高中數(shù)學(xué) 2.3.1直線與平面垂直的判定課件 新人教A版必修2.ppt

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成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,人教版 必修2,點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,第二章,2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì),第二章,2.3.1 直線與平面垂直的判定,1．在初中平面幾何中能夠轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系的有：①等腰三角形底邊上的中線__________底邊；②菱形對(duì)角線互相__________；③正方形對(duì)角線互相__________；④圓的直徑所對(duì)圓角等于__________. 2．在上一節(jié)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定定理和平面與平面平行的判定定理及其應(yīng)用，線面平行、面面平行的判定最終歸結(jié)為線線平行的判定，并且研究了線面平行和面面平行的三種判定方法：(1)定義法；(2)判定定理；(3)反證法．,●知識(shí)銜接,垂直平分,垂直平分,垂直平分,90,1．直線與平面垂直,●自主預(yù)習(xí),任意一條,垂線,垂面,垂足,[破疑點(diǎn)] (1)定義中的“任意一條直線”這一詞語(yǔ)與“所有直線”是同義語(yǔ)，與“無(wú)數(shù)條直線”不是同義語(yǔ)． (2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式． (3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．,2．判定定理,相交,a∩b＝P,垂直,[破疑點(diǎn)] 直線與平面垂直的判定定理告訴我們：可以通過(guò)直線間的垂直來(lái)證明直線與平面垂直．通常我們將其記為“線線垂直，則線面垂直”．因此，處理線面垂直轉(zhuǎn)化為處理線線垂直來(lái)解決．也就是說(shuō)，以后證明一條直線和一個(gè)平面垂直，只要在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和已知直線垂直即可．,3．直線和平面所成的角 (1)定義：一條直線和一個(gè)平面________，但不和這個(gè)平面________，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的______叫做斜足．過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引______，過(guò)________和________的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的________，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．,相交,垂直,交點(diǎn),垂線,垂足,斜足,銳角,90,0,1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能( ) A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直 [答案] A [解析] ∵直線l⊥平面α，∴l(xiāng)與α相交， 又∵m?α，∴l(xiāng)與m相交或異面，由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．,●預(yù)習(xí)自測(cè),2．直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是( ) A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直 C．l在平面α內(nèi) D．不能確定 [答案] D [解析] 如下圖所示，直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．故選D．,,3.如右圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是( ) A．60 B．45 C．30 D．120 [答案] A [點(diǎn)評(píng)] 垂線段、斜線段及其射影構(gòu)成直角三角形．,4．如下圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：AC⊥平面BDD1B1. [分析] 轉(zhuǎn)化為證明AC⊥BD，AC⊥BB1.,,[證明] ∵BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴BB1⊥平面AC， 又AC?平面AC，∴BB1⊥AC． 又四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．又BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1，BB1∩BD＝B， ∴AC⊥平面BDD1B1.,如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證： (1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥平面AEF.,線面垂直的判定,●互動(dòng)探究,,[探究] 本題是證線面垂直問(wèn)題，要多觀察題目中的一些“垂直”關(guān)系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，這些垂直關(guān)系我們需要哪個(gè)呢？我們需要的是PA⊥BC，聯(lián)系已知，問(wèn)題得證． [證明] (1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴PA⊥BC． ∵∠ABC＝90，∴AB⊥BC． 又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．,(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE，BC∩PB＝B， ∴AE⊥平面PBC． (3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC， ∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A， ∴PC⊥平面AEF.,規(guī)律總結(jié)：線面垂直的判定定理的應(yīng)用 (1)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟： ①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直； ②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線； ③根據(jù)判定定理得出結(jié)論．,(2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧： 證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進(jìn)而證明線面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底邊的中線、高；菱形、正方形的對(duì)角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法．,如圖，在△ABC中，∠ABC＝90，D是AC的中點(diǎn)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC． (1)求證：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC． [探究] 題設(shè)條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等，AB⊥BC，D是AC的中點(diǎn)，要證(1)需在平面ABC內(nèi)找兩條相交直線與SD垂直，故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關(guān)系，要證(2)，需設(shè)法在平面SAC內(nèi)找兩條相交直線與BD垂直，而(1)的結(jié)論可利用．