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1、反函數(shù)的概念 在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某個實數(shù)集合D內的每一個確定的值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的實數(shù)值與它對應，那么y就是x的函數(shù)，記作y=f(x)，x D，x叫做自變量，y叫做因變量，x的取值范圍D叫做函數(shù)的定義域，和x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域 函數(shù)的概念 一般地，對于函數(shù)y=f(x)，設它的定義域為D，值域為A如果對A中任意一個值y，在D中總有唯一確定的x值與它對應，且滿足y=f(x)，這樣得到的x關于y的函數(shù)叫做y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f -1(y) 反函數(shù)的概念y=f -1(x) (x A) 求反函數(shù)的步驟：(1)
2、由y=f(x)解出x=f -1(y)；(2) 求出y=f(x)的值域 A (y A)；(3) 寫成 y=f -1(x) (x A) (1)例1、求下列函數(shù)的反函數(shù) (2)(3)(4) ( 且 )4 2y x 3 1y x 2 1( 0)y x x 3 14 2xy x xR 12x 例2(1) 函數(shù) 有沒有反函數(shù)？ (2) 求函數(shù) 的反函數(shù) 2,y x x R 2, 0y x x , 0y x x 例3若函數(shù) ，求 的值 2 1( ) ( )2f x x x x 1(2)f 1(2) 2f 設函數(shù) ， 的圖像與其反函數(shù)的圖像重合，求 的解析式 ( )f x例4 2( ) xf x x b (
3、)f x2( ) 1xf x x 互為反函數(shù)圖像的關系函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關于直線 y=x 對稱 證明如下：( )y f x 1( )y f x在函數(shù)y=f(x)的圖像上任意取一點A，設點A的坐標為(a,b)則b=f(a)由反函數(shù)的定義可知：a=f -1(b)，點B(b,a)在函數(shù)y=f -1(x)的圖像上而點A與點B關于直線 y=x 對稱，故函數(shù) y=f(x)與函數(shù) y=f -1(x)的圖像關于直線 y=x 對稱 已知函數(shù) ，判斷 與 是否是同一函數(shù) 例5 ),(),( DAAyDxxfy 1 ( )y f f x 1 ( )y f f x (1) 反函數(shù)是函數(shù)，反函數(shù)與原函數(shù)是相對的；小結
4、： (2) 求反函數(shù)的三個步驟；(3) 開平方時注意符號的選擇；(4) 互為反函數(shù)的圖像關于直線 y=x對稱；(5) 正確理解記號f -1(x) (1)已知 ，求 f(x)； 例6 1( ) 2 3, 1f x x x (2) 求函數(shù) 的反函數(shù) 2, (0 1), ( 1 0)x xy x x 21( ) ( 3) , 14f x x x 1 , (0 1)( ) , ( 1 0)x xf x x x 已知 和其反函數(shù)圖像都經過點(1,4)，求a、b的值 例7 ( )f x a x b a=-3,b=7 已知函數(shù) yf(x)與反函數(shù) 的圖像與直線 分別交于點 ，求 的值 例8 )(1 xfy
5、2 xy ),(),( 2211 yxByxA21 xx 1 2 2x x 已知函數(shù) ，函數(shù) y=g(x)的圖像與函數(shù) 的圖像關于直線 y=x對稱，求 g(5)的值 例9 132)( xxxf )1(1 xfy 9(5) 4g (1) 如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，是否一定存在 反函數(shù)？ 例10、回答下列問題： (2) 如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，是否一定沒有 反函數(shù)？ (3) 如果一個函數(shù)是單調函數(shù)，是否一定有 反函數(shù)？ (4) 如果一個函數(shù)不是單調函數(shù)，是否一定 沒有反函數(shù)？ 設函數(shù) ，則函數(shù) 的圖像是（ ） 例11 2( ) 1 1 ( 1 0)f x x x 1( )y f x1 1 xyO 11 xyO 1 1 xyO 11 xyO(A) (B) (C) (D) B 已知yf(x)為奇函數(shù)，當 ，設 f(x)的反函數(shù)是 yg(x)，求 g(8)的值 例12 0, ( ) 3 1xx f x g(-8)=-2 函數(shù) 有反函數(shù) ，當 滿足什么要求時，方程 有解 x=0，且 ？ 例13 ( ), ,y f x x D y A )(1 xfy )(1 xfy axf )(Dxxxf ,)( 1 1( ) 0, ( ) ,f a f x x x A
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