高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 8.6.1 橢圓的概念及其性質(zhì)課件(理).ppt

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第六節(jié) 橢 圓 第一課時 橢圓的概念及其性質(zhì),【知識梳理】 1.橢圓的定義 (1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離_____等于常數(shù)(大 于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓 的_____,兩焦點間的距離叫做橢圓的_____.,之和,焦點,焦距,(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù)且a0,c0. ①當2a|F1F2|時,M點的軌跡為橢圓; ②當2a=|F1F2|時,M點的軌跡為線段F1F2; ③當2a|F1F2|時,M點的軌跡不存在.,2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),,-b,b,-a,a,坐標軸,原點,-a,a,-b,b,(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),2a,2b,,2c,(0,1),b2+c2,【特別提醒】 1.在求橢圓的離心率時,橢圓中a,b,c之間的關(guān)系容易忽略. 2.橢圓的離心率的大小決定橢圓的扁平程度:離心率越大,橢圓越扁;離心率越小,橢圓越圓.,3.方程Ax2+By2=1(AB≠0)表示橢圓的充要條件是A0,B0且A≠B.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-1P49T2(1)改編)已知橢圓 =1的 焦點在x軸上,焦距為4,則m等于 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5,【解析】選A.因為橢圓 =1的焦點在x軸上. 所以 解得6m10. 因為焦距為4, 所以c2=m-2-10+m=4, 解得m=8.,2.(選修2-1P49T5(3)改編)已知橢圓的一個焦點為F(1, 0),離心率為 ,則橢圓的標準方程為 .,【解析】設(shè)橢圓的標準方程為 =1(ab0). 因為橢圓的一個焦點為F(1,0),離心率e= , 所以 故橢圓的標準方程為 答案:,感悟考題 試一試 3.(2016南昌模擬)矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,則以 A,B為焦點,且過C,D兩點的橢圓的短軸的長為 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4,【解析】選D.依題意得|AC|=5,所以橢圓的焦距為2c= |AB|=4,長軸長2a=|AC|+|BC|=8,所以短軸長為2b=,4.(2015全國卷Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓 =1的三個 頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標準方程為 .,【解析】設(shè)圓心為(a,0),則圓的方程為(x-a)2+y2=r2, 依題意得 解得a= ,r2= ,所以圓 的方程為 答案:,5.(2016三明模擬)已知橢圓 =1(ab0)的兩 焦點為F1,F2,以F1F2為邊作正三角形,若橢圓恰好平分 正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率為 .,【解析】設(shè)過左焦點F1的正三角形的邊交橢圓于點A, 則|AF1|=c,|AF2|= c,有2a=(1+ )c,所以e= 答案: -1,考向一 橢圓的定義及應用 【典例1】(1)(2016畢節(jié)模擬)點M為圓P內(nèi)不同于圓 心的定點,過點M作圓Q與圓P相切,則圓心Q的軌跡是 ( ) A.圓 B.橢圓 C.圓或線段 D.線段,(2)已知F1,F2是橢圓C: (ab0)的兩個焦點, P為橢圓C上的一點,且 若△PF1F2的面積為9, 則b= .,【解題導引】(1)設(shè)圓P的半徑為r,當點M在定圓P內(nèi)時 (非圓心),|QP|+|QM|=r為定值,可得軌跡. (2)注意到點P在橢圓上,則有|PF1|+|PF2|=2a,再利用 求出 的值,進而可求得b的值.,【規(guī)范解答】(1)選B.設(shè)圓P的半徑為r,當點M在定圓P內(nèi)時(非圓心),|QP|+|QM|=r為定值,軌跡為橢圓.,(2)由題意知|PF1|+|PF2|=2a, , 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, 所以2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1||PF2|=2b2,,所以 = |PF1||PF2|= 2b2=b2=9. 所以b=3. 答案:3,【母題變式】 1.將本例(2)中條件“ ”“△PF1F2的面積為9” 分別改為“∠F1PF2=60”“ =3 ”,則結(jié)果如 何?,【解析】由題意得|PF1|+|PF2|=2a, 又∠F1PF2=60, 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60=|F1F2|2, 所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4c2, 所以3|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2, 所以|PF1||PF2|= b2,,所以 = |PF1||PF2|sin60= 所以b=3.,2.將本例(2)中條件“△PF1F2的面積為9”去掉,試求離心率的取值范圍.,【解析】因為P為橢圓上的一點,且 , 所以b≤c, b2≤c2,a2-c2≤c2, ≥ ,又因為e是橢圓的離心率, 所以 ≤e1.,【規(guī)律方法】 1.