,,[證明] (1)因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)， 所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D， 所以SD⊥平面ABC． (2)因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)， 所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD， 又因?yàn)镾D∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．,規(guī)律總結(jié)：利用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直的步驟： (1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直； (2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線； (3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論．,在正方體ABCD－A1B1C1D1中， (1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值； (2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．,線面角,[探究] 求線面角的關(guān)鍵是找出直線在平面內(nèi)的射影，為此須找出過(guò)直線上一點(diǎn)的平面的垂線．(2)中過(guò)A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與B1D1、BB1垂直，由正方體的特性知，直線A1C1滿足要求．,規(guī)律總結(jié)：求線面角的方法： (1)求直線和平面所成角的步驟：①尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足間得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角． (2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等．,,[答案] D,如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥平面PAB；,線面垂直的綜合應(yīng)用,●探索延拓,,[探究] (1)要證線面垂直，需證平面內(nèi)有兩條相交直線與已知直線垂直，而根據(jù)條件易得EF⊥PB，EF⊥AF，所以本題得證；(2)要求線面角，得先找出或作出這個(gè)角．根據(jù)條件易得BP⊥平面EFA．故在△BEF中，只需過(guò)AC與BE的交點(diǎn)G作BF的平行線GH，則GH⊥平面EFA，∠GAH為所求角．,[解析] (1)證明：連結(jié)BE，EP. ∵ED＝CE，PD＝AD＝BC， ∴Rt△PDE≌Rt△BCE，∴PE＝BE. ∵F為PB中點(diǎn)，∴EF⊥PB． ∵PD⊥底面ABCD，DA⊥AB，∴PA⊥AB． 在Rt△PAB中，∵PF＝BF，∴PF＝AF. 又∵PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA． ∵PB∩AF＝F，∴EF⊥平面PAB．,規(guī)律總結(jié)：(1)中還可取AB中點(diǎn)Q，連結(jié)EQ，F(xiàn)Q，證明AB⊥平面EFQ，則AB⊥EF，加上EF⊥PB，則EF⊥平面PAB．(2)中在求線面角時(shí)，首先得找出或作出這個(gè)角，再解三角形求角．,如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足． (1)求證：AN⊥平面PBM. (2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB．,,[探究] 根據(jù)PA⊥平面ABM，證得BM⊥平面PAM，再利用線面垂直的判定定理證明AN⊥平面PBM.而證線線垂直，可先證線面垂直．,[證明] (1)∵AB為⊙O的直徑， ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM. 又AN?平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M， 又AN⊥平面PBM.,(2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB?平面PBM，∴AN⊥PB． 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.,規(guī)律總結(jié)：證明線面垂直時(shí)，在平面內(nèi)找兩條相交直線是關(guān)鍵，同時(shí)注意判定定理的條件．,已知四邊形ABCD中，四個(gè)角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角，求證：四邊形ABCD是矩形． [錯(cuò)解] ∵四邊形ABCD中，四個(gè)角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角，∴四邊形ABCD是矩形． [錯(cuò)因分析] 把ABCD當(dāng)作平面四邊形(未加共面證明)就得出結(jié)論．,易錯(cuò)點(diǎn)一 在幾何題的證明中，只考慮平面情形，而忽略空間情形,●誤區(qū)警示,[思路分析] 四邊形ABCD有兩種存在形式：平面四邊形ABCD和空間四邊形ABCD，需分類證明． [正解] 當(dāng)四邊形ABCD是平面圖形時(shí)，它顯然是矩形．,,若四邊形ABCD是空間四邊形時(shí)，可設(shè)點(diǎn)C在平面ABD之外．如圖，過(guò)點(diǎn)C作CC1⊥平面ABD，則AB⊥面BCC1，∴∠ABC1＝90.同理，∠ADC1＝90.,如圖所示，a∥b，點(diǎn)P在a，b所確定的平面外，PA⊥a于點(diǎn)A，AB⊥b于點(diǎn)B．求證PB⊥b. [錯(cuò)解] ∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b， ∴PA⊥平面α，∴PB⊥b. [錯(cuò)因分析] 上述證法的錯(cuò)誤在于沒有正確使用線面垂直的判定定理，由PA⊥a，PA⊥b，得PA⊥α，忽略了a與b不相交．,[正解] ∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b. 又∵AB⊥b，且PA∩AB＝A，∴b⊥平面PAB． 又∵PB?平面PAB，∴PB⊥b.,1．若直線a與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，則直線a與平面α的位置關(guān)系是( ) A．垂直 B．平行 C．斜交或在平面內(nèi) D．以上均有可能 [答案] D [解析] ∵a與α內(nèi)的兩條直線垂直，而這兩條直線的位置關(guān)系不確定，∴a與α可能平行、垂直、斜交或a在α內(nèi)．,2．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的： ①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊． 則能保證該直線與平面垂直( ) A．①③ B．①② C．②④ D．①④ [答案] A [解析] 三角形的兩邊，圓的兩條直徑一定是相交直線，而梯形的兩邊，正六邊形的兩條邊不一定相交，所以保證直線與平面垂直的是①③.,3．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( ) ①如果直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α； ②如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α； ③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線； ④如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] B [解析] 只有④正確．,4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________. [答案] 45,[解析] 如圖所示，因?yàn)檎襟wABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角．由題意知，∠B1AB＝45，故所求角為45.,,規(guī)律總結(jié)：求直線與平面所成的角的關(guān)鍵是找出平面的垂線，從而找出直線在平面內(nèi)的射影．,