高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語 1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件課件 文.ppt

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第一章 集合與常用邏輯用語,§1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件,,,內(nèi)容索引,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,思想與方法系列,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.四種命題及相互關(guān)系,若q ，則p,若 ? q ，則? p,若 ?p，則? q,,知識梳理,1,,答案,2.四種命題的真假關(guān)系 (1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有 的真假性； (2)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.,相同,,答案,充分,必要,充分不必要,充要,必要不充分,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢? (1)“x2＋2x－30”是命題.( ) (2)命題“α＝ ，則tan α＝1”的否命題是“若α＝ ，則tan α≠1”.( ) (3)若一個(gè)命題是真命題，則其逆否命題是真命題.( ) (4)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件.( ) (5)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.( ) (6)若p是q的充分不必要條件，則?p是?q的必要不充分條件.( ),×,×,√,√,√,√,,答案,思考辨析,1.(2015·山東改編)若m∈R, 命題“若m0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題是___________________________________. 解析 原命題為“若p，則q”，則其逆否命題為“若?q，則? p”. ∴所求命題為“若方程x2＋x－m＝0沒有實(shí)根，則m≤0”.,若方程x2＋x－m＝0沒有實(shí)根，則m≤0,,,考點(diǎn)自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知命題p：若x＝－1，則向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線，則在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為___. 解析 向量a，b共線?x－x(x＋2)＝0?x＝0或x＝－1， ∴命題p為真，其逆命題為假， 故在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為2.,2,,解析答案,1,2,3,4,5,3.記不等式x2＋x－60的解集為集合A，函數(shù)y＝lg(x－a)的定義域?yàn)榧螧.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________. 解析 不等式x2＋x－60的解集為A＝(－3,2)， 函數(shù)y＝lg(x－a)的定義域?yàn)锽＝(a，＋∞). 由“x∈A”是“x∈B”的充分條件， 得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－3].,(－∞，－3],,解析答案,1,2,3,4,5,解析 當(dāng)－1a0，－1b0時(shí)，,既不充分也不必要,,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)下列命題： ①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分條件； ②圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的充分必要條件； ③sin α＝sin β是α＝β的充要條件； ④ab≠0是a≠0的充分不必要條件. 其中為真命題的是______(填序號).,②④,,答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,,,例1 (1)命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)“的逆否命題是_________________________________. 解析 由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都是偶數(shù)”， “x＋y是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x＋y不是偶數(shù)”， 故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”.,題型一 命題及其關(guān)系,若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù),,解析答案,(2)原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是___.(填序號) ①真，假，真 ②假，假，真 ③真，真，假 ④假，假，假 解析 先證原命題為真：當(dāng)z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)， 設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)， 則z2＝a－bi，則|z1|＝|z2|＝ ∴原命題為真，故其逆否命題為真； 再證其逆命題為假：取z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|， 但是z1，z2不互為共軛復(fù)數(shù)， ∴其逆命題為假，故其否命題也為假.,②,,解析答案,思維升華,,思維升華,(1)寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意： ①對于不是“若p，則q“形式的命題，需先改寫； ②若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提. (2)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例. (3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,(2)命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是______________ ____________. 解析 “若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是“若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0”.,若a≠0或b≠0，,則a2＋b2≠0,,解析答案,,,題型二 充分必要條件的判定,例2 (1)(2015·四川)設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“3a＞3b＞3”是“l(fā)oga3＜logb3”的___________條件. 解析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出a，b的大小關(guān)系，然后進(jìn)行判斷. ∵3a3b3， ∴ab1，此時(shí)loga33b3，,故“3a3b3”是“l(fā)oga3logb3”的充分不必要條件.,充分不必要,,解析答案,解析 若a0，b0，,則ab0，不一定有a0，b0.,充分不必要,,解析答案,思維升華,,思維升華,充要條件的三種判斷方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷； (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷； (3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件.,(1)(2015·陜西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的___________條件. 