高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)用書 第56課 立體幾何中的翻折問(wèn)題 文

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1、第56課 立體幾何中的翻折問(wèn)題 1.（2012東城一模）如圖，在邊長(zhǎng)為的正三角形中，，，分別為，，上的點(diǎn)，且滿足.將沿折起到的位置，使平面平面，連結(jié)，.（如圖） （1）若為中點(diǎn)，求證：∥平面； （2）求證：. 證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)． 在中，分別為的中點(diǎn)，

2、∴∥，且． ∵， ∴∥,且， ∴∥，且． ∴四邊形為平行四邊形，∴∥． 又∵平面，且平面， ∴∥平面． （2） 取中點(diǎn)，連結(jié). ∵，， ∴，而， 即是正三角形. 又∵, ∴. ∴在圖2中有. ∵平面平面，平面平面， ∴⊥平面. 又平面，∴⊥. 2．（2012海淀一模）已知菱形中，， （如圖1所示），將菱形沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置（如圖2所示），點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)． （1）證

3、明： //平面； （2）證明：； （3）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)． 證明：（1）∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)， ∴． 又平面，平面， ∴平面． （2）在菱形中，設(shè)為的交點(diǎn)， 　　　　 則． 　　 ∴ 在三棱錐中， . 　　　　又 　 ∴ 平面． 　　　　　又平面，∴． 　　?。?）連結(jié)． 在菱形中，， 　　　 　∴ 是等邊三角形， ∴ ． 　　　　　∵ 為中點(diǎn)， ∴ ． 又 ，．

4、 ∴平面，即平面． 又 平面，∴ ． ∵ ，， ∴ ． 3．（2012汕頭二模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)、分別在邊、上．點(diǎn)與點(diǎn)、不重合，，，沿將翻折到的位置，使平面平面． （1）求證：平面； （2）記三棱錐的體積為，四棱錐的體積為，且，求此時(shí)線段的長(zhǎng)． 【解析】（1）證明：在菱形中， ∵，∴． ∵，∴， ∵平面⊥平面， 平面平面，且平面， ∴平面， ∵平面，∴． ∵，∴平面． （2）設(shè)． 由（1）知，平面， ∴為三棱錐及四棱錐的高， ∴，∵，

5、∴，∴， ∵， ∴，∴∽． ∴， ∴， ∴． 4．（2012西城一模）如圖，矩形中，，．，分別在線段和上，∥，將矩形沿折起．記折起后的矩形為，且平面平面． （1）求證：∥平面； （2）若，求證：； （3）求四面體體積的最大值． 【解析】（1）證明：∵四邊形，都是矩形， ∴ ∥∥，． ∴ 四邊形是平行四邊形， ∴ ∥， ∵ 平面，∴ ∥平面． （2）證明：設(shè)． ∵平面平面，且， ∴ 平面， ∴ ． 又 ， ∴四邊形為正方形， ∴ ． ∴ 平面， ∴ ． （3）設(shè)，則，其中． 由（1）得平面， ∴四面體的體積為 ． ∴ ． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)， ∴時(shí)，四面體的體積最大．