橢圓定義的應用范圍 (1)確認平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓. (2)解決與焦點有關(guān)的距離問題.,2.焦點三角形的應用 橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”,利用定義可求其周長;利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|;通過整體代入可求其面積等.,【變式訓練】(2016南昌模擬)設(shè)F1,F2分別是橢圓E: x2+ =1(0b1)的左、右焦點,過F1的直線l與E相交于 A,B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列,則|AB|= ( ),【解析】選C.設(shè)橢圓E: (0b1),知a=1, 因為|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2, 兩式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4, 所以|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|. 因為|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列,,所以2|AB|=|AF2|+|BF2|,于是2|AB|=4-|AB|, 所以|AB|= .,【加固訓練】 1.(2016鄭州模擬)已知橢圓 =1(0b2)的左、 右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,若 |BF2|+|AF2|的最大值為5,則b的值是 ( ),【解析】選D.由橢圓的方程可知a=2,由橢圓的定義可 知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|) ≥3,由橢圓的性質(zhì)可知過橢圓焦點的弦中,垂直于焦點 所在坐標軸的弦最短,則 =3.所以b2=3,即b= .,2.(2016蘇州模擬)已知橢圓的方程是 =1(a5), 它的兩個焦點分別為F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB(橢圓上任 意兩點的線段)過點F1,則△ABF2的周長為 .,【解析】因為a5,所以橢圓的焦點在x軸上.因為|F1F2| =8,所以c=4,所以a2=25+c2=41,則a= .由橢圓定義, |AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a,所以△ABF2的周長為4a= 4 . 答案:4,3.點P是橢圓 =1上一點,F1,F2是橢圓的兩個焦 點,且△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1,當P在第一象限時,P點 的縱坐標為 .,【解析】依題意得:|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6, = (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)1=8= |F1F2|yP=3yP,所以 yP= . 答案:,考向二 橢圓的標準方程及其應用 【典例2】(1)若直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點,則該橢圓的標準方程為 ( ),(2)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2+ =1(0b1)的左、右焦 點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點.若|AF1|=3|F1B|, AF2⊥x軸,則橢圓E的方程為 .,【解題導引】(1)可利用已知條件確定橢圓的焦點與頂點,進而確定橢圓的方程. (2)可將|AF1|=3|F1B|轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系,利用向量的坐標得出關(guān)于b的方程,解方程即可求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.直線與坐標軸的交點為(0,1), (-2,0),由題意知當焦點在x軸上時,c=2,b=1, 所以a2=5,所求橢圓的標準方程為 +y2=1. 當焦點在y軸上時,b=2,c=1, 所以a2=5,所求橢圓標準方程為 =1.,(2)設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),其中c= 則可設(shè)A(c,b2),B(x0,y0), 由|AF1|=3|F1B|, 可得 故 即,代入橢圓方程可得 =1,解得b2= ,故橢圓 方程為x2+ =1. 答案:x2+ y2=1,【規(guī)律方法】求橢圓標準方程的兩種常用方法 (1)定義法:根據(jù)橢圓的定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程.,(2)待定系數(shù)法:若焦點位置明確,則可設(shè)出橢圓的標準方程,結(jié)合已知條件求出a,b;若焦點位置不明確,則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論,也可設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1(A0,B0,A≠B).,【變式訓練】(2016宜昌模擬)設(shè)θ是△ABC的一個內(nèi) 角,且sinθ+cosθ= ,x2sinθ-y2cosθ=1表示( ) A.焦點在x軸上的橢圓 B.焦點在y軸上的橢圓 C.焦點在x軸上的雙曲線 D.焦點在y軸上的雙曲線,【解析】選B.因為θ∈(0,π),且sinθ+cosθ= ,兩 邊平方可得,sinθcosθ= 0,所以,θ∈ , 且|sinθ||cosθ|,所以x2sinθ-y2cosθ=1表示焦點 在y軸上的橢圓.,【加固訓練】 1.