《《楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》課件（20頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、111111111113324465510 10課題：探究課題：探究“楊輝三角楊輝三角”的一些秘的一些秘密密03 一月一月 20241.1.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理2.2.二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)第第 r+1 項(xiàng)項(xiàng)復(fù)習(xí)回顧(a+b)0(a+b)1=(a+b)2=(a+b)3=(a+b)4=(a+b)5=二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角(a+b)6=學(xué).科.網(wǎng)=1a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b
2、6121111331144611551010616151520111這個(gè)表叫做二這個(gè)表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表項(xiàng)式系數(shù)表,也也稱稱“楊輝三角楊輝三角”學(xué).科.網(wǎng) “橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”,橫看、豎看、橫看、豎看、橫看、豎看、橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角度觀察斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角度觀察斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角度觀察斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角度觀察楊輝三角的圖形，楊輝三角的圖形，楊輝三角的圖形，楊輝三角的圖形，你能發(fā)現(xiàn)組成它的數(shù)有什么規(guī)律嗎？你能發(fā)現(xiàn)組成它的數(shù)有什么規(guī)律嗎？
3、你能發(fā)現(xiàn)組成它的數(shù)有什么規(guī)律嗎？你能發(fā)現(xiàn)組成它的數(shù)有什么規(guī)律嗎？1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 2 2）表中每個(gè)
4、數(shù)都是組合數(shù)，第表中每個(gè)數(shù)都是組合數(shù)，第n n行的第行的第r+1r+1個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 3 3）三角形的兩條斜邊上的數(shù)都是三角形的兩條斜邊上的數(shù)都是1 1，都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加，都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加，也就是也就是 Cn0=Cnn=1Cn+1m=Cnm +Cnm-1 其余的數(shù)其余的數(shù) 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6
5、4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 4 4）楊輝三角具有對(duì)稱性楊輝三角具有對(duì)稱性 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 展開式的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：系數(shù)依次是：從函數(shù)角度看，從函數(shù)角度看，可看可看成是以成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù) ,其定義域是：其定義域是：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，其圖象是右時(shí)，其圖象是右圖中的圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)個(gè)孤立點(diǎn)對(duì)稱性對(duì)稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)
6、相等 這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到圖象的對(duì)稱軸：圖象的對(duì)稱軸：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 5 5）增減性與最大值）增減性與最大值 每行二項(xiàng)式系數(shù)每行二項(xiàng)式系數(shù)前前半部分半部分是是逐漸增大逐漸增大的，由的，由對(duì)稱性可知它的對(duì)稱性可知它的后后半部分是半部分是逐漸減小逐漸減小的，且的，且中間中間項(xiàng)取得最大值。項(xiàng)取得最
7、大值。由于由于：所以所以 相對(duì)于相對(duì)于 的增減情況由的增減情況由 決定決定由由：即二項(xiàng)式系即二項(xiàng)式系數(shù)前數(shù)前半部分半部分是是逐漸增大逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的的，由對(duì)稱性可知它的后后半部分是半部分是逐逐漸減小漸減小的，且的，且中間項(xiàng)取得最大值。中間項(xiàng)取得最大值?？芍?，當(dāng)可知，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，因此因此,當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)系數(shù) 取得最大值；取得最大值；當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 相等，且同時(shí)取得最大值。相等，且同時(shí)取得最大值。增減性與最大值增減性與最大值 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 1 1 1 2 1 1 3 3
8、1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 6).橫看楊輝三角中各行數(shù)字之和橫看楊輝三角中各行數(shù)字之和第第n n行數(shù)字的和為行數(shù)字的和為2 2 n n前前n n行所有數(shù)的和為行所有數(shù)的和為2 2 n+1 n+1 2 2例例 證明在證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。在二項(xiàng)式定理中，令在二項(xiàng)式定理中，令 ，則：，則：
9、賦值法賦值法證明：證明：性質(zhì)性質(zhì).各二項(xiàng)式系數(shù)的和各二項(xiàng)式系數(shù)的和 即在即在(ab)n 的的 展開式中展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.即在即在(a+b)n 的展開式中的展開式中,所有二項(xiàng)式系所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于數(shù)的和等于2 2n.第一條斜線上：第一條斜線上：第二條斜線上：第二條斜線上：第三條斜線上：第三條斜線上：第四條斜線上：第四條斜線上：1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=151 14 41010 （第第4 4條斜線條斜線）1 13 36 6 （第第3 3條斜線條斜線）1 12 23 3 （第第2 2條斜線條斜線）(nr)1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
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