解析 ∵sin α＝cos α?cos 2α＝cos2α－sin2α＝0； cos 2α＝0?cos α＝±sin α sin α＝cos α.,充分不必要,跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,所以p是q的充分條件； 若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函數(shù)，則sin φ＝±1，,所以p是q的必要條件，故p是q的充要條件.,充要,,解析答案,,,題型三 充分必要條件的應(yīng)用,例3 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍. 解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.,∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3].,,解析答案,1.本例條件不變，問是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件. 解 若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，,即不存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.,,解析答案,引申探究,2.本例條件不變，若x∈?P是x∈?S的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解 由例題知P＝{x|－2≤x≤10}， ∵?P是?S的必要不充分條件，,∴[－2,10][1－m,1＋m].,∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞).,,解析答案,思維升華,,思維升華,充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時(shí)需注意： (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解. (2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).,(1)方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是________.,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,解析 當(dāng)a＝0時(shí)，原方程為一元一次方程2x＋1＝0，有一個(gè)負(fù)實(shí)根. 當(dāng)a≠0時(shí)，原方程為一元二次方程，有實(shí)根的充要條件是Δ＝4－4a≥0， 即a≤1. 設(shè)此時(shí)方程的兩根分別為x1，x2，,,解析答案,綜上所述，a≤1. 答案 a≤1,(2)已知條件p：2x2－3x＋1≤0，條件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若?p是?q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.,?p對應(yīng)的集合A＝{x|x1或xa＋1或xa}. ∵?p是?q的必要不充分條件，,,解析答案,返回,,思想與方法系列,,典例 (1)已知p：(a－1)2≤1，q：?x∈R，ax2－ax＋1≥0，則p是q成立的____________條件. 解析 由(a－1)2≤1解得0≤a≤2， ∴p：0≤a≤2. 當(dāng)a＝0時(shí)，ax2－ax＋1≥0對?x∈R恒成立；,∴q：0≤a≤4. ∴p是q成立的充分不必要條件.,充分不必要,,思想與方法系列,1.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用,,解析答案,(2)已知條件p：x2＋2x－30；條件q：xa，且?q的一個(gè)充分不必要條件是?p，則a的取值范圍是__________. 解析 由x2＋2x－30，得x1， 由?q的一個(gè)充分不必要條件是?p， 可知?p是?q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件. ∴{x|xa}{x|x1}， ∴a≥1.,[1，＋∞),,解析答案,返回,溫馨提醒,,溫馨提醒,,返回,(1)本題用到的等價(jià)轉(zhuǎn)化 ①將?p，?q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成p，q之間的關(guān)系. ②將條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成集合之間的關(guān)系. (2)對一些復(fù)雜、生疏的問題，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化成簡單、熟悉的問題，經(jīng)常被用到.,,思想方法 感悟提高,1.寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題、逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定. 2.充要條件的幾種判斷方法 (1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假. (2)等價(jià)法：即利用A?B與?B??A；B?A與?A??B；A?B與?B??A的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法. (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若AB，則p是q的充分不必要條件，若A＝B，則p是q的充要條件.,方法與技巧,1.當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其他三種命題時(shí)，必須保留大前提. 2.判斷命題的真假及寫四種命題時(shí)，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若p，則q”的形式. 3.判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個(gè)充分不必要條件是q”等語言.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是“__________ _______________________”. 解析 依題意，得原命題的逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù).,15,16,17,18,若一個(gè)數(shù)的,平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù),,解析答案,2.(2015·天津改編)設(shè)x∈R，則“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的___________條件. 解析 由|x－2|＜1得1＜x＜3， 所以1＜x＜2?1＜x＜3；,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,3.給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是___. 解析 原命題是真命題，故它的逆否命題是真命題； 它的逆命題為“若函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四象限，則函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)”， 顯然逆命題為假命題，故原命題的否命題也為假命題. 