微積分論文_高等數(shù)學(xué)論文

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1、微積分論文 高等數(shù)學(xué)論文 淺談微積分中的反例 　　摘要： 本文列舉了微積分中常見的典型反例，并論述了反例在微積分教學(xué)中的作用：一方面可以強(qiáng)化概念、揭示概念的內(nèi)涵，準(zhǔn)確把握概念之間的關(guān)系，透徹理解定理的條件；另一方面有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能。 　　關(guān)鍵詞： 反例；微積分；函數(shù)；微分；積分 　　0引言 　　用命題形式給出的一個數(shù)學(xué)問題，要判斷它是錯誤的，利用只滿足命題的條件但是結(jié)論不成立的例證，就足以否定這個命題，這就是反例。通過舉出反例從而證明一個命題的虛假性的方法叫做反例法。反例思想是微積分中的重要思想，用逆向思維方法從問題反面出發(fā)，可以解決

2、用直接方法很難或無法解決的問題。在微積分中存在大量的反例，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了它的具體內(nèi)容，除了它能幫助學(xué)生深入地理解有關(guān)數(shù)學(xué)對象性質(zhì)之外，還促進(jìn)了學(xué)生的辨證思維方式的形成。 　　1連續(xù)、可導(dǎo)、可微問題 　　微積分中對于無窮大與無界、極大(小)值與最大(小)值以及可導(dǎo)與連續(xù)等容易混淆的概念之間的關(guān)系，可以通過運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢M(jìn)行準(zhǔn)確理解把握。同時也能培養(yǎng)與提高學(xué)生的辯證思維能力。 　　情形1 若函數(shù)f（x）在a連續(xù)， 則函數(shù)f（x）在a也連續(xù)，但其逆命題不成立。 　　反例：函數(shù) 　　f（x）=1，x?叟0-1，x<0， 　　雖然f（x）=1在x=0處連續(xù)， 但f（x）在x=0

3、處不連續(xù)。 　　情形2 可導(dǎo)函數(shù)必定是連續(xù)函數(shù)。那么“連續(xù)函數(shù)必定是可導(dǎo)函數(shù)？答：不一定。 　　反例：函數(shù)f（x）=x+1，在x=0連續(xù)，但在x=0不可導(dǎo)，事實(shí)上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0連續(xù)；但極限==1或-1不相等， 所以f（x）在x=0不可導(dǎo)。 　　情形3 函數(shù)f（x）在x=x0處可導(dǎo)， 則函數(shù)f（x）在x=x0的鄰域內(nèi)不一定連續(xù)。 　　反例：函數(shù) 　　f（x）=x，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)， 　　在x=0處可導(dǎo)，但在0點(diǎn)的任何鄰域， 除0點(diǎn)外都不連續(xù)。 　　情形4 f（x）在x=x0處可導(dǎo)， 則f（x）在x=x0處是否有連續(xù)導(dǎo)數(shù)？

4、 　　反例：函數(shù)f（x）=xcosx≠0 0x=0 在x=0處可導(dǎo)， 但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。 　　事實(shí)上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0處可導(dǎo)，但當(dāng)x≠0時，f′（x）=2xcos-xsin?-=2xcos+sin 　　極限f′（x）=2xcos-xsin?-=2xcos+sin不存在，即f（x）的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。 　　綜上歸結(jié)，對一元函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0可有：可微?圳可導(dǎo) 連續(xù) 　　有極限。通過恰當(dāng)?shù)姆蠢梢钥旖荻鴾?zhǔn)確地把握它們之間所存在的關(guān)系。 　　情形5 當(dāng)f（x0）≠0時，由f（x）在x0可導(dǎo)不一定能推出f（x）在x0可導(dǎo)。 　　反例 ：函數(shù)f（x）=

5、 x，x∈[0，1]-x，x∈[1，2]，而f（x）=x，x∈[0，2]， 顯然f（x）在x0=1處可導(dǎo)，但f（x）在x0=1處不可導(dǎo)。 　　情形6下面命題是否成立：若f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)必定存在ξ，使得f′（ξ）=？ 　　事實(shí)上，舉出這樣的反例：f（x）=x，0 　　2可積問題 　　情形7若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上可積，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上也可積，且f（x）dx?燮f（x）dx，但其逆命題不成立，即當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上可積時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上不一定可積。 　　反例：函數(shù) 　　f（x）= 1，x為有理數(shù)-

6、1，x為無理數(shù) 　　函數(shù)在[0，1]上不可積，而f（x）≡1，這是常函數(shù)，顯然在[0，1]上可積。 　　3無窮大量與無界量問題 　　情形8 無窮大量是無界量， 但無界量不一定是無窮大量。 　　反例：f（x）=xcosx 當(dāng)x→∞時f（x）為無界量。事實(shí)上，對無論多大的G>0，總存在x=nπ，當(dāng)n>時，有f（x）=nπcosnπ=nπ>G然而，當(dāng)x→∞時，若取x=nπ+此時f（x）=nπ+cosnπ+=0。即f（x）并不趨于∞。 　　4函數(shù)的極大(小)值與最大(小)值問題 　　情形9[4]可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。 　　反例：x=0

7、是函數(shù)f（x）=x3的駐點(diǎn)，但不是其極值點(diǎn)。 　　情形10 函數(shù)f（x）的極大(小)值不一定就是最大(小)值。 　　反例：函數(shù)f（x）=x-4x+3x+1，x∈[-1，3]，由于f′（x）=4x-8x+3=4（x-1）-1，易見x=或x=為f（x）的穩(wěn)定點(diǎn)，列表如下： 　　由上表可知：點(diǎn)為f（x）的極大值點(diǎn)，極大值為；點(diǎn)x=為f（x）的極小值點(diǎn)，極小值為1。但函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=3取得最大值為6，在點(diǎn)x=-1取得最小值為-。 　　上述歸結(jié)，若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上一定有最大、最小值。若函數(shù)f（x）的最大(小)值點(diǎn)x0在區(qū)間內(nèi)，則x0必定是

8、f（x）的極大(小)值點(diǎn)。但f（x）的最大(小)值也可能在區(qū)間端點(diǎn)處取得，則f（x）的極大(小)值不一定就是最大(小)值，要通過比較才能確定。 　　5結(jié)語 　　微積分中的反例有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力,突出數(shù)學(xué)所表達(dá)的逆向思維以及體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.透徹理解命題、定理?xiàng)l件的充分性及必要性,為了分清條件的充分性與必要性使用恰當(dāng)?shù)姆蠢欠浅Ｓ泻锰幍?。反例對鞏固和加深對概念與定理的理解，以及對掌握相關(guān)概念的差異和層次方面有著正面說明或證明所無法取代的作用。 　　在微積分的教學(xué)中，反例的試舉已成為提高教學(xué)質(zhì)量的重要的一環(huán)。另一方面：“反例教學(xué)”對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力方面的作用也是顯著的。它不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生縱向思維能力，而且有助于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的橫向思維能力，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，并使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)格推理、全面分析問題的能力。 　　參考文獻(xiàn)： 　　[1]劉福保.反例教學(xué)法在數(shù)學(xué)分析中的作用和構(gòu)造[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2009，NO.11. 　　[2]薛迎杰.淺談反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].中國校外教育，下旬刊. 　　[3]馬建珍.反例在數(shù)學(xué)分析中的作用[J].宜賓學(xué)院學(xué)報，2006，6（12）. 　　[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版) [M].北京：高等教育出版社，2001.