已知橢圓C: =1(ab0)的左、右焦點為F1,F2, 離心率為 ,過F2的直線l交C于A,B兩點,若△AF1B的 周長為4 ,則C的方程為 ( ),【解析】選A.因為△AF1B的周長為4 ,所以4a=4 , 所以a= ,因為離心率為 ,所以c=1,所以b= ,所以橢圓C的方程為 =1.,2.(2016常州模擬)若方程 =1表示橢圓,則 k的取值范圍是 . 【解析】由已知得 解得3k5且k≠4. 答案:(3,4)∪(4,5),考向三 橢圓的幾何性質(zhì) 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:求橢圓離心率(或范圍) 【典例3】(2015福建高考)已知橢圓 E: =1(ab0)的右焦點為F,短 軸的一個端點為M,直線l:3x-4y=0交橢 圓E于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4,點M到直線l的距離不小,于 ,則橢圓E的離心率的取值范圍是 ( ),【解題導引】由點M到直線l的距離不小于 ,可得出b 的范圍,從而求出離心率的范圍.,【規(guī)范解答】選A.不妨設(shè)左焦點為F2,連接AF2,BF2,由 橢圓的對稱性可知四邊形AFBF2的對角線互相平分,所 以四邊形AFBF2為平行四邊形,所以|AF|+|BF|=|BF2|+ |BF|=2a=4,所以a=2,設(shè)M(0,b),所以d= b≥ ?b≥1, 所以e= 又e∈(0,1),所以e ∈,【易錯警示】解答本題易出現(xiàn)以下錯誤: 本題利用點到直線的距離公式,求出b的取值,易將公式記錯而導致錯誤,再者是出現(xiàn)運算錯誤;還有一點是利用橢圓中a,b,c之間的關(guān)系時易與雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系記混出現(xiàn)錯誤.,命題方向2:依據(jù)橢圓的性質(zhì)求值或范圍 【典例4】(2016寶雞模擬)已知橢圓 =1,A,B 是其左右頂點,動點M滿足MB⊥AB,連接AM交橢圓于點P, 在x軸上有異于點A,B的定點Q,以MP為直徑的圓經(jīng)過直 線BP,MQ的交點,則點Q的坐標為 .,【解題導引】取M的坐標,進而得出MA,MQ的方程,從而可求出點Q的坐標.,【規(guī)范解答】方法一:設(shè)M(2,t),P(x0,y0),則由A,P,M 三點共線,得 代入 =1, 解得 kPB=,設(shè)Q(q,0),則kMQ= 解得q=0,即得Q(0,0).,方法二:設(shè)M(2,2),因為A(-2,0),B(2,0),所以MA的方程 為x-2y+2=0, 由 解得 從而PB的斜率kPB=-1. 又PB⊥MQ,所以kMQ=1,于是直線MQ的方程為x-y=0,又Q 是直線MQ與x軸的交點,故Q(0,0). 答案:(0,0),【技法感悟】 1.求橢圓離心率的方法 (1)直接求出a,c的值,利用離心率公式直接求解. (2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2= a2-c2消去b,轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.,2.利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時,要結(jié)合圖形進行分析,當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系.,【題組通關(guān)】 1.(2016長春模擬)橢圓 =1(ab0)的左、右 頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F2,若|AF1|, |F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為( ),【解析】選B.由題意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|= a+c,且三者成等比數(shù)列,則|F1F2|2=|AF1||F1B|,即 4c2=a2-c2,a2=5c2,所以e2= ,所以e= .,2.(2016深圳模擬)過橢圓 =1的中心任意作一 條直線交橢圓于P,Q兩點,F是橢圓的一個焦點,則△PQF 周長的最小值是 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20,【解析】選C.如圖,設(shè)F1為橢圓的左焦 點,右焦點為F2,根據(jù)橢圓的對稱性可知 |F1Q|=|PF2|,|OP|=|OQ|,所以△PQF1的 周長為|PF1|+|F1Q|+|PQ|=|PF1|+|PF2|+2|PO|=2a+ 2|PO|=10+2|PO|,易知2|OP|的最小值為橢圓的短軸長, 即點P,Q為橢圓的上下頂點時,△PQF1即△PQF的周長取 得最小值為10+24=18.,【加固訓練】 (2016貴陽模擬)已知橢圓方程為 =1(ab0), A,B分別是橢圓長軸的兩個端點,M,N是橢圓上關(guān)于x軸 對稱的兩點,直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,若|k1k2| = ,則橢圓的離心率為 .,【解析】設(shè)M(x0,y0),則N(x0,-y0), 可得3a2=4c2,從而e= 答案:,3.(2016武威模擬)橢圓Г: =1(ab0)的左、 右焦點分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y= (x+c)與橢 圓Г的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離 心率等于 .,【解析】由直線方程為y= (x+c), 知∠MF1F2=60,又∠MF1F2=2∠MF2F1,所以∠MF2F1=30,MF1⊥MF2,所以|MF1|=c,|MF2|= c,所以 |MF1|+|MF2|=c+ c=2a. 即e= = -1. 答案: -1,