)建模：將文字語言轉化成數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)解模：把數學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數學方法求解；(4)對結果進行驗證評估，定性定量分析，做出正確的判斷，確定其答案注意：實際應用中，準確地列出函數解析式并確定函數定義域是關鍵 生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題 例1在邊長為60
3、cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？ 解析設箱高為xcm，則箱底邊長為(602x)cm，則得箱子容積V是x的函數，V(x)(602x)2x(0 x30)4x3240 x23600 x. V(x)12x2480 x3600，令V(x)0，得x10，或x30(舍去)當0 x0，當10 x30時，V(x)0.當x10時，V(x)取極大值，這個極大值就是V(x)的最大值V(10)16000(cm 3) 答：當箱子的高為10cm，底面邊長為40cm時，箱子的體積最大，最大容積為16000cm 3.點評
4、在解決實際應用問題中，如果函數在區(qū)間內只有一個極值點，那么只需根據實際意義判定是最大值還是最小值不必再與端點的函數值進行比較 已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y4x2在x軸上方的曲線上，求這個矩形面積最大時的長和寬解析如圖所示，設出AD的長，進而求出AB，表示出面積S，然后利用導數求最值設AD2x(0 x2)，則ABy4x2，則矩形面積為S2x(4x2)(0 x2)，即S8x2x 3， 例2將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問如何截法使正方形與圓面積之和最小？ 點評該題中涉及的量較多，一定要通過建立各個量之間的關系，通過消元法達到建立函數關系式的
5、目的 已知圓柱的表面積為定值S，求當圓柱的容積V最大時圓柱的高h的值 例3某汽車生產企業(yè)上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛，本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0 x1)，則出廠價相應提高的比例為0.7x，年銷售量也相應增加已知年利潤(每輛車的出廠價每輛車的投入成本)年銷售量 解析(1)由題意得：本年度每輛車的投入成本為10(1x)；出廠價為13(10.7x)，年銷售量為5000(10.4x)因此本年度的年利潤為：p13(10.7x)10(1x)5000(10.4x)(30.9x)500
6、0(10.4x)1800 x21500 x15000(0 x1) (1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產量x(件)表示的函數關系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產量應定為多少件？ 例4甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數，并指出這個函數的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？ 一、選擇題1三次函數當x1時，有極大值4；當x3時，有極小值0，且函數
7、過原點，則此函數是()Ayx36x29xByx36x29xCyx36x29xDyx36x29x答案B 答案A解析f(x)3x23b3(x2b)，令f(x)0，即x2b0， 答案D 答案C 二、填空題5面積為S的一切矩形中，其周長最小的是_ 故面積為S的一切矩形中，其周長最小的是以為邊長的正方形 6函數f(x)x2(2x)的單調遞減區(qū)間是_ 三、解答題7用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90角，再焊接成水箱問：水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大？最大容積是多少？ 令V(x)0得，x0(舍)或x80.當x在(0,120)內變化時，導數V(x)的正負如下表：答：水箱底邊長取80cm時，容積最大，最大容積為128000cm 3.x (0,80) 80 (80,120)V(x)0
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