常系數(shù)齊次微分方程求解.ppt

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,第七節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程,基本思路:,求解常系數(shù)線性齊次微分方程,求特征方程(代數(shù)方程)之根,轉(zhuǎn)化,一、定義,n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)齊次線性微分方程,二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,-----特征方程法,將其代入上方程, 得,故有,特征方程,特點(diǎn),未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于0,即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子,猜想,有特解,由此可見(jiàn)? 只要r滿(mǎn)足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是 微分方程的解?,有兩個(gè)不相等的實(shí)根,特征根為,兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,得齊次方程的通解為,1. 當(dāng),2. 當(dāng),時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根,則微分方程有一個(gè)特解,設(shè)另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,,,是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,,,3. 當(dāng),時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:,因此原方程的通解為,小結(jié):,特征方程:,實(shí)根,以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,,,若特征方程含 k 重復(fù)根,若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng),則其通解中必含,對(duì)應(yīng)項(xiàng),特征方程:,推廣:,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例2. 求解初值問(wèn)題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問(wèn)題的解為,,,,例3.,,,解:,由第七節(jié)例1 (P293) 知, 位移滿(mǎn)足,質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,,在無(wú)外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),,初始,求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,立坐標(biāo)系如圖,,設(shè) t = 0 時(shí)物體的位置為,取其平衡位置為原點(diǎn)建,因此定解問(wèn)題為,,自由振動(dòng)方程 ,,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始條件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況 ( n = 0 ),解的特征:,,,簡(jiǎn)諧振動(dòng),A: 振幅,,? : 初相,,周期:,固有頻率,(僅由系統(tǒng)特性確定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:,2) 有阻尼自由振動(dòng)情況,大阻尼: n k,臨界阻尼: n = k,,,,( n k ),小阻尼自由振動(dòng)解的特征 :,,由初始條件確定任意常數(shù)后變形,運(yùn)動(dòng)周期:,振幅:,衰減很快,,隨時(shí)間 t 的增大物體 趨于平衡位置.,( n k ),大阻尼解的特征:,1) 無(wú)振蕩現(xiàn)象;,此圖參數(shù):,2) 對(duì)任何初始條件,即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,( n = k ),臨界阻尼解的特征 :,任意常數(shù)由初始條件定,,最多只與 t 軸交于一點(diǎn);,即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置.,2) 無(wú)振蕩現(xiàn)象 ;,例4.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解為,例5.,解: 特征方程:,特征根 :,原方程通解:,(不難看出, 原方程有特解,例6.,解: 特征方程:,即,其根為,方程通解 :,例7.,解: 特征方程:,特征根為,則方程通解 :,,作業(yè)：P- 340習(xí)題7-7 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3,