高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.8 圓錐曲線的綜合問題 課時3 定點(diǎn)、定值、探索性問題課件 文.ppt

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,§9.8 圓錐曲線的綜合問題,課時3 定點(diǎn)、定值、探索性問題,,,內(nèi)容索引,,,題型一 定點(diǎn)問題,題型二 定值問題,題型三 探索性問題,,思想方法 感悟提高,,思想與方法系列,練出高分,,,題型一 定點(diǎn)問題,(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；,解 設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2， 又a2＝b2＋c2，所以a2＝3.,,,題型一 定點(diǎn)問題,,解析答案,(2)若λ1＋λ2＝－3，試證明：直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn).,,解析答案,思維升華,解 由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 設(shè)l方程為x＝t(y－m)，,∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0， ①,,解析答案,思維升華,,∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)0， ②,③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0， ∴(mt)2＝1， 由題意mt0，∴mt＝－1，滿足②， 得l方程為x＝ty＋1，過定點(diǎn)(1,0)，即Q為定點(diǎn).,思維升華,,思維升華,圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法 (1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn). (2)特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).,(1)求橢圓E的方程；,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,,解析答案,返回,即QC＝QD， 所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y0). 當(dāng)直線l與x軸垂直時，設(shè)直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，,解 當(dāng)直線l與x軸平行時，設(shè)直線l與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，,,解析答案,解得y0＝1或y0＝2， 所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件， 則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為(0,2)，,當(dāng)直線l的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立， 當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，,,解析答案,其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，,易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(－x2，y2)，,,解析答案,,返回,,題型二 定值問題,,,題型二 定值問題,,解析答案,,解析答案,思維升華,證明 由題意可得A1(－2,0)，A2(2,0).,設(shè)P(x0，y0)，由題意可得－2x02，,,解析答案,思維升華,,思維升華,,思維升華,圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 (1)求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值； (2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得； (3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.,(1)求動點(diǎn)Q的軌跡C的方程；,跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,解 依題意知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP， ∴RQ是線段FP的垂直平分線. ∵點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上， ∴PQ＝QF， 又PQ是點(diǎn)Q到直線l的距離， 故動點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝2x(x0).,(2)設(shè)圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動時，弦長TS是否為定值？請說明理由.,解 弦長TS為定值.理由如下： 取曲線C上點(diǎn)M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0，,,解析答案,返回,,題型三 探索性問題,例3 (2015·湖北)一種畫橢圓的工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處的鉸鏈與ON連結(jié)，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN＝ON＝1，MN＝3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C.以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系. (1) 求橢圓C的方程；,,,題型三 探索性問題,,解析答案,解 因?yàn)镺M≤MN＋NO＝3＋1＝4， 當(dāng)M，N在x軸上時，等號成立； 同理OM≥MN－NO＝3－1＝2， 當(dāng)D，O重合，即MN⊥x軸時，等號成立.,(2) 設(shè)動直線l與兩定直線l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分別交于P，Q兩點(diǎn).若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.,,解析答案,思維升華,,解析答案,思維升華,消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.,因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，,所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0， 即m2＝16k2＋4.(*1),,解析答案,思維升華,,解析答案,思維升華,,解析答案,思維升華,,所以當(dāng)k＝0時，S△OPQ的最小值為8. 綜合①②可知，當(dāng)直線l與橢圓C在四個頂點(diǎn)處相切時，△OPQ的面積取得最小值8.,思維升華,,思維升華,解決探索性問題的注意事項 探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在. (1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論； (2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件； (3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法.,,解 拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為橢圓E的頂點(diǎn)，即a＝2.,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,,解析答案,返回,解 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，,∴P(x1＋x2，y1＋y2)，,,解析答案,得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.,設(shè)T(t,0)，Q(－4，m－4k)，,,解析答案,∵4k2＋3＝4m2，,,解析答案,則1＋t＝0，∴t＝－1，,,返回,,思想與方法系列,,,,思想與方法系列,20.設(shè)而不求，整體代換,,解析答案,規(guī)范解答 解 由于c2＝a2－b2，,(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連結(jié)PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點(diǎn)M(m,0)，求m的取值范圍；,,解析答案,解 設(shè)P(x0，y0) (y0≠0)，,PF1,PF2,,解析答案,,,思維點(diǎn)撥,解析答案,返回,溫馨提醒,解 設(shè)P(x0，y0) (y0≠0)， 則直線l的方程為y－y0＝k(x－x0).,,解析答案,溫馨提醒,,溫馨提醒,,溫馨提醒,,返回,對題目涉及的變量巧妙地引進(jìn)參數(shù)(如設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)、動直線方程等)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，達(dá)到“設(shè)而不求，減少計算”的效果，直接得定值.,,思想方法 感悟提高,1.求定值問題常見的方法有兩種 (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān). (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值. 2.定點(diǎn)的探索與證明問題 (1)探索直線過定點(diǎn)時，可設(shè)出直線方程為y＝kx＋b，然后利用條件建立b、k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn). (2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).,方法與技巧,1.在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況. 2.中點(diǎn)弦問題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證Δ0或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部. 3.解決定值、定點(diǎn)問題，不要忘記特值法.,,失誤與防范,,返回,,練出高分,,又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，,1,2,3,4,5,,解析答案,(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.,1,2,3,4,5,,解析答案,解 假設(shè)存在符合題意的直線l，,1,2,3,4,5,,解析答案,因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)， 所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，,1,2,3,4,5,,解析答案,所以不存在符合題意的直線l.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,解 由已知，點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)，,1,2,3,4,5,,解析答案,解 當(dāng)直線AB的斜率存在時， 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，,1,2,3,4,5,,解析答案,其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，,＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1,1,2,3,4,5,,解析答案,當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，,1,2,3,4,5,,1,2,3,4,5,,解析答案,(2)過點(diǎn) 的動直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)Q，使得以線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.,1,2,3,4,5,,解析答案,當(dāng)l與y軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1.,1,2,3,4,5,,解析答案,故若存在定點(diǎn)Q，則Q的坐標(biāo)只可能為Q(0,1). 下面證明Q(0,1)為所求： 若直線l的斜率不存在，上述已經(jīng)證明.,A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,Δ＝144k2＋64(9＋18k2)0，,,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,(2)過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證兩切線斜率之積為定值.,1,2,3,4,5,,解析答案,證明 設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，過點(diǎn)P的橢圓E的切線l0的方程為y－y0＝k(x－x0)整理得y＝kx＋y0－kx0，,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,5.(2014·福建)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y＝－3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程；,1,2,3,4,5,,解析答案,解 方法一 (1)設(shè)S(x，y)為曲線Γ上任意一點(diǎn)， 依題意，點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y＝－1的距離相等， 所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y＝－1為準(zhǔn)線的拋物線， 所以曲線Γ的方程為x2＝4y. 方法二 設(shè)S(x，y)為曲線Γ上任意一點(diǎn)，,1,2,3,4,5,,解析答案,依題意，點(diǎn)S(x，y)只能在直線y＝－3的上方，,1,2,3,4,5,化簡，得曲線Γ的方程為x2＝4y.,(2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,1,2,3,4,5,,解析答案,返回,解 當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動時，線段AB的長度不變.證明如下：,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,所以點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動時，線段AB的長度不變.,1,2,3,4,5,,返回,