因此在它的逆命題、否命題、逆否命題3個(gè)命題中真命題只有1個(gè).,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,其中等號成立的充要條件是a＝b， 因此a≠b是abxy的充要條件.,充要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,5.設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的___________條件. 解析 因?yàn)榱庑蔚膶蔷€互相垂直， 所以“四邊形ABCD為菱形”?“AC⊥BD”， 所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件； 又因?yàn)閷蔷€垂直的四邊形不一定是菱形， 所以“AC⊥BD” “四邊形ABCD為菱形”， 所以“四邊形ABCD為菱形”不是“AC⊥BD”的必要條件. 綜上，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,令f(x)＝2x－sin 2x. ∴f′(x)＝2－2cos 2x＞0，,必要不充分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,7. “a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的__________________條件. 解析 “a≠5且b≠－5”推不出“a＋b≠0”， 例如a＝2，b＝－2時(shí)，a＋b＝0； “a＋b≠0”推不出“a≠5且b≠－5”， 例如a＝5，b＝－6. 故“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的既不充分也不必要條件.,既不充分也不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)過點(diǎn)(1,0)， 所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝－2x＋a(x≤0)沒有零點(diǎn)? 函數(shù)y＝2x(x≤0)與直線y＝a無公共點(diǎn). 由數(shù)形結(jié)合，可得a≤0或a1.,a≤0或a1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,9.“若a≤b，則ac2≤bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是____. 解析 其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,10.若xm＋1是x2－2x－30的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______. 解析 由已知易得{x|x2－2x－30}{x|xm＋1}， 又{x|x2－2x－30}＝{x|x3}，,[0,2],∴0≤m≤2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,11.給定兩個(gè)命題p、q，若?p是q的必要而不充分條件，則p是?q的___________條件. 解析 若?p是q的必要不充分條件， 則q??p但?p q，其逆否命題為p??q但?q p， 所以p是?q的充分不必要條件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,12.下列命題： ①若ac2bc2，則ab； ②若sin α＝sin β，則α＝β； ③“實(shí)數(shù)a＝0”是“直線x－2ay＝1和直線2x－2ay＝1平行”的充要條件； ④若f(x)＝log2x，則f(|x|)是偶函數(shù). 其中正確命題的序號是________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,解析 對于①，ac2bc2，c20，∴ab正確； 對于②，sin 30°＝sin 150° 30°＝150°， 所以②錯(cuò)誤； 對于③，l1∥l2?A1B2＝A2B1， 即－2a＝－4a?a＝0且A1C2≠A2C1， 所以③正確； ④顯然正確. 答案 ①③④,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,13.給出下列三個(gè)命題： ①“ab”是“3a3b”的充分不必要條件； ②“αβ”是“cos αb”是“3a3b”的充要條件，①錯(cuò)誤； “αβ”是“cos αcos β”的既不充分也不必要條件，②錯(cuò)誤； “a＝0”是“函數(shù)f(x)＝x3＋ax2 (x∈R)為奇函數(shù)”的充要條件，③正確. 故正確命題的序號為③.,③,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,解析 若p成立，設(shè)a1，a2，…，an的公比為q，,(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2， 故q成立，故p是q的充分條件. 取a1＝a2＝…＝an＝0，,則q成立，而p不成立， 故p不是q的必要條件. 即p是q的充分不必要條件. 答案 充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,15.如果對于任意實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|1成立”的___________條件. 解析 若[x]＝[y]，則|x－y|1； 反之，若|x－y|1，如取x＝1.1，y＝0.9，則[x]≠[y]， 即“[x]＝[y]”是“|x－y|1成立”的充分不必要條件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,(2，＋∞),∵x∈B成立的一個(gè)充分不必要條件是x∈A， ∴AB， ∴m＋13， 即m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,充分不必要,17.設(shè)a，b為正數(shù)，則“a－b1”是“a2－b21”的___________條件. 解析 ∵a－b1，即ab＋1. 又∵a，b為正數(shù)， ∴a2(b＋1)2＝b2＋1＋2bb2＋1， 即a2－b21成立，,所以“a－b1”是“a2－b21”的充分不必要條件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,18.下列結(jié)論正確的是________. ①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要條件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件； ③若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b全不為零”的充要條件；④若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為零”的充要條件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,解析答案,返回,解析 由λ＝0可以推出λa＝0， 但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正確. 由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形， 但是由△ABC是直角三角形不能確定哪個(gè)角是直角， 所以②不正確. 由a2＋b2≠0可以推出a，b不全為零， 反之，由a，b不全為零可以推出a2＋b2≠0， 所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全為零”的充要條件， 而不是“a，b全不為零”的充要條件，③不正確，④正確. 答案 ①④,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,,返回,