高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.4 數(shù)列求和課件 文 北師大版.ppt

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6.4 數(shù)列求和,考綱要求:1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. 2.掌握非等差、非等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法.,1.基本數(shù)列求和方法 2.非基本數(shù)列求和常用方法 (1)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的. (2)分組求和法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和后再相加減.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.,(3)并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中兩兩結(jié)合后可求和,則可用并項(xiàng)求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn. (4)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來(lái)求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的. (5)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.,2,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”. (1)當(dāng)n≥2時(shí), . ( ) (2)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,當(dāng)a≠0,且a≠1時(shí),求Sn的值可用錯(cuò)位相減法求得. ( ) (3)求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的和,可用倒序相加法. ( ) (4)如果數(shù)列{an}是周期為k的周期數(shù)列,那么Skm=mSk(m,k為大于1的正整數(shù)). ( ) (5)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,則有 ( ),×,√,√,√,√,2,3,4,1,5,2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n,則數(shù)列 的前100項(xiàng)和為( ),答案,解析,2,3,4,1,5,3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n-1·(4n-3),則它的前100項(xiàng)之和S100等于( ) A.200 B.-200 C.400 D.-400,答案,解析,2,3,4,1,5,4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=ncos +1,前n項(xiàng)和為Sn,則S2 016= .,答案,解析,2,3,4,1,5,5.1·3+2·32+3·33+…+n·3n= .,答案,解析,2,3,4,1,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.含有字母的數(shù)列求和,常伴隨著分類(lèi)討論. 2.錯(cuò)位相減法中,兩式相減后,構(gòu)成等比數(shù)列的有(n-1)項(xiàng),整個(gè)式子共有(n+1)項(xiàng). 3.用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),裂項(xiàng)相消后,前面剩余幾項(xiàng),后面就剩余幾項(xiàng). 4.數(shù)列求和后,要注意化簡(jiǎn),通常要進(jìn)行通分及合并同類(lèi)項(xiàng)的運(yùn)算.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1分組求和與并項(xiàng)求和 例1(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n·(3n-2),則a1+a2+…+a10等于( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 思考:具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合并項(xiàng)求和?,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)(2015福建,文17)等差數(shù)列{an}中,a2=4,a4+a7=15. ①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; ②設(shè)bn= +n,求b1+b2+b3+…+b10的值.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合分組求和? 解題心得:1.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)nf(n),一般利用并項(xiàng)求和法求數(shù)列前n項(xiàng)和. 2.具有下列特點(diǎn)的數(shù)列適合分組求和 (1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差數(shù)列或等比數(shù)列,可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和; (2)通項(xiàng)公式為 的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 (1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)在等比數(shù)列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=a1,b4=a2,b13=a3. ①求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; ②記cn=(-1)nbn+an,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)2錯(cuò)位相減法求和 例2(2015天津,文18)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7. (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)cn=anbn,n∈N+,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.,答案,思考:具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合用錯(cuò)位相減法求和? 解題心得:1.一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和,解題思路是:和式兩邊同乘等比數(shù)列{bn}的公比,然后作差求解. 2.在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí),應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 (2015浙江,文17)已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N+), (n∈N+). (1)求an與bn; (2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求Tn.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)3裂項(xiàng)相消法求和 例3(2015安徽,文18)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和, ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.,答案,思考:裂項(xiàng)相消法的基本思想是什么? 解題心得:裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把a(bǔ)n分拆成an=bn+k-bn(k∈N+)的形式,從而達(dá)到在求和時(shí)絕大多數(shù)項(xiàng)相消的目的.在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,使之符合裂項(xiàng)相消的條件.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=10,a2為整數(shù),且Sn≤S4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè) ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.數(shù)列求和,一般應(yīng)從通項(xiàng)入手,若通項(xiàng)未知,先求通項(xiàng),然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式,從而選擇合適的方法求和. 2.解決非等差、非等比數(shù)列的求和,主要有兩種思路 (1)轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成; (2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列,往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來(lái)求和.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.直接應(yīng)用公式求和時(shí),要注意公式的應(yīng)用范圍. 2.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào). 3.在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱(chēng)性,即前面剩多少項(xiàng),后面就剩多少項(xiàng).,